(线性代数)矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系

1、矩阵秩的8犬性质: A,” tm 小 I ; R(At) = R(A); 若 A B.则 K(A) = K(B); 若八Q可逆，则R(PAQ) = R(A). 下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：特别地，当B = b为非零列向量时，有R(A )7? (A)WR(A) + 1. K(A + B)R(A) + R(B). J?(AB)minlK(A),K(B)L(见下节定理 7) 若 AmXnBrtx/-O,则 R(A) + R(B)S(见下章例 13)设若A为列满秩矩阵，则B-0.线性方程组的解:定理3 n元线性方程组Axb(i) 无解的充分必要条件是R(A)CR(A J);(ii) 有惟一解的充

2、分必要条件是P(A) = R(A)=n;(iii) 有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A) 心定理4 n元齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是R(A)n.05瓢方灘30諜械酬髓件默玮(A),定316解方程AX訂有解的充分必要条件是R(A)= R(A,B).定理 7 设 AB = C,则 R(C)min|R(A)圧(B)|.向量组的线性相关性:定理1矩阵A =严心）的秩等于矩阵B = 觇严J）的鼠定理2向量组B：洛毎严,血能由向蚩组Aauc线性表示的充分必要条件是矩阵A =（為心严心）的秩等于矩阵（A,B）=（釦，,拥严価）的罠WR（A） = R（AtB）.推论向堡组严心与

3、向组B：bw5 等价的充分必要条件是P(A)-R(B)-R(A,B)t其中A和B是向蚩组A和B所构成的矩阵.定理3设向翩严拖能由向鱼组Aq曲赳线性表示,则R（b#2山）WR仏旳宀Q定理4阵A =（小如知）的秩小干向世个数叫向昼组线性无关的充分必要条件IH定理5 （1）若向鈕组A：尙严心d北也线性相关，反盲之，若向懂组B线性无关侧向員组A也线性无关，（2）/个”维向世组成的向量组,当维数小于向虽个数肌 关特别地m + 1个”维向昼一定线性相关.（3）设向量组A：偽”第线性无关，而向量组B0昇线性 相关侧向虽b必能由向量组A钱性表示,且表示式是惟一的.1311线性相关I!向量组引珀严皿时-定线性相

4、lt对比:定理I向即能由向量组Aq严心线性表示的充分必要条件是 矩阵A = 5厲5%)的験等于矩阵B = (al1aartaw,J)的税|宙5线性方讎A齐話命弼拖要条件是RU) = R(A,b). |定理2向量组：m山能由向谶组AU,衍严心线性表示的 充分必要条件是矩阵A二(叭卫2，)的秩等于矩阵2啲秩，即 R(A) = R(A,B).推论向量组 Aat ,fl2tIfit组B如町7等价的充分必要条件是R(A) = R(B)R(A.B), 其中A和B是向世组A和日所构成的矩阵.I定理6矩库方程AX = B有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B). |定理3设向量组B：林血严山能由向扭组A；角曲严心线性表示 则R（D2严）0（如/2严叫）| 定理 7 设 AE = 7 我（I R（C）Wmin|K（ A）,K（E）匚 |定理4向燼航厲严心线性相关的充分必要条件是它所构成灘阵A二（術厲严心）的秩小于向t个数和向组线性无关的充分必要条件是R（A）=氷定酗元揪黠方翩山