第24章圆(全章热门考点整合应用

1、色蒸邂藝初中系列方肘创新教辅领跑2全章热门考点整合应用名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点.本章题型广泛,主要考查圆的概念、 基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系， 切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识为载体，与函数、方程等知识综合 考查.全章热门考点可概括为：一个概念、三个定理、三个关系、两个圆与三角形、三个公式、两个技巧、两种思想.过夷一个概念圆的相关概念1.下列说法正确的是（）A. 直径是弦，弦也是直径B. 半圆是弧，弧是半圆C. 无论过圆内哪一点，只能作一条直径D .在同圆或等圆中，直径的长度是半径的|l匚 I三个定理定理

2、1垂径定理2.【2015北京】如图，AB是O O的直径，过点 B作O O的切线BM，弦CD / BM , 交AB于点F,且DA = DC，连接AC , AD，延长AD交BM于点E.求证： ACD是等边三角形;连接OE，若DE = 2,求OE的长.JTK定理2圆心角、弦、弧间的关系定理3.如图，AB是O O的直径，点C在O O 上,/ AOC = 40 D是BC的中点，求/ ACD的度数.一（第3题）定理3圆周角定理4.如图，已知 AB是O O的弦，0B = 2,/ B = 30 C是弦AB上任意一点（不与点A ,B重合），连接CO并延长CO交O 0于点D，连接AD.弦长AB =（结果保留根号）

3、;当/ D = 20。时，求/ BOD的度数.三个关系关系1点与圆的位置关系5.如图，有两条公路 0M , ON相交成30。角，沿公路0M方向离两条公路的交叉处 0蒸邂藝初中系列方肘创新教辅领跑点80 m的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，距拖拉机 50 m范围内会受到噪音影响，已知有两台相距30 m的拖拉机正沿 ON方向行驶，它们的速度均为5 m/s,则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多长?（第 5 题）关系2直线与圆的位置关系6.如图，在平行四边形 ABCD中，/ D = 60以AB为直径作O O,已知 AB = 10,AD = m.求点O到CD的距离；(

4、用含m的代数式表示)(2)若m = 6，通过计算判断O O与CD的位置关系;(3)若O O与线段CD有两个公共点，求 m的取值范围.S叫(第6题)关系3正多边形和圆的位置关系7.如图，已知O O的内接正十边形 ABCD，AD交0B, 0C于M , N.求证:(1)MN / BC;(2)MN + BC = OB.(第 7 题)圆与三角形1三角形的外接圆&【中考哈尔滨】如图，O 0是 ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,连接CD，且AE = DE, BC = CE.(1)求/ ACB的度数;过点0作OF丄AC于点F，延长F0交BE于点G , DE = 3, EG = 2，求AB的长.4SI蒸邂藝初

5、中系列方肘创新教捕领6圆与三角形2三角形的内切圆9.如图，若 ABC的三边长分别为 AB = 9, BC = 5, CA = 6, ABC的内切圆O O切AB , BC , AC 于点 D ,F,则AF的长为（）5、-iiA. 5 B. 10C. 7.5 D. 4A0（第10题）10.如图，在 ABC中，AB = AC，内切圆O O与边BC, AC , AB分别切于 D , E,F./ BAC = 120 BF = 2/3.则内切圆O O的半径为（）A. 2 Ba/3 C. 4西6 D.9La Ail三个公式公式1弧长公式11.如图，已知正六边形 ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA

6、延长线上的点,在A , P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点 P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（）A. 13 ncm B. 14ncmC. 15 ncm D . 16 ncmAOD（?第12题）12.【2016昆明】如图，AB为O O的直径，AB = 6, AB丄弦CD,垂足为G, EF切O Os蒸藝初中系列方肘创新教辅领跑A. (4 n+ 8) cm2C. (3 n+ 8) cm2DF 4（第13题）C0（第14题）于点B,连接AD , OC , BC，/ A = 30下列结论不正确的是 （）A. EF / CDB

