昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

1、线性代数 B 2010 2011 学年第一 学期课程试卷 A一、填空1111234512.1.916=425827641252 设 A、 B 为 4 阶方阵，且 | A 1 | 2,3B81，则| AB |1/2.3. 给定矩阵 A ，且 AE 可逆 , 满足ABEA2B , 则 BA E.1001004设 A011，则 A 1021.0120115已知1 ,2 ,3 线性相关 ,3 不能由1 ,2 线性表示，则 1 ,2 线性相关1106设12, 2t , 32 ，且1 ,2 ,3 线性相关，则 t83611237. 设 A 是 43矩阵 , 且 R( A)2 ， B010则 R( AB )

2、_2_3128设三阶方阵 A 的每行元素之和均为零，又R( A)2 ，则齐次线性方程组AxO 的通解为1k 1 (kR).113019.向量组 10,21,31,40的一个最大线性无关组为121110301 , 2 ,4 .10.设 A 为 n 阶方阵 , Ax0 有非零解 , 则 A 必有一个特征值为0.二、单项选择x31x2y 4z21. 若 y021, 则302( A )z21121(A )1 ；( B ) 2 ；(C ) 1；( D ) 0 .2设 A, B , C 均为二阶方阵，ABAC ，则当 (C ) 时，可以推出BC (A ) A10;1101;(D ) A11.10(B )

3、A;(C) A0110013. 下列结论正确的是( A )(A )1 ,2 ,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;(B )若向量1,2 ,3 线性相关，则1 , 2 线性相关；(C )若 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则A 有 n 个不同的特征值 ;(D )若方程组 AxO 有非零解，则Axb 有无穷多解 .144. 已知1 ,2 ,3 是四元方程组 Axb 的三个解， 其中 R ( A)3,241，23，3444则以下不是方程组Axb 的通解为 ( D ) .211112310202( C ) k02;( D ) k22(A ) k2;(B ) k;121.31

4、33442422045. 设向量组1 ,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（B）(A )12 , 23 , 31 ;( B)1 , 2 , 31 ;(C )1 ,2 ,213 2 ;( D )2 ,3 ,223 .6若 n 阶矩阵 A, B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A）(A )A 与 B 相似 ;(B ) AB ，但 | AB |0 ;(C )AB ;(D ) A 与 B 不一定相似，但| A | | B | .7.设 Ap11 p1 , Ap 22 p2 , 且 12 , 则以下结论正确的是（B） .(A ) p1p2 不一定是A 的一个特征向量;(B

5、 ) p1p2 一定不是A 的一个特征向量;(C ) p1p2 一定是 A 的一个特征向量;( D ) p1p2 为零向量 .x1x 2x41,x12 x2x32 x43,三、 k 为何值时 , 线性方程组x2x3x4有解，并在有解时求通解 .x16,x2x 4k1101111011解 :1212301112A11160010510101k0101k1101111011011120111200105001050 01 0 k 20 0 0 0 k 3当 k3时，方程组有解，10004A010130010，500000x 1440x 23 x 4 ，（ 12 分）通解为 X3k1x 3550x

6、4x401a0b四、已知矩阵 A010的特征值之和为 1，特征值之积为1 b00(1) 求 a, b(b0) 的值；(2)求可逆矩阵 P 和对角阵，使得 P 1 AP.a10 1001a0, b1.A010,解b2110001E A010(1)2 (1)121, 31.1010110101当 121 时， E A00000 0 , p11 , p20101000011011011当 31时， E A02 001 0 , p3010100010111取 P 100有 P 1 AP10111a1 1a1a1a2a21a2.五、计算Dnananan1111na2a21a2解 D r1rn （ai1)

7、i1ananan 1c2c1100na210（ai1)cnc1i1an01n1)n1（ai1)(i1六、设 A 为 3 阶矩阵，1 ,2 为 A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量3 满足A 323 ，证明（ 1） 1 ,2 ,3线性无关；（2）令 P1 ,2 ,3，求 P 1 AP .证明 k11k22k 33O (1)，A(k11k 22k 33 )O即k11k22k3 (23 )O (2)(2)-(1)2k1 1k32O因为1,2线性无关，k1k30,代入（ 1），得 k22O ,2O ,k201 ,2 , 3 线性无关100（2） P 1 AP011001线性代数 B2010 201

