第2章第11节导数的应用(1

1、20092013年高考真题备选题库第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用1. (2013新课标全国I, 5分)已知函数f(x) = ex(ax + b)-x2 4x,曲线y= f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y= 4x + 4.(1)求a，b的值;(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值.(l)f (x) = ex(ax + a+ b) 2x- 4.由已知得 f(0) = 4, f (0) = 4.故 b = 4, a+ b = 8.从而 a= 4, b=4.由(1)知，f(x)= 4ex(x + 1) x2

2、4x,x0 ;当 x ( 2, In 2)时，f (x) 0，求f(x)的单调区间;设a0，且对任意 x0, f(x) f(1).试比较In a与2b的大小.考查分类讨论解:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和相关函数值的大小比较, 思想、推理论证能力和运算求解能力.2(1)由 f(x)= ax + bx In x, x (0,+ 8),22ax + bx 1 得 f (x)=bx 1当 a= 0 时，f (x) = p-入(i )若 bw 0,当 x0 时，f (x)0，当0xb时，f (x)b时，f (x)0，函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是(0, b)单调递增区间

3、是 ,+8)当a0时，令f(X)= 0,得 2ax2 + bx 1 = 0.2 b /b2+ 8a由 A= b+ 8a0，得 xi=4ab +寸 b? + 8ax2=4a当0xx2时，f (x)X2时，f (x)0，函数f(x)单调递增./所以函数f(x)的单调递减区间是0,X-b+寸 b + 8a、4a 丿,单调递增区间是b + 8a,+ 8/4a综上所述,a = 0,b 0时，函数f(x)的单调递减区间是0,1)单调递增区间是e,+a0时，函数f(x)的单 调递减 区间 是b +寸 b2 + 8a I0,4a，单调递增区间是b + 8a令 g(x) = 2 4x+ In x,1 4x则 g

4、(x)=1令 g (x) = 0，得 x=4，当 0x0, g（x）单调递增;1当x4时，g （x）0, g（x）单调递减.因此 g(x) g 4卜 1 + ln 4= 1 ln 40.故 g(a)0,即 2 4a+ In a= 2b + In a0,即 In a 2b.OQ3. (2012 福建，5 分)已知 f(x)= x 6x + 9x abc, ab0 : f(0)f(1)0 : f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是（）A .B .C.D .解析：f(x)= x 6x + 9x abc,.f (x) = 3x 12x + 9 = 3(x 1)(x 3)，令 f (x) = 0,32

5、.,得x= 1或x= 3.依题意有，函数f（x） = x 6x + 9x abc的图像与x轴有三个不同的交点,32故 f(1)f (3)0,即(1 6 + 9 abc)(33 6 X 32+ 9 X 3 abc)0 , A0abc4 , /.f(0) = abc0, f(3) = abc0,故是对的.答案：C1 24. （2012辽宁，5分）函数y= x ln x的单调递减区间为（）A. ( 1,1B . (0,1C. 1 ,+s )D . (0 ,+s )1 21 (X 1 (x + 1 )解析：函数y= x ln x的定义域为(0，+ s), y = x - = ，令yw 0,则可得0xw

6、 1.答案：B5. （2009江苏，5分）函数f（x）= x3 15 33x + 6的单调减区间为解析：f (x) = 3x 30x 33 = 3(x 10x 11)x=3(x + 1)(x 11)0,解得：1x0时，(x k)f (x) + x+ 10,求k的最大值.解：(1)f(x)的定义域为(g，+ g), f (x)= ex a.若a w 0,则f (x)0，所以f(x)在 ( g,+g)上单调递增.若 a0,则当 x ( g, ln a)时，f (x)0 ,所以，f(x)在(g, In a)上单调递减，在(In a,+g)上单调递增.由于 a= 1,所以(x k)f (x) + x+