7、. A COB是等边三角形C. CG = DGD.BC的长为3n公式2扇形面积公式13.设计一个商标图案，如图，在矩形ABCD中，若AB = 2BC，且AB = 8 cm,以点A为圆心，AD长为半径作弧，交 BA的延长线于点F，则商标图案（阴影部分）的面积等于B. (4 n+ 16) cm2D. (3 n+ 16) cm2714.【2016重庆】如图，以AB为直径，点0为圆心的半圆经过点 C,若AC = BC =0 ,3.解：/ AOC = 401/ BOC = 180 - 40= 140 / ACO = X (180。 40 = 70.如图，连接 OD. / D 是 BC的中点，/ COD

8、=二 BOC = 70./ OCD = 18070 = 55/ ACD = / ACO +/ OCD = 70+ 55= 1254. 解：（1）2也.如图，连接OA.-亠 ./-蒸邂藝初中系列方肘创新教辅领跑/ OA = OB , OA = OD ,/ BAO = / B, / DAO =/ D./ BAD =/ BAO +/ DAO =/ B + / D.又/ B = 30 / D = 20/ BAD = 50./ BOD = 2 / BAD = 100点拨：圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握.13（第5题）5. 解：如图,过点A作AC丄ON，垂足为C./ M

9、ON = 30 OA = 80 m,D两点，连接AB , AD.以点A为圆心，50 m为半径作圆，交 ON于B ,当第一台拖拉机到B点时对小学产生噪音影响，AB = 50 m,.由勾股定理得 BC =30 m,第一台拖拉机到D点时对小学产生的噪音消失，易得CD = 30 m.两台拖拉机相距30 m,第一台拖拉机到D点时第二台拖拉机在 C点，还需前行30 m后才对小学没有噪音影响.影响时间应是 905= 18（s）.即这两台拖拉机沿 ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是18 s.6. 解：（1）根据平行线间的距离相等，知点O到CD的距离即为点 A到CD的距离.过点A作AE丄CD于点E.根据/

10、 D = 60 AD = m,利用直角三角形中“ 30角所对的直角边 等于斜边的一半”及勾股定理，得AE = m,即点O到CD的距离是m.（2）由题可得 OA = 5.当m = 6时，23m= 3/35，故O O与CD相离.若O O与线段CD有两个公共点，则该圆和线段CD相交，当点C在O O上时，易得 m = 2aB = 5;|直蒸邂藝初中系列 方肘 创新教辅领跑当线段CD与O O相切时，有23m = 5, m =霁.所以m的取值范围是5W m7. 证明：如图，连接 OA ,0D，则/ AOB =/ BOC = / COD = 360 T0= 36 则/ AOD=/ AOB + / BOC +

11、 / COD = 108又 OA = OD,/ OAD = / ODA = 36/ ANO =/ COD + / ODA = 36 + 36 = 72./ BOC = 36 OB = OC,/ BCO = / OBC = 72/ ANO =/ BCO. MN / BC.（第7题）(2) / AON =/ AOB + / BOC = 72 ,/ ANO = 72an = AO = OB./ MN / BC,/ AMB =/ OBC = 72ABM =叮=72/ ABM =/ AMB. AB = AM.又 AB = BC. AN = AM + MN = AB + MN = BC + MN. MN

12、+ BC = OB.&解：在O O中，/ A = / D./ AEB = / DEC , AE = DE, AEB N DEC. EB = EC.又 BC = CE , BE = CE= BC. EBC 为等边三角形ACB = 60炸蒸邂蛊初中系列方肘创新数辅领跑（第8题）(2) / OF 丄 AC , AF = CF. EBC为等边三角形,/ GEF= 60.；/ EGF = 30./ EG= 2 , EF = 1.又 AE = ED = 3,； CF= AF = 4.； AC = 8, CE = 5.； BC = 5.如图,作 BM 丄 AC 于点 M ,/ BCM = 60,/ MBC

