选修4-1几何证明

1、选修4-1几何证明第一单元，线和角那么有多少条线段?猜一猜：如果直线上有 n个点,规律：5+4+3+2+1。1,直线、射线、线段的比较名称定义图形表示直线向两端无限延伸直的线1 ）用直线上两点；2）用小写字母射线直线上一点和它一旁的部分1 ）端点和任一点；2）用小写字母线段直线上两点和它们之间的部分1）用两个端点；2）用小写字母端点延长性延伸性性质0无两端延伸两点确定一条直线1反向延长一端延伸2两端延长无两点之间线段最短173，直线相交的交点（最多交点）两直线相交三直线相交1个四直线相交1+2+3n条直线呢?1+2+想一想：多一条直线,多出几个交点？从而去探究n条直线的规律?(n-1 )。4，

2、过点画直线（最多直线数）过一点米过两点无数条过四点（任三点和共线） 过n点呢?你知道吗?5，平面划分空间（最多空间数：犹如一把剪刀最多把一个长方形纸剪成多少块？）一条直线二条直线4 块=2+2三条直线7 块=2+2+3n条直线想一想:4，线段的和、差、倍、分线段的和：线段之接；线段的差：长-短，长剪短。线段的倍分：理解两等份点，三等份点，四等份点,n等份点，抓住等份量数，体会线段之间的几倍、几分之几的关系。（二）角1定义：从一点引出两条射线所组成的图形；或一条射线绕其端点从一个位置转到另一位置所组成的图形。2，表示：1）用三点表示；2）用一点表示;3）用数字母表示；4）用希腊字母表示。3,两角

3、的位置关系1）互余：若两角之和为 900,则称两1)互补：若两角之和为 1800,则称这两角互补;角互余;2）写余角:900 _ /a,2)写补角：180 / a找余角:两角之拼为直角，两角之和为90；3）找补角：两角之拼为平角，两角之和为1800.性质：同角或等角的余角相等。4）同角或等角的补角相等。角度的计算加法：对位相加,60 进一;对位相减,、/借一当 60;乘法：分配相乘,780567377+) 39047?35760 进一;分配相除,剩下相送。-)180?23746752?23717736?44757731?118744712715671378?5，角度的换算X) 61387102

4、望167=1397457367度X 60分X 60秒；秒十60分十60度。5)2247477367220747287728576，钟表上角度的计算271567时针一分钟走0。57,分针一分钟走 67。1557计算分针与时针的夹角的方法：左+中+右;17计算过几点几分分针与时针成某角度的方法：设、列、解、答。7,角的和、差、倍、分角的和：角之拼；角的差：大 -小,大剪小;角的倍分：理解两等份线、三等份线、四等份线n等份线,抓住等份量数，从而体会角之间的几倍、几分之几的关系。第二单元相交线平行线.相交所成角有：对顶角、邻补角。若两直线只有一个公共点，则称两直线相交。对顶角：两直线相交中，不相邻的两

5、个角；若一角的两边是另一角两边的反向延长线。2，三直线相交：简称三线八角，比喻为“两葱一刀”即一刀切两葱，或两葱被一刀所切；一条直线截两条直线，两条直线被一条直线。所成角中有：顶点相同的角，顶点不同的角。同位角：位置相同的两个角，体现在两直线的一方，第三直线的一旁;内错角：两直线之内，上下左右位置交错的两个角。同旁内角：两直线之内，第三线一旁。3，两直线垂直：若两直线所成角为90,则称这两直线垂直。画垂线的方法：两对准。（工具：直角）垂线的性质：1）垂线段最短；2）过一点画已知直线的垂线有且只有一条。二，平行线1，平行线的特征（性质）2，平行线的识别（判定）（1）在“三线八角”图中,若同位角相

6、等，则两直线平行;若两直线平行，则同位角相等;若内错角相等，则两直线平行;若两直线平行，则内错角相等;若同旁内角互补，则两直线平行;若两直线平行，则同旁内角互补。平行于同一直线的两直线平行;同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行;（2）若两角两边分别平行或垂直,几何图形的平行关系;三角形、梯形的中位线的平行关系;对应线段成比例，或一组直线平行;圆中所夹两弧相等，则两弦平行或相交。过一点画已知直线的平行线有且只有一条。第三单元三角形，三角形有关的概念三角形：不共线的三条线段首尾相接组成的封闭图形。四边形：不共线的四条线段首尾相接组成的封闭图形。多边形：不共线的多条线段首尾相接组成的封闭图形。内角

