高阶常微分方程和方程组模型.ppt

1、,高阶常微分方程和方程组模型,数学建模 （Mathematical Modeling）,高阶常微分方程和方程组模型,内容 建模举例 建模练习 求解方法介绍 要求 掌握微分方程建模方法 了解微分方程组的解法 重点、难点 微分方程的建模,高阶常微分方程和方程组模型,参考文献 唐焕文，贺明峰. 数学模型引论（第三版）.北京：高等教育出版社，2005年3月 姜启源等. 数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003年8月 叶其孝主编. 大学生数学建模竞赛辅导教材.长沙：湖南教育出版社，2003年5月 刘振航. 数学建模.北京：中国人民大学出版社，2004年5月,一、建模举例,例题1：饿狼追兔问题

2、现有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的2倍。问兔子能否安全回到巢穴？,一、建模举例,例题1：饿狼追兔问题 问题分析 首先建立一个适当的坐标系，见下图。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置的连线为曲线上改点处的切线。,x,y,一、建模举例,例题1：饿狼追兔问题 模型构成 在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线 f(x)=(h-y)/(0-x) 狼的速度是兔子速度的2倍 定解条件 y(100)=0，y(100)

3、=0,一、建模举例,例题1：饿狼追兔问题 数学模型 整理得到数学模型为： 解得狼的行走轨迹为：,因为 f(0)=200/360，所以 狼追不上兔子。,一、建模举例,例题2：交通管理中亮黄灯的时间问题 在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以致无法停下的车辆通过路口，那么，黄灯应该亮多长时间呢？,一、建模举例,例题2：交通管理中亮黄灯的时间问题,设 T1 - 驾驶员反应时间； T2 - 汽车通过十字路口时间； T3 - 停车距离的驾驶时间； 黄灯亮的时间：T=T1+T2+T3。 T1：由统计数据或者经验得到； T2：设法定速度为 v

4、0，十字路口的长度为I，典型车身长度为 L，则汽车通过十字路口的时间为 T2=(I+L)/v0；,一、建模举例,例题2：交通管理中亮黄灯的时间问题,停车过程是通过驾驶员踩刹车产生的摩擦力，使汽车减速直到停止。 设 m为汽车质量，f 为刹车摩擦系数，x(t)为汽车行驶距离，刹车制动力为 fmg (g为重力加速度)。,刹车过程应该满足方程：,一、建模举例,例题2：交通管理中亮黄灯的时间问题,解此微分方程，得,刹车时间为,黄灯应亮的时间为,一、建模举例,例题3：传染病模型 随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新

5、的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 试按照一般的传播机理建立数学模型。,一、建模举例,例题3：传染病模型 模型假设 假设人群分为两类，一是传染病患者，一是易感者，他们在 t 时刻的人数分别为 x 和 y ； 假设易感者因与传染者接触而得病，且传染病人数因病死或者治愈而减少； 假设单位时间内传染病人数的增量为 xy，减少人数为 x；,一、建模举例,例题3：传染病模型 模型构成 传染病患者人数的变化 单位时间的变化=新增加的传染病人数-减少人数 易感者人数的变化 易感者人数的减少量=新增加的传染病人数,一、建模举例,例题3：传染病模型 数学