8、1 学年第一 学期课程试卷 B一、填空12361. 设| A | | (aij ) 42222, 又 Aij是 a ij 的代数余子式 , 则 AAAA =04 |10741424344234182设、B为3阶方阵，且 | A |2,3B181，则 | A1B |1/6.A3.设 A 为方阵 , 满足 A2A 2E0 , 则 A 1A E.211013104设 A1 3 0，则 A 11 1 0.00220015向量组1 ,2 ,3 ,1 线性相关6设 A 是 mn 矩阵 , R( A)r , 则齐次线性方程组AxO有非零解的充分必要条件是r n1237. 设 A 是 43矩阵 , 且 R(

9、A)2 ， B010则 R( AB ) _2_3128设三阶方阵 A 的每行元素之和均为3，则 A 有特征值3 .1319. 向量组1, 213的一个最大线性无关组为1 ,2.1, 395811710属于方阵 A 的不同特征值的特征向量一定线性无关 .二、单项选择a 11a 12a 13a 11a 12a 21a 22a 31a 321. 若 a 21a 22a 231, 则a 13a 23a 33( A ).a 31a 32a 33a 12a 22a 32(A ) 1 ；( B ) 2；(C ) 1；( D ) 0 .2设 A 为 mn 矩阵，且 mn ，则一定有 ( D )(A ) R A

10、 m ;(B) R An ;(C ) m R A n ;(D ) R A m .3.下列结论错误的是( D )(A )1 , 2 ,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;(B ) 若向量1,2 , 3 线性无关，则1 ,2 线性无关；(C )n 阶方阵 A 与对角阵相似是A 有 n 个不同的特征值的必要条件;(D ) 若方程组 AxO 有非零解，则Axb 有无穷多解 .4.设矩阵 Amn 的秩 R( A)mn ，下述结论中正确的是D .( A) A 的任意 m 个列向量必线性无关；( B ) A 的任意一个 m 阶子式不等于零；(C ) 齐次线性方程组Ax0只有零解

11、；( D ) 非齐次线性方程组Ax b 必有无穷多解 .5.n 阶矩阵 A, B , C 满足 ABCE , 则下列各式中成立的是D.( A) ACBE;( B )CBAE ;(C )BACE ;( D )BCAE16设矩阵 Aab42的秩为 2，则 C24a2（ A） a0, b0 ； （B） a0,b0 ； （ C） a0, b0 ；（D） a0,b 0 .7.A, B 均为 n 阶方阵，则下列结论中B成立（ A） AB0,则 AO , 或 B O ；（ B） AB0, 则 A0, 或 B0 ；（ C） ABO , 则 AO , 或 B O ；（ D） ABO , 则 A0, 或 B 0

12、三、 k 为何值时，线性方程组有解并在有解时求通解x1x2x 3x4x5 1,3 x12 x2x3x43 x50,x22 x32 x46 x5k.111111解 A32113001226k11111111111101226301226301226k0 0000k 3当 k3 时， R( A)R( B )25, 所以有依赖于3 个独立参数的无穷多解10115201226300000k3x1x 3x45 x52x22 x32 x46x 53得 x3x3x4x4x5x511522263x c11c20c300 (c1 , c2 ,c3R).01000000101四、已知矩阵 A010,求可逆矩阵 P

13、 与对角阵, 使得 P 1 AP.101101解E A010(1)(2),1 0, 2 1, 32 ，101进一步可求得相应的特征向量为101p10 , p21 , p30。101101取P010，1010有P 1 AP=12a11a2an五、计算行列式Dna1a 21an.a1a2an11a2ann1 a21an解 Dc1cn（ai1)i11a2an 1r2r11a2ann010（ai1)rnr1i1001ni 1ai 110001100六、已知 n 阶矩阵 A1110 , 证明 | A |中所有元素的代数余子式的和为1.01111A11A21An 1证 | A |1,1分 AA12A22A

14、n 2 ，A1 nA2nAnnni1Ai 1| A |nAi 2A A又 A Ai1，| A |nAini1nn1比较第一列元素之和有j 1i 1Aij大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2 分，共 10 分）1311. 若 05x0 ，则_。122x1x2x302若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则应满足。x1x2x303已知矩阵A， B， C(cij ) s n ，满足ACCB ，则A 与B 分别是阶矩阵。a11a124矩阵Aa21a22的行向量组线性。a31a325 n 阶方阵A 满足A23AE0 ，则A1。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的

15、在括号内填“”。每小题2 分，共10 分）1.若行列式D 中每个元素都大于零，则D 0 。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组 a1， a2， ， am 中，如果 a1 与 am 对应的分量成比例，则向量组a1， a2， ， as 线性相关。（）01004.10001A 。（A00，则 A）0100105.若 为可逆矩阵 A 的特征值，则A 1 的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题 2 分，共 10 分 )1.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 ，则 A AT（）。 2n 2n 1 2 n 1 42.n 维