7、 1=(x k)(ex 1) + x+1.故当 x0 时，(x k)f (x) + x + 10 等价于x+ 1k0). e 1x+ 1令 g(x) = +x,则e 1xex 1ex(ex x 2)g (x) =(ex+ 1 =(ex- 1 厂x. 由(1)知，函数h(x) = e x 2在(0,+g)上单调递增.而h(1)0 ,所以h(x)在(0,+g)上存在唯一的零点.故g (x)在(0,+g)上存在唯一的零点.设此零点为a,贝U a (1,2).当 x (0, a时，g (x)0.所以 g(x)在(0，+g)上的最小值为g( a.又由 g ( a) = 0，可得 e= a+ 2,所以 g

8、( a = a+ 1 (2,3).由于式等价于k0.解：由题意得f(X)= 12x2- 2a.当a w 0时，f (X) 0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(一8 ,+8).当a0时，f (x) = 12(x 、y|)(x +、y|),此时函数f(x)的单调递增区间为(8,和、/1，+ )，单调递减区间为证明：由于0 4x 4x+ 2.333当 a2 时，f(x)+ 12- a|= 4x + 2a(1 x) 2 4x + 4(1 x) 2 = 4x 4x+ 2.设 g(x) = 2x3- 2x+ 1,0w xw 1,则 g (x)= 6x2- 2= 6(x )(x +申)，于是X0(0,普

9、)3曾,1)1g (X)0+g(x)1减极小值增1所以，g(X)min =g(舌)= 1 90.3所以当 0w xW 1 时，2x 2x+ 10.3故 f(x) + |2-a| 4x - 4x+ 20.考点二应用导数研究函数的极值和最值1.( 2013新课标全国n,5分)已知函数f(x)= X3 + ax2 + bx+c,下列结论中错误的是()A. ? Xo R , f (xo) = 0B. 函数y= f(x)的图象是中心对称图形C. 若X0是f(x)的极小值点，贝yf(x)在区间(一汽 X0)单调递减D.若X0是f(x)的极值点，贝yf(X0)= 0解析：本题考查三次函数的性质，考查数形结合

10、思想，考查考生分析问题和解决问题的函数值也7+s,又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定？ X0 R, f(x0)=0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(X+ m)3 + n(x+ m) + h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y= X3+ nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点 X1, X2,则极小值点X2 X1,即函数在一8到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选

11、项D中的结论正确.答案：C2. (2013福建，5分)设函数f(x)的定义域为R, xo(xoM 0)是f(x)的极大值点，以下结论定正确的是()A . ? x R, f(x)0, f (x) = In x+ 1 2ax，由于函数f(x)g(x)有两个极值点，则f(X)= 0有两个不等的正根，显然aw 0时不合题意，必有a0，所以 Ovag.答案：B324. (2013 广东，14 分)设函数 f(x) = X kx + x(k R).当k= 1时，求函数f(x)的单调区间;当kv 0时，求函数f(x)在k, k上的最小值 m和最大值M.解：本题以三次函数为背景， 主要考查导数在研究函数的单调

12、性、极值、最值中的应用, 意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力.(1)当 k= 1 时,3 2 2f(x)= X x+ X, f (x) = 3x 2x+ 1.2方程 3x 2x+ 1= 0 的判别式 A= 4 4X 3= 8 v 0,f (x) 0 恒成立,f(x)的单调递增区间为(s,+s).2 2 2 2(2)当 kv 0 时，f (x) = 3x 2kx+ 1，方程 3x 2kx+ 1 = 0 的判别式 = 4k 4 x 3 = 4(k2当A 0时，有k2 3 0 恒成立，这时 f(x)在k, k上单调递增,32有 m= f(k) = k k k + k= k,32

13、3M = f( k)= k k k k= 2k k.当A0时，有k2 30,即 kv 一 ,2令 f (x) = 3x 2kx + 1= 0，解得k3k+ /k23 一X1=3v 0, X2 =Qv 0,且 X1 vX2v 0,kQ2k Vk2 3 V4k2 -寸 k2 3又 X1 k= c k=c=c 0,于是 kvX1 vx2V 0,当 kv xvX1 或 X2v xv k 时，f (x) 0, f(x)为增函数;当 X1v xv x2 时，f (x) v 0, f(x)为减函数,故 M = maxf( k), f(x1), m= minf(k), f(X2).先证 f( k) f(X1)

