椭圆的经典知识总结

1、椭 圆知识 总 结班 级姓名b 0)的简单几何性质对于椭圆标准方程0):标准方程或扌把X、或把y换成X、 y、原方程都不变， 是以x轴、y轴为对称轴的隹占八、八、Fi( C,0) ,F2(c,0)Fi(0, c) , F2 (0, c)匚1b2并且是以原点为对称中心的中 这个对称中心称为椭圆的中产椭圆上所有的点都位于直线b所围成的矩形内，所以椭圆 x| a, IyI b。焦距范围1 (a b 0)与坐标轴的四NdK1AnQ7电PMPM2I 竺); c2 b2;专/1与/召1(a b 0)的区别和联系椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PFJ |pF2 I 2a尸

2、冋)，这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的 距离叫作椭圆的焦距.注意：若qPR I |pF2 I |F1F)，则动点P的 轨迹为线段F1F2;若(PF1 I |pF2 I IF1F2I)，则动点 P的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1 .当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程：x 范围：X a和y上点的坐标满足 顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点 称为椭圆的顶点。 y2 4 (a b 0)，其中 c2 a2 b2厂沪对称性：2 2拿 M 1(a b说明：把X换成X、y同时换成 所以椭圆X1a2轴对称图形， 心对称图形， 心。2. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y2 X21(a

3、 b 0),其中 c2 a2 b2 ；0歹1注意：1 .只有当椭圆的中心为坐标原点， 对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2. 在椭圆的两种标准方程中，都有(a b 0)和 c2 a2 b2 ；3. 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在X轴上 时椭圆的焦点坐标为(c,0) , ( c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c) , (0, c)知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：2 2笃 1(aa b椭圆乞匚a2 b2个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为Ai( a,0) , A(a,0), Bi(0, b) , B2 (0,b)线段AiA2 , B1B2分别叫做椭圆的长

4、轴和短 轴，I AAl 2a，I B1B2I 2b。a和b分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆 的离心率，用e表示，记作e竺上。2a a 因为(a c 0)，所以e的取值范围是(0 e 1)。 e越接近1，则c就越接近a，从 而b扁L孑越小，因此椭圆越扁；反之， e越接近于0, c就越接近0,从而b越 接近于a,这时椭圆就越接近于圆。 且仅当a b时，c 0，这时两个焦点重合， 图形变为圆，方程为X2 y2 a。注意椭圆2 2x_ y_ 1的图像中线段的几何特征(如下a2 b2 图)：(1)|PF1I |PF2I 2a) ；|PF1| 門e；fp

5、Mj PMq e(2) (BFJ IBF2I a) ； (OFJ |OFJ c)；|ab| I AB I ja(3) afJ IA2F2I a c ；时2| |A2FJ a c ； a c |pF1 I a 知识点四：椭圆y广 V 对称 性关于x轴、y轴和原点对称方程lx2 By2 C可化为顶点轴长(a,0) , (0, b)(0, a) , ( b,0)x 2 By 2，所以只有1A B、2B 2，即By 1 CCC同号，且A BAx 2 By长轴长=2a，短轴长=2b离心率准线方程2 2 2 2注意：椭圆冷笃1，爲笃1 (a b 0)的 a ba b相同点：形状、大小都相同；参数间的关系

6、都有(a b 0)和 e (0 e 1)， a2 b2 c2 ；a不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点 坐标也不相同。规律方法：1.如何确定椭圆的标准方 程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称 轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点， 对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程 形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两 个定形条件a,b ; 一个定位条件焦点坐标， 由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意 义椭圆标准方程中，a,b, c三个量的大小与坐 标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定 的。分别表示椭圆的长半轴长、短半

7、轴长和 半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系 为：(a b 0)，(a c 0)，且 (a2 b2 c2)。可借助右图理解记忆：显然: a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其 中a是斜边，b、c为两条直角边。3. 如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准 方程，判断焦点位置的方法是：看x2，y2的 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐 标轴上。4方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零)是表 示椭圆的条件时，方程表示椭圆。点在x轴上；当乞A生轴上。当 Ca乞时，椭圆的焦点在yB桔时，椭圆的焦5.求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位 置