16、向量组1， 2， ， s （ 3sn ）线性无关的充要条件是（）。 1， 2， ， s 中任意两个向量都线性无关1，2， ，s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 1， 2， ， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 1， 2， ， s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是 ( )。任意 n 个 n1 维向量线性相关任意 n 个 n1维向量线性无关任意 n1 个 n维向量线性相关任意 n1 个 n维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是 ( )。 若 A ， B 均可逆，则 A B 可逆 若 A ， B 均可逆，则A B 可逆 若 AB 可逆，则AB 可逆

17、若 AB 可逆， 则A ， B 均可逆5. 若1，2，3，4 是线性方程组 A0 的基础解系，则1234 是 A0 的（） 解向量 基础解系 通解 A 的行向量四、计算题(每小题9 分，共 63 分 )x abcd1.计算行列式axbcdabxc。dabcxd解x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdx a b c dbx cdabcx dx a b c dbcx d1bcd1bcd(x a b c d)1 x bcd0x00( x a b c d ) x31bx cd(x a b c d )0x001bcxd000x3012. 设 AB A

18、2B ，且 A11 0 ,求 B 。014211解 .( A 2E) B A( A 2E) 1221，111522B ( A 2E) 1 A432223110021343.设 B0110,C0213且矩阵满足关系式X (CB)E,求0011002100010002。a1122问 a 取何值时，下列向量组线性相关114.1,2a, 3。2121a22x1x2x335.为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解当方程组有无穷x1 x2x32多解时求其通解。 当1且2 时，方程组有唯一解；当2 时方程组无解211当1 时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 000112136. 设

19、 14,29,30,410 . 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其11370317余向量用该极大无关组线性表示。1007.设 A010，求 A 的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7分 )若A是 n 阶方阵，且AAA1，证明A I 0。其中I为单位矩阵。I，大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52.13.ss， nn4.相关5. A 3E二、判断正误1.2.3.4.5.三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx dxabcdbcx d1bcd1bcd(x

20、 a b c d) 1x bcd(x a b c d ) 0x 00( x a b c d ) x31bx cd00x01bcx d000x2.211522( A 2E)B A( A 2E) 1221， B ( A 2E) 1 A4321112233.123410000123，B)2100C B012(C3210000014321C B 1000100012 100 ， X E C B 12 10012101210012101214.a1122a1， a2，a31a11 ( 2a 1)2 (2a 2) 当 a1或 a1 时，向量组 a1， a2， a3 线212821a22性相关。5. 当且2

21、时，方程组有唯一解；1当2 时方程组无解211当1 时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 00016.1213121312134901001420142(a1， a2， a3， a4 )137034100016161031703170013131002010200110000则 ra1， a2， a3， a43 ，其中 a1， a2， a3 构成极大无关组， a42a12a2a37.100EA010( 1)3002100010特征值123 1，对于 1 1， 1 EA 000，特征向量为 k 0l 002001五、证明题AIAAAA IAIAIA 2 IA0， IA0一、选择题（本题共4 小

22、题，每小题4 分，满分 16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设A ， B 为n 阶方阵，满足等式AB0 ，则必有（）(A) A0 或 B0 ; (B)AB0 ；（C）A0 或B0 ; (D)AB0 。2、A 和 B 均为n 阶矩阵，且( AB) 2A22 ABB2 ，则必有（）(A)AE ；(B)BE ；（C）AB .(D)ABBA。3、设A 为 mn 矩阵，齐次方程组Ax0 仅有零解的充要条件是（）(A)A 的列向量线性无关；(B)A 的列向量线性相关；（ C）A 的行向量线性无关；(D)A 的行向量线性相关.4、n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（）(A)A 的秩小于n ；(B)A0 ；(C)A 的特征值都等于零；(D)A 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4 小题，每题 4 分，满分 16 分）5、若 4 阶矩阵 A 的行列式 A5 ， A 是 A 的伴随矩阵，则A =。6、 A 为 n n 阶矩阵，且 A2A2E0 ，则 ( A 2E) 1。121x117、已知方程组 23a 2x23无解，则 a。1a2x348 、 二 次 型 f (x1, x2 , x3 ) 2x123x22tx322x1 x2 2x1 x3 是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围是。三、计算题（本题共2 小题，每题8 分，满分 16 分