13、= 30.； CM = I； BM = pBC2- CM 2 =晋,AM = AC CM =号. AB = AM 2+ BM2 = 7.9. A10. C 点拨：设O O的半径为r，连接AO, OD , OE,易得A, 0, D三点共线，AD=2, AO = 2 r,/ AEO = 90 / AOE = 30 AE = 2ao = (2 r).又根据已知条件易求得 AE = 4 2a/3 , 4-2= 2(2 r),- r= 43- 6,即内切圆O 0的半径是4寸3 6.11. B点拨:由题图可知，点 P运动的路径长是题图中六个扇形的弧长之和，每个扇形的圆心角均为60，半径从12 cm依次减2

14、 cm,所以点P运动的路径长为18060 nX 12 + 60 nX 1018060 nX 8 60nX 6 +180180:,(12 + 10+8+ 6 +4+ 2) = 14ncm).故选 B. 180312. D13. A点拨：在矩形 ABCD 中，AB = 2BC , AB = 8 cm,； AD = BC = 4 cm, / DAF=90 .S扇形1afd = 4 nAD 2= 4 Xcm2). S 矩形 abcd = AB -AD = 8 X 4= 32(cm2).又t AF = AD = 41 1cm,； BF = AF + AB = 4+ 8= 12(cm). Sbcf = 2

15、BF BC = -X 12 X 4= 24(cm2). S 阴影=S扇形 AFD + S 矩形 ABCD Sabcf = 4 n+ 32 24= (4 计 8)(cm2).故选 A.14. A15. B点拨：由圆锥的侧面展开图的面积计算公式，得S = nl = n X 10X 50 =500 ncm2).故选B.17116. C点拨：底面周长是2X 2n= 4n 侧面积是-X4 nX 4= 8 n,底面积是 nX 22全面积是8 n+ 4 n= 12 n17.证明：如图，连接 AE,T AC为直径,/ AEC = 90. AE 丄BC./ AB = AC , be = CE.解：如图，连接 O

16、D , OE,在 RtA ABE 中，/ BAE = 90 -/ B = 90。一 70 = 20 / doe = 2/DAE = 40. DE的度数为40 (3)解：如图，连接 cd，由(1)知 be = CE,.BC = 2BE = 6，设 AC = x，贝U AD = x 2./ AC 为直径，/ ADC = 90在 RtA BCD 中，CD2= BC2 BD2= 62- 22= 32.在 RtAADC 中， ad2 + CD2= AC2,(X 2)2 + 32 = x2.解得 x = 9.即 AC 的长为 9.（第17题）18. (1)证明：如图，连接 OE,.OA = OE. / O

17、EA = / OAE./ PQ 切O O 于 E , OE 丄 PQ.又 AC 丄 PQ,. OE / AC./ OEA = / EAC./ OAE = / EAC. AE 平分/ BAC.（第18题）/ AEB = 90 （2）解：如图，连接 be , AB是直径,/ BAC = 60,/ OAE = / EAC = 30 AB = 2BE./ AC 丄 PQ , / ACE = 90.l * 炸蒸邂藝初中系列方肘创新教辅领践 AE = 2CE. CE=#3 , AE = 3. 设 BE = x,贝U AB = 2x.由勾股定理得X2+ 12= 4x2，解得X1= 2 , X2= 2（舍去）. AB = 4 ,.O O的半径为2.的外部时，过点 A作直径AD，连接E, F.由垂径定理和勾股定理可求得19. 15或75点拨：如图，当圆心 0在/ CAB0C, 0B，过点0作0E丄AB , OF丄AC ,垂足分别为0E = 20A , 0F = FA, / BA0 = 30,/ CA0 = 45 / CAB = 15。.同理可得，当圆心 018在/ CAB的内部时，/ CAB = 75A B（第19题）门 叭第20题）20.解：/ BC是O 0的直径，AB丄BC , DC丄BC, AB , CD都是O 0