7、：相邻两边的夹角。（与一般的角有何不同？）外角：一边与相邻另一边的延长线的夹角。（与一般的角有何不同？）三角霰的中线：一角的顶点和它对边中点的连线段。三角形的角平分线：角的平分线与它对边交点和这个角的顶点的连线段。三角形的高：角的顶点向它的对边所作的垂线段。中线角平分线2,三角形的分类按角分类卩斜三角形J锐角三角形 I钝角三角形直角三角形按边分叮不等边三角形等腰三角形厂底腰不等3,三角形的边角关系(1)三角形的内角和为 1800,外角和为3600。(2)三角形的内角与外角的关系外角和它相邻内角互为邻补角;外角=它不相邻的两内角的和;外角它不相邻的任一内角。(3) 三角形的三条边之间的关系统两边

8、之和第三边，两边之差V第三边。应用思路：1 )两边之差V第三边V两边之和;2)两小边之和最大边，两大边之差V最小边。(1) 同一三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。DBDC5，特殊三角形的识别与特征(判定与性质)等腰三角形的识别等腰三角形的特征边：有两边相等的三角形是等腰三角形边：等腰三角形的两腰相等角：有两角相等的三角形是等腰三角形角：等腰三角形的两底角相等三线：有一组两线合一的三角形是等到腰三角形态三线：等到腰三角形的底边上主咼、中线、 顶角的平分线重合为一线，(三线合一)等边三角形的识别与特征等边三角形的识别等边三角形的特征边：有三边相等的三角形是等边三角形边：等边

9、三角形的三边相等角：有两角为600的三角形是等边三角形角：等边三角形的三角相等，都为600有三角相等的三角形是等边三角形三线：等边三角形有三组三线合一三线：有两组三线合一的三角形是等边三角形等腰三角形变成等边三角形边：底腰相等的等腰三角形是等边三角形角：有一角为600的等腰三角形是等边三角形底角=顶角的等腰三角形是等边三角形三线：腰上的高、中线、底角平分线中，有两线合一的等腰三角形是等边三角形。直角三角形的识别与特征直角三角形的识别直角三角形的特征边：两小边平方和=大边的平方的三角形边：两直角边的平方和-斜边的平方角：有一角为直角的三角形角：直角三角形中，有一角为900有两角和为90o的三角形

10、直角三角形中，两锐角互余三线：一边中线-这边的一半的三角形三线：斜边中线-斜边的一半6 ,三角形的全等与相似两三角形全等的识别两三角形全等的特征三边对应相等的两三角形全等两三角形全等，对应边相等两边夹角对应相等的两三角形全等两三角形全等，对应角相等两角一边对应相等的两三角形全等两三角形全等，对应高（中线、角平分线一） 全等斜边、直角边对应相等的两直角三角形全等两三角形全等，对应周长、面积相等两三角形相似的识别与特征两三角形相似的识别两三角形相似的特征三边对应成比例，两三角形相似两三角形相似，对应边成比例两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，两三角形相似，对应角相等两角对应相等两三角形相似，对

11、应高（中线、角平分线、 周长一）之比-相似比斜边直角边对应成比例，两直角三角形相似两三角形相似，对应面积之比-相似比的平方成比例：比值相等；相似比：对应边之比。多边形全等的条件：各角对应相等，各边对应相等。多边形相似的条件：各角对应相等，各边对应成比例。多边形全等、相似的特征类似于三角形全等、相似的特征。5，三角形角形的外心、内心、垂心、重心（旁心、界心）(1)外心：外接圆的圆心，它是三边中垂线的交点，它到三个顶点的距离相等。方法：画图示意，推理分析。OA=OB=OCOA=OC O在AC的垂直平分线上OA=OB 一 O在AB的垂直平分线上 *外心是三边垂直平分线的OB=OC 一 0在BC的垂直

