2011届高三数学苏教版创新设计一轮复习课件：6.3基本不等式.ppt

1、1了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,第3课时 基本不等式 (a0，b0,1基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考的重点，它应用范围较广，几乎可以涉及高中数学的所有章节，且常考常新，内容无外乎就是大小判断、求最值、求取值范围等 2基本不等式在每年的高考题中几乎都有所体现，特别是在求有关最值中，往往和应用题结合，同时常在基本不等式的使用条件上设置一些问题，应谨慎处理,命题预测,1利用基本不等式证明其他不等式时，一是要创设一个应用基本不等式的情境，二是选择恰当的公式及其变形形式，如a2b22ab(a，bR),2(a2b2)(ab)2，(ab)24ab， ，同

2、时也要从整体上把握基本不等式,应试对策,2用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后利用基本不等式求出最值在求解最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值；另一种方法是将要求最值的表达式进行变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值在用基本不等式时都必须要验证等号成立的条件 3利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：一正二定三相等，也就是先满足是正数，然后有定值(和定积最大，积定和最小)，三是要看能不能取等号“当且仅当xy时等号成立”有两层意思：一是当xy时，取“”；二是取到“”时，必有xy.所以，在运用此定理解题时一定要重视

3、这一点,1证明：不等式a3b3c33abc(a、b、c均为正数) 证明：a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc (abc)(ab)2(ab)cc23ab(abc) (abc)(a2b2c2abbcca) (abc)(ab)2(bc)2(ca)20， a3b3c33abc 很显然，当且仅当abc时取“”号 推论：如果a，b，c为正实数，那么 (当且仅当abc时，取“”号,知识拓展,1算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把 称为a，b的算术平均数， 称为a，b 的几何 平均数,2基本不等式 (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号 (3

4、)结论：两个正数a，b的算术平均数 其几何平均数 思考：你能用数列的知识解释 (a0，b0)的意义吗？ 提示：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项,a0，b0,ab,不小于,3几个重要的不等式 (1)a2b2 (a，bR)(2) (a，b同号) (3)ab (a，bR) 4运用基本不等式求函数的最大值、最小值 对于非负数a，b， (1)和ab一定时，积ab有最 ，用基本不等式的变形式 ； (2)积ab一定时，和ab有最 ，用基本不等式的变形式,2ab,2,大值,小值,1(2010江苏通州市高三素质检测)已知a，b(0，)，ab1， 则ab的最大值为_ 答案： 2设x，y为正数，则(xy)(

5、)的最小值为_ 解析：(xy)( )5 (x0，y0)5229， 当且仅当y2x时取 得最小值9. 答案：9,3已知 1(x0，y0)，则xy的最小值为_ 解析：1 2 ， ，xy60. 当且仅当 ，即x10，y6时，xy有最小值60. 答案：60,4函数yx 的值域为_ 解析：当x0时，x 2；当x0时x 2. 函数的值域为(，2 2) 答案：(，22，,5已知扇形面积为定值S，则半径为_时，扇形周长取最小值_ 解析：设半径为R，周长为l.S (l2R)R，l2R 2(R )4 此时R ， 则R . 答案： 4,1利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式

6、入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果” 2证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立同时也要注意应用基本不等式的变形形式,例1】(1)已知a0，b0，ab1，求证： 4.(2)证明：a4b4c4d44abcd. 思路点拨：(1)利用ab1将要证不等式中的1代换，即可得证 (2)利用a2b22ab两两结合即可求证但需两次利用不等式，注意等号成立的条件,证明：(1)a0，b0，ab1， 4.原不等式成立 (2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c2d2)22abcd4abcd. 故原不等式得证，等号成

7、立的条件是a2b2且c2d2且a2b2c2d2,变式1：已知a，b(0，)且ab1，求证： (1) 16；(2)a2b2 ；(3)(1 )(1 )9； (4) 2,应用基本不等式求最值应注意： (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值 (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法,例2】(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z 的最小值 (2)已知x

8、，求函数y4x2 的最大值 思路点拨：(1)由lgxlgy1得xy10，故可用基本不等式 (2)由x ，可知4x50，故可以对4x2进行拆项，再调整符号,解：(1)由已知条件lgxlgy1，可得xy10. 则 2.当且仅当2y5x， 即x2，y5时等号成立 2. (2)x0， y4x2 3231， 当且仅当54x 即x1时，上式等号成立当x1时，y取得最大值1,变式2：已知x0，y0，且xy1，则的最小值是_ 解析：由已知，得 2 13， 当且仅当 且x0，y0，即xy 时，取等号 答案：3,3x0， f(x) 1，当且仅当3x，即x1时，等号成立故f(x)的最大值为1,有关基本不等式的实际应

9、用问题，在利用基本不等式求有关代数式的最值的过 程中，要注意相应的前提条件是否具备，否则就会得出错误的结果 【例3】某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、 右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地 当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少,思路点拨：本题主要思路是把实际问题抽象为数学问题，灵活地应用不等式等 基础知识和方法解决问题,解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab800. 蔬菜的种植面积是S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b)， 所以S8084 648(m2)当a2b，即a4

10、0(m)，b20(m)时， S最大值648(m2) 所以，当矩形温室的左侧边长为40 m、后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最 大，最大种植面积为648 m2,池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单 价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计) (1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低； (2)如果受地形限制，污水处理池的长，宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理 池的长设计为多少米时，可使总造价最低,变式4：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,解：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为 米总造价f(x

11、) 400(2x2 ) 100 60200800(x )12 000 1 600 12 00036 000(元)， 当且仅当x (x0)，即x15时等号成立 (2)记g(x)x (0 x14.5)，显然是减函数，x14.5时，g(x)有最小值， 相应造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米,规律方法总结】 1a2b22ab成立的条件是a，bR，而 成立，则要求a0且b0.使用时，要明确定理成立的前提条件 2在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为一定值)、“等”(等号取得的条件)的条件 3注意掌

12、握基本不等式的逆用，变化形式特点 4不等式的应用主要有三方面：一是能转化为求解不等式(组)的有关问题(如求 函数的定义域、讨论一元二次方程根的分布等)；二是能转化为不等式证明的有关问题(如证明函数的单调性等)；三是能利用两个重要不等式的极端情形解决的最值问题,例4】 函数yx (x1)的值域是_,错因分析,应用基本不等式 时，易忽视a、b同为非负数这一条件而出错，如本题易出现：由yx 13，得出y3，)这一错误结果,答题模板】 解：当x1时，yx 13， 当且仅当x1 即x2时等号成立； 当x1时，yx 11， 即y1，当且仅当1x 即x0时等号成立 原函数的值域为(，13，,利用基本不等式ab 以及变式ab2 等求函数的最值时，务必注意，a，bR(或a，b非负)，积a b或ab其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件本题中的函数是形如yax (a，b0)的特殊情况，