14、.322 3x1 + X13x1 2kx1 + 1 = 0,.kxi=2323 3X1 + X1 x1+ X1f(x1) = X1 kx1 + X1 = X1 2+ X1 =23f X1+ X1、3131313f( k) f(x1) = ( 2k k) - 2 I = 2k k + x 1 X1 = 2k + 1x1 +- 1 、-k 2x1 丿,又k 1x10，要证 f( k)f(X1),只需证2k25. ( 2013 浙江，15 分)已知 a R,函数 f(x) = 2x3 3(a + 1)x2 + 6ax.(1) 若a = 1，求曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;若|a

15、|1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值. + 品0? X14k3? x1 ,由k X1暫5k显然成立,f( k) f(xi).再证 f(k) f(X2).x2+ X2 X3+ X2113同理 f(x2) =2，有 f(k) f(x2) = k2= (k X2) + 2(k + X2)1时,X0(0,1)1(1, a)a(a,2a)2af (X)+0一0+f(x)0单调极大值单调极小值单调34a递增3a 1递减a2(3 a)递增比较f(0) = 0和f(a)= a2(3 a)的大小可得0, 1a3.当a1时，x0(0,1)1(1, 2a)2af (x)一0+f(x)0单调递减极小值3a

16、1单调递增28a3 24a2得 g(a)= 3a 1.综上所述，f(x)的闭区间0,2|a|上的最小值为|i3a 1, a 1, g(a)f0, 1a 3.6.2(2012陕西，5分)设函数f(x)= -+ In X,则()xx= 2为f(x)的极大值点x = 2为f(x)的极小值点C.x = 2为f(x)的极大值点 x= 2为f(x)的极小值点解析:21 x 2函数 f(x)的定义域为(0 ,+s), f (x) = -2 + -=厂，当 x = 2 时，f (x)= 0 ；x x x当x2时,f (x) 0,函数f(x)为增函数；当0x2时，f (x)0, b0,且函数？(x)= 4x3

17、ax2 2bx + 2 在 x= 1 处有极值，则ab的最大值等于()C. 6解析：函数的导数为？ (x)= 12X2 2ax 2b，由函数？(x)在x= 1处有极值，可知函数?(x)在 x= 1处的导数值为零，12 2a 2b = 0，所以a + b = 6,由题意知a, b都是正实数,所以abw()2 = (|)2= 9,当且仅当a = b = 3时取到等号.答案：D8 (2011浙江，5分)设函数f(x) = ax2+bx+ c(a, b, c R)若 x= 1 为函数 f(x)eX的一个极值点，则下列图像不可能为y= f(x)的图像是()7J-1y-1亠3翼C-1I)解析：若x= 1为

18、函数f(x)ex的一个极值点，则易得a= C.因选项A、B的函数为f(x)=a(x +1)2，则f(x)ex = f (x)ex + f(x)(ex) = a(x + 1)(x + 3)ex, x= 1 为函数 f(x)ex 的一b个极值点满足条件；选项C中，对称轴x=2a0，且开口向下,baO.r.f( 1) = 2a b 0.也满足条件；选项 D中，对称轴x= 2a0, b 2a.f( 1) = 2a b9 时，丫 0,所以函13数y= 3x3+ 81x 234在(9)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x= 9是函数的极大值点，又因为函数在(0 ,+8)上只有一个极大值点，所以函数在

19、x= 9处取得最大值.答案：C210.(2012 广东，14 分)设 0a0 ,B = x R|2x2 3(1 + a)x + 6a0,D = An B.(1)求集合D(用区间表示);求函数f(x)= 2x3 3(1 + a)x2 + 6ax在D内的极值点.1解：(1)方程 2x2 3(1 + a)x + 6a = 0 的判别式 = 9(1 + a)2 48a= 9(a 3)(a )，而0a0,当 A0 时，得 a3，即 0a3,2由 2x - 3(1 + a)x + 6a = 0,1解得 X1 = (1 + a - 3- 3【a - 3)(0, 4 )U(1 + a 厂 3 4- 7X2 =

