用杠杆原理快速求解线段比

1、用杠杆平衡原理快速求解线段比杠杆平衡原理： 动力X动力臂=阻力X阻力臂，合力 =两分力之和. 如图(1)1 , 2, 3分别是支点不同的平衡的杠杆，由杠杆平衡条件可知：Fa BC） AC如图C为支点,F AC =F BC (即A(2)如图2,A为支点，ACc（即竺ACFcFb+f ；A B(3)如图3,B为支点,F AB = FACBC(即 AB =CBF二)Fa,f = f +f ；CA B支点FcFc支点从以上结论可以看出，平衡杠杆总共涉及五个量：两个力臂（作用点到支点的距离，可 看作线段的长）和三个作用力（Fa, Fb , Fc ）,这五个量满足两个关系式和 .在实际应用 时，须体会以下

2、几点，灵活地运用两个公式来解题：（1）三个作用力Fa, Fb, Fc在题目本身中是不存在的，是我们为了解题的需要，根据 具体问题假设出来的.在实际生活中作用力是有方向的，但这里我们不管力的方向，我们就记 住“中间力等于两端力之和”即可；力臂的长（即线段的长）可以是具体的数值，也可以只 是个比值；（2）已知两个作用力，可求第三个作用力，还可求两力臂之比（即线段之比）的大小，由Fa =BC，可求CFb AC图1中，已知F、FA，可由F = F +F求出FBCAB.比如在BC的值AC（注意，我们只能求出（3）已知力臂之比（即线段之比）BC与AC的比值，而求不出 BC与AC的具体长度）；，我们可以先假

3、设其中一个作用力是多少,再求另个作用力的大小，进一步还可求出合力的大小.比如在图1中，已知BC=3，AC可得邑3,Fb则我们可设Fa =6，于是Fb=2，进一步由Fc = Fa+Fb可求出（4）利用杠杆平衡原理求线段比值问题适用的几何基本图形（模型）如图4:下面我将通过具体的例子来说明如何利用杠杆平衡原理快速方便 地解决几何图形中求同一直线上几条线段之比值的问题.图4Fa=7，贝y点E、点B的作用力Fe、Fb各为多少？（参考答案:若B为支点,贝U fa ab = fe ebAB由 AE:BE=5:7,得 2_EB12Fa 7=一,故一=卫设F = 7 , A7 Fe 12=e12,FB= 5

4、.)2、你能求出CF:EF的值吗？（参考答案:12例1、如图5,在 ABC中，D是BC的中点，/ ACB的平分线交AB于E,交AD于F , 若 AE:BE=5:7,求 AF:DF 的值.解：视AB为杠杆，E为支点，由AE:BE=5:7，我们可设点 A的作用力Fa=7，则点B作 用力Fb=5 （满足5X 7 = 7 X 5，点E的作用力Fe=5+7=12，其实这里不用求Fe的值）;再视 BC为杠杆，D为支点，由BD:CD=1:1，由点B的作用力Fb=5,则点C的作用力Fc也等于5 （满足5x1 =5x1）,点D的作用力Fd=5+5=10.因为点A的作用力Fa=7,点D的作用力Fp 可得 AF:D

5、F=10:7.Fa解题思路小结：先选共线的三点作为一个杠杆，并确定其中一个点作为支点，然后根据题 目已知的线段比，假设出其中一个点的作用力的大小，在此基础上求出另外两点的作用力的大 小；再确定第二个杠杆，由已知的线段比及一个点的作用力的大小，求出另外两个点的作用力 的大小；最后在第三个杠杆上根据两点作用力的大小来求出所求两线段的比值.（温馨提示:两线段的比值就是杠杆两力臂的比值；三点作用力的大小是根据“题目所给线段比”假设 出来的（为了计算的方便，最好避免分数的出现）：支点可以是中间的点也可以AB是线段两端的点.比如杠杆AB中，若以A为支点，由Fb”AB =Fe ”AE , -AE可设Fb =

6、 5, Fe = 12，再由Fe = Fa+Fb得Fa = 7 .其余类同.)A的作用力反思：1、视AB为杠杆，B为支点，应该怎样假设作用力呢？若我们设点5P是AD的中点，连接 BP并延长交 AC例2、如图 6, AD是 Rt ABC斜边 BC上的高，于点 E,已知 AC:AB=k，贝U AE:EC=.思路点拨：图中四条线段（BE、BC、AD、AC）可看作杠杆，要使用杠杆解题至少需知 AP 道两个杠杆的力臂之比（即线段之比），但题中只直接给出杠杆 AD的力臂之比 一.=1PP ，条件AC:AB=k并不是某杠杆的两力臂之比，因此要想办法将其转化为“某杠杆的”两力臂BPAB11之比，由三角形相似的

7、性质可得=（）2 = （ ）2 =，这样就知道了杠杆 BC的力CPACkkBP 1臂之比=丄.已知两个杠杆 AD和BC的力臂之比，可以先假设出某一个点的作用力的CP k2大小，再由力臂之比求出其它各点的作用力的大小,A、C两点的作用力 Fa、Fc的大小求出来了，再由杠杆AC的平衡条件AECEFc就可求出AE与FaCE之比了 .解： AD是Rt ABC斜边 BC上的高, BA2 = BD|BC ,CA2 = CD pB .BD = (B )2 =( 2 )2 丄AC k k图6CD设B点作用力 FB=k2，贝U C点作用力Fc=1. D点作用力 FD=k2+1.AP又 = 1,DP点A与点D的作

8、用力大小相等，即Fa=Fd= k2+1.AEFc图7CEF Ak2 +1例3、如图7,点 D、E、F分别在 ABC的各边上，且AE2 BDBE 33 CD=1，夕CFEG求的值.FG思路点拨：图中有三条线段（AB、AC、BC）给出了力臂之比，但图中并没有出现适合 bf或CE构造出基本图，从而利用杠杆平衡原理求杠杆平衡原理的基本图形，因此须连接解:连接bf交AD于H，抽出图8作为基本图（其它无关线段视而不见），视AC、BC为杠杆,由AL =3得fa2BD，所以可设 F =2,则 F =3, F =5.又= 1 ,.F =F =3.CF2 FcCD F =6.DF =8. HBH Ff=5 .抽出

9、图9,视bf、BA为杠杆，由AE =2 , BHFHFbBE 3 FHFaFf1015（这里转化比的目的是为了找到恰当FbFb的表示作用力的数值，以避免出现分数给运算带来麻烦）.可设Fb=6,则 Fa=9, Ff=10,.EG FF =F +F =15. E A BFGFe 153图8&图9）,排除其它点评：此题用了两个解题技巧：通过辅助线构造出基本图形，因为只有符合基本图形 特征的图形才可以使用杠杆平衡原理；从复杂图形中抽出基本图（图无关线段的干扰，这是解几何题常用的策略.这种解法是不是很有意思？跃跃欲试了吧，那赶快做完下面两题吧.1、如图10, AD是 ABC的中线，E是AB上的一点，连接CE交AD于点F，若AF:DF=4:3，AE EF则+的值为（BE CF35A. 2 B. 42、如图11,过点A的两条直线将C.16157D. 5 ABC的中线CD分成三条线段的比为 CE: EF: FD = 431,则这两条直线分 BC所成三条线段的比为 CG: GH: HB = _.（变式：如图 11,在ABC中，G、H是BC边上的三等分点，