大学物理：第13章-固体中的电子

1、固体一般指晶体，是物质的一种凝聚态，它的电 性质、磁性质、甚至力性质都与其中的电子有关,第13章 固体中的电子,电子的性质由其能量（能带）决定,固体物理重点：求解能带,一、金属的自由电子气模型,13.1 金属中的自由电子,金属中能够自由流动的公共电子称为自由电子。 自由电子之间相互作用很弱，像气体分子一样，弥漫 在金属内部，把自由电子整体称为自由电子气,设定宏观边界，3 维无限深方势阱，定态薛定谔方程,自由电子气 + 周期势微扰 = 能带 孤立原子 + 微扰势 = 能带,二、自由电子气的费米能量,xyz方向周期性边条件,xyz方向动量,电子能量本征值，三维自由粒子动能,nx, ny, nz 分

2、别为 x, y, z 方向的量子数,用 表示自由电子态指标,在量子数空间 (或动量空间， ) 态指标对应整数（正负）坐标点。 态指标：三维空间，球,半径为 n 的球面上各点具有相同的 值，对应同一能量,能量小于 E 的状态数，球面内所含状态数,多个量子态对应一个能级 E，称为简并。与一个简并能级对应的量子态数目叫简并度,金属单位体积内自由电子能量小于 E 的状态数为,T = 0K 时，由能量最低原理和泡利不相容原理，电子一个一个地从能量最低的状态向能量较高的状态填充， ns就是电子数密度，可填充的最高能级叫费米能级 EF,真空能级,EF,费米能量 EF eV,在此狭小能量区间，密集排布着 (自

3、由电子数 /2) 个能级，所以自 由电子的能量分布是准连续的,费米速度 vF,即使在绝对零度下，电子仍然剧烈地运动着,费米温度 TF,对 求导，得 E 附近单位能量区 间的量子态数，即能态密度,三、能态密度,当温度升高时，电子与晶 格离子无规则碰撞而获得能量， 被激发至较高能级，但仍满足泡利不相容原理,常温下，电子可以从晶格获得 kT 0.026eV EF 的能量，所以仅仅少量的能量稍低于 EF 的电子能够跃 迁到较高能级上去，电子态占据仅有较少改变,13.2 固体能带理论,金属自由电子理论忽略了正离子周期性势场对电 子运动的影响。若考虑其作用，则产生能带,一、固体的能带,以两个 Na 原子形

4、成 Na2 分子为例， 设 1 和 2 分别为两个 Na 原子的价电子 (3s电子) 的波函数， 为 Na2 分子的共有化电子的波函数,波函数叠加 = 1 + 2,概率分布 |2 = |1 + 2|2 = |1|2 + |2|2 + 1*2 + 12,当原子相距无穷远时，交换项 1*2 + 12* = 0 当原子接近时，若1*2 +12* 0，|2 |1|2 +|2|2 则形成化学键，能量；否则不形成化学键，能量,1. 能带的形成,1) 当原子孤立存在时，具 有各自能级,2) 当两原子靠近时，每个 能级一分为二，曲线 1 能量降低，形成分子； 曲线 2 能量升高，不形 成分子。r0 为键长，能

5、级 E1 占据，能级 E2 空闲,3) N 个原子聚集时，每个能级分裂为 N 个能级，一 半能级占据，一半能级空闲,4) 形成晶体时，分裂的能级 (间隔极小) 组成能带， 一半能带占据，一半能带空闲,能带,能带,不同能带之间可能发生重叠,能带的形成来源于原子的相互作用，表现为波函数的交叠。能带理论适用于金属、绝缘体、半导体,2. 电子在能带中的排布,服从泡利不相容原理和能量最低原理,原子 l 次壳层，(2l +1) 个能级，最多容纳 2(2l +1) 个电子,电子在能带中排布时，应从最低能级排起， 满带，空带,N 个l 次壳层原子形成晶体，每能级分裂为包含 N 个能级的能带，该能带最多容纳 2

6、(2l +1)N 个电子,二、固体导电性能的能带论解释,由价电子填充的满带（或最低能带）称为价带,有空量子态存在的能带（可以导电）叫导带,能带之间没有量子态存在的区域叫禁带,价带,导带,禁带,价带,导带,禁带,导体有未填满的价带，当有外加电场时，价带电 子被加速，从电场中获得能量，可跃迁至价带中较高 的空能级，因而能够形成电流,绝缘体价带填满, 价带电子若想跃迁至高能级 (在 导带内)，必须越过很宽的禁带 Eg，一般电场不能提供 这么多能量，所以绝缘体不导电，但有击穿现象,半导体虽然价带也填满，但禁带宽度 Eg 很小，价 带电子相对容易进入导带， 因此导电性能介于导体和 绝缘体之间,例1 电子

7、束缚能为负值，真空能级能量为零。 利用下列数据计算钠金属的费米能量和导带底能量。 (1) 用波长为 300nm 的单色光照射钠金属，发出光电 子的最大初动能为 1.84eV； (2) 密度 971kg/m3，摩尔质量 23.0g/mol,解：利用光电效应方程，得逸出功,逸出功就是电子从费米能级跃迁至真 空能级所吸收的能量，因此费米能量,利用自由电子气模型费米能量公式， 导带底能量为,解,例2 用光来激发半导体硫化镉 (CdS) 中的电子，使之 能够成为载流子，光波波长最大为多少？已知禁带宽 度 Eg = 2.42eV,例3 估计金刚石的电击穿场强。已知金刚石的禁带宽 度Eg = 5.5eV，电

8、子运动的平均自由程 = 0.2m,解：如果金刚石内的电子在一个平均自由程的运动过 程中，被电场加速获得的能量能够使电子从价带跃迁 到导带，则金刚石就被电击穿,以 Eb 表示击穿场强，则 Eg = eEb，由此得,13.3 半导体导电,一、半导体导电特点,1. 禁带宽度 Eg 较小 (300K 时 Si-1.14eV, Ge-0.67eV)， 常温下即有少量电子被激发至导带，在电场作用下 形成电流，但电导率介于导体和绝缘体之间,2. 温度升高时，更多电子进入导带，增加电导率，有 热敏性和光敏性,3. 除电子导电外，还有空穴导电,价带电子跃入导带后在价带中留下 的空量子态叫空穴。带正单位电荷,半导

9、体导电是导带电子导电和价带 空穴导电共同起作用的结果,二、半导体分类,1. 本征半导体：具有相同数量的自由电子和空穴。 例如，纯 Si，纯 Ge,2. 杂质半导体：适量掺入其他种原子的半导体,N 型：电子是多数载流子 空穴是少数载流子,P 型：空穴是多数载流子 电子是少数载流子,例 室温下纯硅中传导电子 (由价带进入导带的电子) 的数密度 n0 约为1016 m-3。问多少个硅原子贡献一个 传导电子？如果向其中掺入微量磷杂质，平均每 5 106 个硅原子有一个被磷原子取代，则传导电子数密 度增加多少倍？ 设每个磷原子都有一个 “多余的” 电 子进入导带。 已知硅的密度和摩尔质量分别为 2330 kg/m3 和 28.1g/mol,解：纯硅的原子数密度,所以 nSi / n0 = 51028 / 1016 = 51012 个硅原子贡献一 个传导电子。可知半导体的导电能力比金属弱得多,利用已知数据，磷杂质原子的数密度为 nP = nSi / 5106 =