20、叩 + a + 3 da-3炉-扌)4，有 0X1X2,此时B = (- 8 ,X1)U(x2,+ 8), D =AnB = (0 ,X1)U(X2,+8)；当1A= 0 时，得 a=-,由 X2- 2x + 1 = 0，得 x= 1,此时B = (-8, 1) U (1 ,D = An B= (0,1) U (1，+当A0时，得3a1,D = An B= (0，+ 8).综上所述：当0a3时,D = (0,31 + a -3 323)4)U30+ a + 3 J(a- 3j(a-1)(4，+8 )；当 a = 1时，D= (0,1) U (1，+ 8)；1当3a1 时，D = (0,+ 8)

21、.2 由题知 f (x)= 6x - 6(1 + a)x + 6a = 6(x- 1)(x- a), 0a1,令 f(X)= 0 得 x= a 或 x= 1,当 x1 时，f (x)0 , f(x)单调递增,当 ax1 时，f (x)0 , f(x)单调递减.1当0a0 , f(1) = 2-3(1 + a)+ 6a= 3a- 10 ,再由f(x)的单调性可得0axi1X2,所以函数f(x)在 D内的极值点为x= a.11当a= 3时，D = (0,1) U (1，+s)，函数f(x)在 D内的极值点为x= a= 3.1当3a1时，D = (0,+8),函数f(x)在D内的极值点为 x= a和

22、x = 1.1 1综上，当3a1时，函数f(x)在 D内的极值点为x= a和x= 1;当a= 3时，函数f(x)在11D内的极值点为x= 3;当0a0). ax(1)求f(x)的最小值;3若曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y= 2x,求a, b的值.1解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f(x)= ax+丄+ b2 + b,ax其中等号成立当且仅当ax= 1,1即当x=-时，f(x)取最小值为2 + b.a2x2- 1a法二：f(x)的导数 f (x)= a-2 =2ax ax当x：时，f(x)0, f(x)在r ,+s)上单调递增; aa11当0x一时，f (x)0，

23、f(x)在(0，一)上单调递减. aa1所以当x=-时，f(x)取最小值为2 + b.a11 31(2) 由题设知，f (x)= a-2, f (1) = a -=-，解得a = 2或a =-(不合题意，舍去).axa 2213将 a = 2 代入 f(1) = a + _+ b = _,解得 b= 1.所以 a= 2, b= 1.a2212. (2010 浙江，15 分)已知函数 f(x) = (x- a) (x- b)(a, b R, av b).(1)当a = 1, b= 2时，求曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;设X1, X2是f(x)的两个极值点，X3是f(x)的一

24、个零点，且 X3* X1, X3* X?.证明：存在实 数X4，使得X1, X2, X3, X4按某种顺序排列后构成等差数列，并求X4.解：当 a= 1, b = 2 时，因为 f(x)=(X 1)(3x 5)，故 f(2) = 1.又f(2) = 0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y= X 2.a + 2ba + 2b证明：因为f (x) = 3(x a)(x)，由于av b，故av3一，所以f(x)的两个极,+a + 2b值点为X = a, x= 3a + 2b不妨设 X1 = a, X2= 3因为X3* X1, X3* X2,且X3是f(x)的零点，故X3 = b,a + 2b

25、a + 2b又因为 3 a= 2(b3 ),1 a + 2b 2a + b故可令 X4 = 2(a +)2a + b a+ 2b此时a, , b依次成等差数列,2a+ b所以存在实数X4满足题意，且X4=二一考点三 利用导数研究函数的综合问题x3 (a + 5 卜 x0.(1)证明f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1, +8)内单调递增;设曲线y= f(x)在点Pi (Xi, f(Xi)(i = 1,2,3)处的切线相互平行，且X1X2X3* 0.证明X1 + x?+ X3- y证明：本题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类 讨论思想、化归与转化思想、函

26、数与方程思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.(1)设函数 f1(x) = X3 (a + 5)x(xw 0), f2(x)= x3 a-+x2 + ax(x 0),f 1(X)= 3x2 (a + 5)，由于 a 2,0，从而当一1x0 时，f i(x) = 3x2 (a+ 5)3a 5w 0,所以函数f1(x)在区间(一1,0内单调递减.2f 2(x) = 3x (a + 3)x+ a= (3x a)(x 1),由于 a 2,0，所以当 0x1 时，f 2(x)1时，f 2(X)0.即函数f2(X)在区间0,1)内单调递减，在区间(1 ,+ 8)内单调递增.综合，及f1(0) = f2(

