复变函数：5.3 留数在定积分计算上的应用_第1页
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文档简介

1、一、形如 的积分,二、形如 的积分,三、形如 的积分,第三节 留数在定积分计算上的应用,四、小结与思考,2,一、形如 的积分,思想方法,封闭路线的积分,两个重要工作,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,3,2)被积函数或积分表达式的转换,3) 积分限或区域的转换,1)换元或 变量代换,4,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点,5,例1 计算积分,解,则,6,7,例2 计算,解,令,8,极点为,在单位圆内,在单位圆外,9,例3,解,故积分有意义,10,11,12,因此,13,若有理函数 R

2、(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点,一般设,分析,可先讨论,最后令,即可,二、形如 的积分,14,2. 积分区域的转化,取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析,此法常称为“围道积分法”,1. 被积函数的转化,当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x,可取 f(z)=R(z),15,这里可补线,以原点为中心 , R为半径,的在上半平面的半圆周,内部(除去有限孤立奇点）处处解析,取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内,16,根据留数定理得,当 充分大时, 总可使,17,18,例4 计算积分,解,19,20,积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上,无孤立奇点,与,曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点,包在这积分路线内,同前一型: 补线,一起构成封闭,都,三、形如 的积分,21,对于充分大的 , 且 时, 有,22,从而,23,由留数定理,24,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,25,26,四、小结与思考,本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握

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