高教热统答案第二章

1、第二章 均匀物质的热力学性质习题2.1温度维持为25C ,压强在0至1000pn之间，测得水的实验数据如下:(V)p=(4.5X 10-3+1.4X 10-6P)cm3 mol-1 K-1 T若在25r的恒温下将水从1pn加压到1000pn,求水的熵增和从外界吸收的热量。VS解：利用麦氏关系：(齐)P =-(吊)T求熵增厶S;从而1 1 1.: Q = T ： S, .： S=-0.572Jmol K Q=-157J mol-1习题2.2已知在体积保持不变的情况下，一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在 温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加。解：由题意得： p = k(V)T f(V)因V不

2、变,T、p升高，故k(V)0据麦氏关系(2.2.3)式得：；:S；:p(p)T =(#)v =k(V)(k(V)0)二 S 二 k(V)dV g(T);由于k(V)0,当V升高时(或V。-V,VV0),于是k(V)dV 0=T不变时,S随V的升高而升高。2.3设一物质的物态方程具有以下形式P = f (V)T，试证明其内能与体积无关解：P = f (V )T(；U(V，T)t=T()V-p =Tf(V)-Tf(V) =0 得证。OV汀习题24求证：(i )；S(吊)H 0证：由式(2.1.2)得：dH =T d S V d P等 H 过程：(TdS)H = -(VdP)H二(仝)h=- V 0

3、; T0)tPT由基本方程：dU二TdS - PdV 二 dSdU -dV .T T ；习题2.5已知(护=，求证由式(227)得:十.)T=0。cp点U门cpJt=T(斤)V-p； =(疋=。；pr)V弓丁 =号；/暮二畀“号片碍片:V ；:(V,T)；:(p,T) ；:(V,T)；:p ：N (王)T丰0 ；二(卫jV；:p2.6试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温 度随体积的增减。解：F=U-TS,将自由能F视为P,V的函数；F=F(p,V)T=。习题dF -dU -TdS-SdT =TdS - pdV -TdS - SdT( p,V)二-Sd TP,V) -

4、p d V(cS亘 0)H工dH汨pdp工迫1闭丿p opdT =二工；p HPdp +丿HdpS联立（1）, （2）式得:;H_ l点P丿s _ I BP丿sCp据:dU 二TdS - pdV熵不变时，（dS=0）dU 二-pdV原题得证。dH 二 TdS Vdp即,s1即刖L ；习题2.8实验发现,一气体的压强p与比容v的乘积及内能U都只是温度的函数，即 pv=f（T）; U=U（T），试据热力学理论，讨论该气体物态方程可能具有什么形式。解：pV=CT，其中C是一个常数pV = f (T) ; U -U (T)由式(227)及 U二 U(T)*=0=T0丿丁Up0丿V即:T J f 仃)V

5、f(T)Vdf f = dT Tdf_ 2习题2.9证明：（；Cv ）T =T（号人,eV打2(仝)t=-T(半)。,:p汀并由此导出:V : 20- C p0Cv -Cv T . (一 2)vdV ； Cp =Cp -TcTVo()pdppp汀根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度 T的函数。证：据式（2.2.5）:详v=T=T-CV li习题证：=-TT2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比体积无关。类似可证:范氏气体v - b = RT由式(227)号 t=T v-P=话=弓二 U仃,v)=UI & 丿 T v-f(T) v=f仃）；与V无关。习题2

6、.11证明理想气体的摩尔自由能可以表为:f = CydT u0 T CdT 一 RlnvTs0-JT=-T * cVdT u。-Ts。- Rlnvf -u -Ts ； df -du -Tds -sdT，对于理想气体du 二 CV dT， u = u(T)选上图示积分路径,过程I: sL =dQTCvdTTu - u 二 CvdT ； s - s0CvdT6dTg = jpdV =RT -Vo vVdvvRT In -v. = u -Ts = CVdT u0 _T _ ； - Ts0过程U:厶u =0 二：u Ts 二一T 守二-：Q=u =0,根据热力学第一定律f=抡人 Uf2CVv二 CVd