12、平分线上 ,交占八、锐角三角形的外心在三角形内直角三角形的外心在斜边中点钝角三角形的外心在三角形外画图示意便知。它是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。(2 )内心：内切圆的圆心,0方法：画图示意，推理分析。OD=OE=OFOD=OE * O在/ A的平分线上OD=OF O在/ B的平分线上内心是三角平分线的OE=OFO在/ C的平分线上丿 交点。想一想：内心一定在三角形内吗?画图示意便知:(3 )垂心：三条高的交点。锐角三角形的三条高的交点在三角形内直角三角形的三条咼的交点在直角顶点钝角三角形的三条高的交点在三角形外11S= ah,S=-absi nC,22径的一半 1S= Jp(p -

13、a)( p -b)( p -c).( p = ?(a + b + c)底X高的一半，两边积X夹角的正弦的一半。4),角互余，变名称；变名称，角互余。sina =cos(9O0 a),ta na =cot(9O0 a).(4) ,解直角三角形：解出解直角三角形中不知道的边或角。1)利用勾股定理，解出边；C2 =a2 +b2;2 )利用两锐角互余，解出角；/A+ / B=90 。3）利用三角函数的名称，解出角或边。ababsinA= , cos A = , tan A , cot A = ccba9，解直角三角形abab（1） 定义：sinA=, cos A= ，tanA= ，cot A=-ccb

14、a(2)特殊角的三角函数值00300450600900sin01虚31222cos1再罷1022201tan不存在310cot不存在应用一，知值求角，知角求值；(找)应用二，比较大小;同种名称：正弦、正切-角大值大，角小值小;异种名称：异名化同名,或 si na rj i I a二，平移的定义：图形的平行移动。由移动的方向和距离决定。Aj U2三，平移前后的对应关系。F点A与点A叫做对应点，点 B的对应点是点C的对应点是点/ A与/ A叫做对应角，/ B的对应角是/C的对应角是线段AB与线段A B叫做对应线段，线段AC的对应线段是线；线段BC的对应线段是线段 ABC平移的方向就是由点 B到点B

15、的方向，平移的距离就是线段B B 的长度。 ABC的对应三角形 A B C。四，平移的特征对应点-所有对应点的移动方向和移动距离相同;对应角-相等；/ B=/ B,/ A=/ A , / C=/ C。对应线段-平行相等或共线相等；A B/ AB, A B =AB, A C/A c，=,BC与 B C 共线，BC=B C。对应图形-形状的大小不变，于是就有对应图形的周长、面积相等。五，画平移图形：找关键点，其步骤为：平行，截取，连接。平行-过关键点作移动方向的平行线；截取-截取等于移动的距离。连接-连接对应点成对应图形。六，找移动方向和移动距离。移动方向-对应点连线段的方向;移动距离对应点连线段

16、的长度。一，生活中的旋转现象。Ipjrjraj?tTJ(T 卄m H+CW 巴 L二，旋转的定义旋转对称-一个图形绕某点转某个角度后， 转对称；由旋转中心和旋转方位角度决定。旋转对称图形-一个图形绕某点转某个角度后, 对称图形。三，旋转前后的对应关系。与另一个图形重合,则称这两个图形成旋对应点-旋转前后重合的 点；点A旋转到点A，点B的 ;点C的对应点 是；与自身重合,，则称这个图形是旋转/ A的对应角是对应角一旋转前后重合的角；/ A0B旋转到/ A OB , 的对应角是对应线段-旋转前后重合的线段；0A旋转到OA ,线段0B的对应线段是线段;线段AB的对应线段是线段对应图形-旋转前后重合的

17、图形AOB旋转到了 A O B。 四，旋转的特征0A对应点-所有对应点的旋转中心和旋转方位角度相同；对应点到旋转中心的距离相等;旋转到OA , OB旋转到_。 OA=,OC=,/ ABG=对应角-相等；/ AOB=/ A OB , / A=_； / B=. / CAB=/ BGA=对应线段-相等；AB=_，BG=,GA=.对应图形-图形的形状与大小都没有发生变化。对应图形的周长、面积相等。五，画旋转对称（图形）找关键点（见图11.2.5）其步骤为：连接，旋转，截取，连接。第一步：连接关键点与旋转中心的线段；第二步：按要求的旋转方位角度旋转;第三步：截取关键点与旋转中心的线段的长度；第四步：连接