8、，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方 程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。 其主要步骤是“先定型，再定量”； 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是 什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆x2 y2 1(a b 0) 共焦点的椭圆方程可设为2 2亠 亠 1(m b2)，此类问题常用待定a m b m系数法求解。7.判断曲线关于x轴、据： 若把曲线方程中 换成X，方程不变， 线关于y轴对称； 若把曲线方程中 换成y，方程不变， 线关于x轴对称； 若把曲线方程中的y轴、原点对称的依x、y同时换成的x则曲的y则曲y，方程不变，则曲线关于原点

9、对称。8如何求解与焦点三角形 PFF2( P为椭圆 上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PF1F2有关的计 算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦 定理(或勾股定理)、三角形面积公式PFPfJ sin RPF2 相结合1pRFj 2 的方法进行计算解题。 将有关线段PF、PFjIIrf，有关角F1BF2)结合起来，建FiPF2( Fi PF2 立PR9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关 系？PF、PF1I PFJ之间的关系.化。c22. 2 小2、 X a cos /会1 b c ). (参 y bsi n为参数)，焦点在y轴上时b 0 )。方程 Ax2 By2两个焦点x 0, y

10、2a，短轴长2;离心c为2b ;准线：两条准线x率：e2b22X02 a2X0_ 2 a2 Xl2 a在椭圆外椭圆上椭圆内(答: 1 , 5)U( 5, +兰匚上一点P到椭圆左25 76则点P到右准线的距离为Xi X2，若 yi, y2B的纵坐标，则I AB =y2 ,若弦AB所在直线方程设为则I AB| =k2|yi y。特别地,遇到中点“韦达定理”或“点差法”求解。2每1中，以P(X0,y0)为中点的bb2X0 ；2；a y。2丄1弦被点A(4,9弦所在直线的斜率k=-长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变C离心率e -(0 e 1)，因为aa b , a c 0，用a、b表示为J1 (b)

11、2 (0 e 1)。显然：当b越小时, V aae(0 e 1)越大，椭圆形状越扁；当-越大, ae(0 e 1)越小，椭圆形状越趋近于圆。1.椭圆的定义：(1)椭圆：焦点在X轴上时 X2 y2T 声 1( aa b数方程，其中2 2 与廿二(aa b表示椭圆的充要条件是什么？( ABO 0, A, B, C 同号，AM B)。22.椭圆的几何性质：(1)椭圆(以笃a(a b 0)为例)：范围： a x a, b y b :焦点：(c,0):对称性：两条对称轴 一个对称中心(0,0 )，四个顶点 (a,0),(0, b)，其中长轴长为c，椭圆 0 e 1 , e a越圆；e越大，椭圆越扁。通径

12、a2.点与椭圆的位置关系:(1)点P(X0,y0) 告 1; (2)点 P(X0,y0)在b2退=1 ；(3)点 P(X0,y0)在 b21b23. 直线与圆锥曲线的位置关系：(1)相交：0 直线与椭圆相交；(2)相切： 0 直线与椭圆相切；(3)相离:0直线与椭圆相离；如：直线ykx2 21=0与椭圆 J 1恒有公共点，则m的5 m取值范围是X)；4、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F 的距离)的计算方法：利用圆锥曲线的第二 定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed a eX)，其中d表示P到与F所对应 的准线的距离。 如(1)已知椭圆焦点的距离为3， (答：10/3 )；2 2(2)椭

13、圆乞厶1内有一点P(1,1)，F43为右焦点，在椭圆上有一点 M使MP| 2MF|之值最小，则点M的坐标为 (答：(竽，1)；5、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一 点与两焦点所构成的三角形) 问题：S b2tac|y0|，当 | y。| b 即 P 为短轴 端点时，Smax的最大值为bC；6、弦长公式：若直线y kx b与圆锥 曲线相交于两点 A B,且X1,X2分别为A、B 的横坐标，贝AB = JT匚 分别为AJ1訓 x ky b，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计 算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦 转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求 解。7、圆锥曲线的中点弦问题：弦问题常用2在椭圆笃a2如J (1)如果椭圆362)平分，那么这条弦所在的直线方程是(答:x