椭圆的几何性质-苏教版选修1-1同步分层练习

1、(七)椭圆的几何性质(建议用时：45分钟)基础达标练一、填空题1.已知椭圆C:2= 1(ab0)的离心率为1焦距为2,则C的方程为:95902097】【解析】根据已知条件知c 1 222=-，又 2c= 2,得 a= 2，又 b = a c= 4 1= 3,椭圆方 a 21.【答案】2设Fi、F2为椭圆的两个焦点，以 F2为圆心作圆Fa,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆的一个交点为 M若直线MF恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率 e为【解析】由题意知圆F2的半径为C,在Rt MFF2中,|MF| = c, I MFI = 2a- c, | F1F2I = 2c 且 MF丄 MF.所以(2 a

2、c)2+ c2= 4c2,【答案】73-13.直线2 2xy_y= k( x 2) + 1与椭圆+肖=1的位置关系是169:95902098】【解析】直线y= k(x 2) + 1过定点R2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得16+9b0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 专，过F2的直线I交C于A、B两点，若 AFB的周长为43,则C的方程为【解析】 根据条件可知号二申，且4a= 4品 a=/3, c = 1, b = /2,2 2X y椭圆的方程为；+:= 1.325.已知椭圆的短半轴长为1，离心率ovew%3.则长轴长的取值范围为:95902099】【解析】2 2 1/ b= 1,

3、 c2= a2 1，又字=a1 1 a2 A 4,2 2 a 0, a 1,1aw2,故长轴长 2b0).f2a= 12,由紀a3由a2= b2+ C2，得b2=32.故椭圆的方程为：36+32=1.【答案】332= 17.椭圆2鲁=1的左焦点为43F,直线x= m与椭圆相交于点 A B.当FAB的周长最大时， FAB的面积是:95902100】【解析】如图,当直线由|X =1,2y3=1,解得 y = 3，丨 AB = 3. S= 1X 3X 2= 3.【答案】3&已知椭圆方程是9 4 = 1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为【解析】 方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k则其

4、直线方程为y 1 = k(x 1),得(4 + 9k)x 18k(k 1)x + 9k 18k 27 = 0,又设直线与椭圆的交点为 Mxi, yi)、Nx2, y2),则xi、X2是方程的两个根,于是Xi+ X2=18k k 4+ 9k942,解得k= 4，则所求的直线方程为y 1 = 9(X 1),即 4x+ 9y 13= 0.22X1 y1方法二：设 Mx1, y1) , N(x2, y2)，则-+ : = 12 2X2 y2+ = 19十4得X1十X1 X2 = y1十河y2y1 y24X1 十 X24x24X1 X29y1 十 y29X29.直线 I 的方程为 y 1 = 4(x 1

5、)，即 4X+ 9y 13= 0.9【答案】4x + 9y 13 = 0二、解答题9. (1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率.若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.【解】(1)由题意得:b= c,e=由题意得：2b= a+ c, 4 b2= (a+ c)2.2222又 a = b + c , 4( a c2 2 2)=a 十 2ac 十 c ,22即 3a 2ac 5c = 0,223-a5 )=0,即 5(a)+a3=c 30e= a= 5.2 2X y10.过椭圆一+十=1内点M2,1)引一条弦，使弦被 M平分，求此弦所在直线的方程164:959021

6、01】【解】 方法一：依题意，该直线 I的斜率存在设所求直线方程为y 1 = k(x 2),代入椭圆方程并整理，得(4 k2 + 1)x2 8(2 k2 k)x + 4(2 k 1)2 16= 0.又设直线与椭圆的交点为A(X1, y1)、B(x2, y2)，贝U X1、X2是方程的两个根，于是X1 +82k2 kX2=汞匚1.k=- 2.X2 + 4y11= 16, X2+ 4y2= 16.yflNdF OF /【解析】 令右焦点为F，连结 BF，由题意得 A a,0)，B(0，b)，F( c, 0)，由椭圆的对称性知/ BF(=/ BFO 又/ BAOH/ BFO- 90,2又M为AB的中

7、点， 筈兰=攀二匚2，解之得24k 十 I故所求直线的方程为x + 2y 4 = 0.方法二：设直线与椭圆的交点为 A(Xi, yi)、政X2,M2,1)为AB的中点.二Xi + X2 = 4, yi+ y2= 2.又A B两点在椭圆上，则 两式相减得（X? x2） + 4（ yi y2） = 0.于是（xi + X2）（ xi X2）+ 4（ yi + y2）（ yi y2）= o.yi y2_xi 十 X2 _1Xi X24yi十 y 2i即kAB= 2故所求直线方程为 X + 2y 4 = 0.能力提升练2 2X yi 已知椭圆一+= i(ab0)的左顶点为 A,左焦点为F,上顶点为B,

8、若/ BAOF/ BFOa b=90,则椭圆离心率为所以/ BAO/ BF O= 902222% / 5 1（ a, b） （ c， b） = ac b = ac a+ c = 0,得 e + e 1 = 0，求得 e=【答案】号2 22.如图2-2-3 , P是椭圆 名+ J = 1在第一象限上的动点，Fi,F2是椭圆的焦点，M是/ FiPF2516的平分线上的一点，且FaM- MF= 0【解析】而 a cPF2a,【答案】:95902102】延长F2M交PF于点N,由已知条件可知 OMt畀日=2( PF PF2) = a PF,所以 OM (0 , C)，即 OM (0,3).(0,3)2

9、 23.已知椭圆36+ 9 =i以及椭圆内一点R4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为【解析】 设弦的端点A(xi, yi)，B(X2, y2),2 2 b 0)的左、右焦点分别为Fi, F2，点P(3,1)在椭圆上,(1)求椭圆C的标准方程;若点Q在椭圆C上，且/FiQf2= n7，求 QF QF的值;3(3)设直线y = X+ k与椭圆C相交于A, B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值.:95902103】【解】（1） 椭圆过点 R3,1）,91 a2+b2=j1又 SpFF2= 2 ex 1= 2寸2，解得 c= 2又 a2= b2 + c2,解得 a2 = 12, b2= 4,2 2椭圆的标准方程为12+鲁=1.当/ F1QF=n时,jQF + QF= 2a = 4p3,qF + qF 2QF QFcos 专=1 32c 2= 32,16QF QF=.(3)设 A(xi, yi), 0X2, y2),”2 2二+y-= 1 由 “24，!y = X