18、对应点成对应图形。六，找旋转中心和旋转方位角度。找旋转中心-对应点连线段垂直平分线的交点;找旋转方位角度-对应与旋转中心连线段的夹角的度数。，生活中的中心对称（图形）二.中心对称的定义中心对称-一个图形绕某点转 180度后，与另一个图形重合,则称这两个图形成中心对称；由对称中心和旋转 180度决定。中心对称图形-一个图形绕某点转180度后，与自身重合,，则称这个图形是中心对三.中心对称前后的对应关系GD称图形。BA 对称点-两个图形中的对应点即两图形对称后能重合的点，叫做关于中心的对称点。中心A的对称点为点，点G关于对称中心的对称点为点，点A关于对B如图所示， ABG与 ADE就是成中心对称的

19、两个三角形，点A是对称中心，点B关于对称称中心A的对称点为点对应线-两个图形中的对应线即两图形对称后能重合的线，叫做关于中心的对称线。图 11o 3.2 中 AC 与 AE,AB 与 AD,BC 与 DE.叫做关于中心的对称对应图形-两个图形中的对应图形即两图形对称后能重合的图形, 图形。四.中心对称的特征。对应点-所有对应点的旋转中心和旋转方位角度相同；对应点到旋转中心的距离相等;如图，OA=OA ,OB=OB ,OC=OC ,OD=OD 对应线-平行相等或共线相等;对应图形-图形的形状与大小都没有发生变化。对应图形的周长、面积相等。五，画中心对称图形。六.找对称中心：对应点连线段的中点；对

20、应点连线段的交点。第五单元平行四边形与梯形，平行四边形1,生活中的平行四边形。2,平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。3,平行四边形的特征边：对边平行且相等；角：对角相等，邻角互补。对角线：互相平分。对称性：中心对称图形，旋转对称图形。4,平行四边形的识别边:两组对边分别平行的四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行全相等的四边形角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形相邻两组邻角互补的四边形对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。二，特殊的平行四边形-矩形1，生活中的矩形。2，矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形。:& r 裁二T；存厂帆!卩J 一:3,矩形的特

21、征：从比平行四边形的特征多出的特征来得到矩形的特征。矩形的特征平行四边形的特征边：对边平行且相等， 邻边垂直。角：对角相等，邻角互补,四角为直角。对角线：互相平分,相等。对称性：中心对称图形，旋转对称图形，轴对称图形。4，矩形的识别边：两组对边分别平行,邻边垂直的四边形两组对边分别相等,邻边垂直的四边形 1矩形。一组对边平行且相等,邻边垂直的四边形J角：三个角为直角的四边形是矩形。对角线：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。边：邻边垂直平行四边形+X角：有一个角为直角矩形。对角线：相等三，特殊的平行四边形-菱形。1，生活中的菱形。2，菱形的定义：四边相等的四边形。3，菱形的特征：从比平行四边形

22、的特征多出的特征来得到菱形的特征。菱形的特征平行四边形的特征边：对边平行且相等， 邻边相等。角：对角相等，邻角互补，对角被对角线平分。对角线：互相平分， 垂直，对角线平分对角。对称性：中心对称图形，旋转对称图形,轴对称图形。4，菱形的识别边：四边相等的四边形是菱形。角：两组对角分别相等，对角被对角线平分的四边形是菱形。相邻两组邻角互补，对角被对角线平分的四边形是菱形。对角线：对角线互相垂直平分 的四边形 是菱形。边：邻边相等。平行四边形+ 1角：对角被对角线平分菱形。对角线：互相垂直四,特殊的平行四边形-正方形1,生活中的正方形。2,正方形的定义：邻边相等的矩形。2213,正方形的特征：从比平

23、行四边形的特征多出的特征来得到正方形的特征。正方形的特征平行四边形的特征边：对边平行且相等， 邻边相等，邻边垂直，四边相等。角：对角相等，邻角互补，对角被对角线平分，四角为直角。对角线：互相平分， 垂直，对角线平分对角，相等。对称性：中心对称图形，旋转对称图形，轴对称图形。正方形的识别边:四边相等，邻边垂直 的四边形是正方形。角:三个角为直角，对角被对角线平分的四边形是正方形。对角线：对角线互相垂直平分 的四边形是正方形。平行四边形+边：邻边相等，邻边垂直角：对角被对角线平分， 有一个角为直角正方形。对角线：相等，对角线平分对角边:邻边相等对角被对角线平分正方形。对角线：互相垂直 边：邻边垂直