27、0)，可知函数f(x)在区间(一1, 1)内单调递减，在区间(1 ,+8 )内单调递增.(2)由(1)知f (x)在区间(一8, 0)内单调递减，在区间(q内单调递减，在区间一6 丿a+ 3，+S内单调递增，因为曲线y= f(x)在点Pi(xi, f(Xi)(i = 1,2,3)处的切线相互平行，从、6 )而X1,X2,X3互不相等，且f(X1)=f(X2) =f(X3).不妨设X10X2X3，由3x? (a+ 5)= 3X2 (a + 3)X2 + a= 3x3 (a+ 3)X3 + a,22a+ 3a + 3X3.可得 3X2 3X3 (a+ 3)(X2 X3)= 0，解得 X2+ X3

28、= 3 ，从而 0X22设 g(x) = 3x (a+ 3)x + a,贝U g缶 3g(x2)g(0) = a.由 3x1 (a + 5) = g(X2) l2a + 5 a+ 3丁+设t =/2耳，则a=笃兰，因为a 2,0，所以t3t2 + 1故 X1+ 3 X3 t +丁1“八 2 K1=2(t 一1)尹一 3,1即 X1+ X2 + X3 -2. (2013 湖北，13 分)ax+ b设a0, b0,已知函数f(x)=苛.(1)当a丰b时，讨论函数f(x)的单调性;当x0时，称f(x)为a, b关于X的加权平均数.(i)判断 f(1), f否成等比数列，并证明2ab(ii)a，b的几

29、何平均数记为G称a+b为a，b的调和平均数，记为H若H w f(x)w G,求x的取值范围.解：本题主要考查不等式、导数的应用，利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.(1)f(x)的定义域为(一s, 1) U ( 1,+s),f (x)=呻+ 1 口ax+ b)a b72.(X + 1)当ab时,f (x)0，函数f(x)在(s, 1) , ( 1 ,+s )上单调递增;当ab时,f (x)由得f鲁(2)(i)计算得f(1) = 2 0,您a+b 0, fs/a 卜故 f(1)磴 竽ab = ab= f 归丿2 a+bL(ii )由 (i )知您 H

30、,G.故由 H W f(x)b时，0一1，从而aa,由f(x)在(0,+ s )上单调递增与式,得 A，即x的取值范围为，由当a1，从而af(x)在(0，+s)上单调递减与式，得寸a xw a,即x的取值范围为综上，当a = b时，x的取值范围为(0 ,+s)；当ab时，x的取值范围为当a0.求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(一2,0)内恰有两个零点，求 a的取值范围;当a = 1时，设函数f(x)在区间t, t+ 3上的最大值为 M(t)，最小值为m(t),记g(t)=M(t) m(t)，求函数g(t)在区间3, 1上的最小值.解：(l)f (x) = X2+ (1 a)

31、x a= (x+ 1)(x a).由 f (x) = 0,得 X1= 1, X2= a0.当x变化时f(X), f(x)的变化情况如下表:X(8, 1)1( 3 (3) a= 1时，f(x)= 3x x 1.由(1)知f(x)在3, 1上单调递增，在1,1上单调递减,在1,2上单调递增. 当 t 3, 2时，t+ 3 0,1 , 1 t, t+ 3, f(x)在t, 1上单调递增，在1,1t + 3上单调递减.因此，f(x)在t, t+ 3上的最大值 M(t)= f( 1) = 3，而最小值 m(t)为f(t) 与 f(t + 3)中的较小者.由f(t + 3) f(t) = 3(t+ 1)(t + 2)知，当 t 3, 2时，f(t)w f(t + 3), 故 m(t) = f(t),所以 g(t)= f( 1) f(t).而 f(t)在 3, 2上单调递增，因此 f(t) f( 2)=, a)a(a, +8)f (X)+0一0+f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(一8, 1), (a, +8 );单调递减区间是(一1, a).由(1)知f(x)在区间(一2, 1)内单调递增，在区间(一1,0)内单调