7、T u0 -T 亠 dT -Ts0 RT ln Tv习题2.14 一弹簧在恒温下的恢复力 X与其伸长x成正比，即.X= -Ax;今忽略弹簧 的热膨胀,试证明弹簧的自由能F、熵S和内能U的表达式分别为；F 仃.x) = F(T,0)1 Ax B(七2x2 dAS(T)xS(T-ir-U(T,x) =U(T.0)2(A-T：)x22dT解：X - -Ax,A 二 A(T);U 二U(T,x)dxdU -dF 二-SdT A(T)xd;xr各一S;A(T)x =工T丿xF(x,T) = 1 A(T)x2 B(T)2徑F = _ 1 dA仃)2 _ dB(T).汀 x 2 dTdT由于 F 二U -T

8、S,U=F TS 十2 B(T).T 冷啼 X=0时，U=0,即不考虑自身因温度而带来的能量。dB或 B(T)一咕=U(T,)即得：U(T,X) 一 U 仃,0)*)性1 2F(X,T)二 F (T,O) Ax2;22x2 dAS(X,T)= S(T,0)- = *2 dT实际上，B(T)-哼=0dW=-SdT+Fdl习题2.15承前1.5和1.8题.试求将理想弹性体等温可逆地由 Lo拉长至2Lo时所吸 收的热和内能的变化。解：设自由能为W,二 W(L,T)LLo伽、 l乱丿TLo2 L2丿LoLA(T,Lo)显然，当 L 二 L。时有：W(Lo,T)二 bTT LoA(T，Lo)3-A(T,

9、Lo)二W(T丄0)- LobT ;2Lo23 |V2Lo=W(T丄)二 bTW仃丄o)Lo -bTL2 *2Lo 3pW(T丄o) 2Lo2 L 2.八何丿(注Lo 二 Lo(T)bT2Lo 3 ：Lo _ ：W(T,Lo)L 2 汀汀点W仃丄O) &W(T, L) 1=-L? bTL2 T2 )Q吸Q吸,dU =TdS - pdV(0)1 uT1 线上：dS 二 dU pdV 二 dUdV3 VU naT,.由 U =aT4V(1)二 dU=3aT 3VdT aT4dV ;在等T过程中:dU raTdV(2)Q吸=T S =类似绝热dS =0;； dU二 - pdV = - U dV3Vd

10、UJ UU 3V1V3 = C (常数)结合(0).(1).(2).式得：414Q吸-T1- (aT11aT1 ) dV3T2Ti代入 U 二 uV 二 aT 4V;43林，Q放，T2(VbVa),T2T1(VcVd ).=114131 -Q吸T1 (Vc Vd)T1 T1 (Vc -Vd)习题2.21如下图所示，电介质的介电常数；(T)=9与温度有关，试求电路为闭E路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差。 解：当电路闭合时，电容器电场恒定cSCe =T(tT)e 当电路断开时，电容器电荷恒定cSCd 二T(斤)ddU =TdS EdDdF - -SdT EdD诗)t谆)d，因而

11、S : SCe -Cd 二T（- cTcEcDT（石）D 与E=TS D习题2.22 已知顺磁物质的磁化强度为:C心百，若维持物质温度不变，使磁场1利日(沖片E D2 (d ； )2 己(即由0增至H,求磁化热。c解: m=CH; M -mV.据式(2.7.7) T；等T 下:Yt=vTh04hI T2丿g=T、sHHdHT o习题2.23已知超导体的磁感应强度 B =Ao H m =0 ;求证:(i )Cm与m无关,只是T的函数，其中Cm是在磁化强度m保持不变时的热容量;（丘）U = CmdT%m2U o ； （iii）S 二CTdT So解：超导体=M0 H m=0二 H - -m（i ）（式 2.7.9）H = -m ；= Ch 二 cm 二T(ii) 据式(2.7.3). dU 二 TdS %HdM ; M = mV代入Cm表达式U = CmdT-M0mVdmi 亠 U02二CmdT _ MVm . U0 ，其中Uo为0K时的内能 2(iii)由(ii)中已应用了 TdSCmdTC m十一 i-，二 S -0丿mTJCmdT SoT忽略因体积变化带来的影响习题2.24实验测得顺磁介质的磁化率仃)。如果忽略其体积的变化，试求特性函数f(m,t),并导出内能和熵。解：显然只与T有