24、角：有一个角为直角 正方形。对角线：相等梯形 生活中的梯形。梯形的定义：只有一组对边平行的四边形。或者说一组对边平行不相等的四边 形，或者说一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。梯形的分类任意梯形梯形直角梯形：有一个角为直角的梯形。特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形。4，等腰梯形的特征边：两腰相等，两底平行；角：同一底的两底角相等，同一腰上的两底角互补。对角线：两条对角线相等。对称性：轴对称图形。5,等腰梯形的识别边：两腰相等的梯形是等腰梯形;角：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形;对角线：两条对角线相等的梯形是等腰梯形。6，梯形的应用思路应用思路之一：转化为三角形;应用思路之二：转化为平行

25、四边形和三角形;7,梯形的中位线梯形两腰中点的连线段，它平行于上、下底，且等于上下底和的一半。8，中点四边形任意四边形的中点四边形是平行四边形，平行四边形的中点四边形是平行四边形，矩形的中点四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，菱形的中点四边形是矩形，对角线相等的四边形的中点四边形是鞭形，对角线垂直相等的四边形的中点四边形是正方形，正方形的中点四边形是正方形。9，梯形的面积1S =（上底+下底）x高=中位线X高。第六单元，圆的定义1，至U定点距离为定长的点的轨迹（点的集合）2，一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点所组成的图形。二，与圆有关的概念圆的弦：圆上两点的连线段。圆的

26、弧：圆上两点和它们之间的部份。包括劣弧，半圆弧，优弧。等弧：能重合的两条弧，或者说长度相等，弯曲程度相同的两条弧。圆心角：两条半径的夹角。或者说顶点在圆心的角。圆周角：有公共端点的两条弦的夹角，或者说顶点在圆上，角的两边与圆相交的角。同圆：圆心相同，半径相同的两个圆。同心圆；圆心相同的两个圆。等圆：大小相等的两个圆。或者说能重合的两个圆。弦心距：圆心到弦的距离。三，圆的基本性质1，圆的对称性：圆是轴对称性，旋转2, 垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦,对称性，中心对称性。平分弦，所对的弧。比喻为垂直，一刀，三切。O 3，同弧或等弧所对的圆心角、圆周角平分非直径弦的直径 平分弧所对的直径 弦的垂直

27、平分线4,同圆或等圆中，所对的两弦，所对的两弦具有倍半关系。5，圆的内接四边形：内对角互补，外角的弦心，距，所对两弧，所对的两个圆心角,所对的两个圆周角,比喻具有一相等，四相等。=内对角。 四，点与圆,点P在圆外二dr.直线与湘离d r点P在圆上=d=r.直线与圆相切d = r点P在圆内二dr.直线与圆相交d r直线与圆，圆与圆的位置关系内含内切相交皿GOod CR rd = R -rR r cd R + r五，与切线有关的定理1，切线的判定定理：经过半径的外端，且垂2,切线的性质定理：切骊垂直于过切直于半径的直线。点的半径。3, 切线长定理：圆外一点向圆引两条切线弦切线定理：弦切角=所夹弧对

28、的圆周切线长相等，圆外点与圆心的连线是两条角。切线的夹角，抓住轴对称性，还可得到一弦切角：过切点的弦与切线的夹角,系列的结论。圆外一点向圆引两条割线5，割线定理:PAB，PCDPA PBnPC PD。六，内（外）公切线（长）P公切线：与两个圆都相切的直线。公切线长:公切线上两个切点的长度。内公切线：两个圆分别在公切线两侧的切线。外公切线：两个圆分别在公切线同侧的切线。抓住特征三角形：斜边是圆心距,抓住特征三角形：斜边是圆心距，一条直角一条直角边是半径差，另一条直边是半径和，另一条直角边是 内公切线长。用勾股定理可求之。角边是外公切线长。1 l80 .S 3601= -IR.2八，圆柱、圆锥的展开与体积、面积。1727V =Jir2h,S =2町2 +2;irh.1 2 2V = 兀r h, S = jir + ；irl. 32012年几何证明复习1,如图，已知AP是LI O的切线，