重点增分专题十一圆锥曲线的方程与性质讲义理

1、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于 A B两点,且|AB是|AR|与|BR|的等差中项,重点增分专题十圆锥曲线的方程与性质全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算-T 8双曲线的几何性质T双曲线的几何性质-Th双曲线的几何性质-T 11直线的方程及椭圆的几何性质-T 12直线与抛物线的位置关系-T 162017直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用-T 10双曲线的几何性质-Ta双曲线的渐近线及标准方程-T 5双曲线的几何性质-T 152016双曲线的几何性质与标准方程-T 5双曲线的定义、离心率问题-T 11直线与椭

2、圆的位置关系、椭圆的离心率-T 11抛物线与圆的综合问题-T 10(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容.以选择题、填空题的形式考查，常出现在第412或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查,常作为压轴题出现在第 1920题的位置，一般难度较大.考点一圆锥曲线的定义保分考点练后讲评1.椭圆的定义设F1, F2为椭圆X + y = 1的两个焦点，点 P在椭圆上，若线段 PF的中95点在y轴上，则的值为(| PF|5B.g4C-4解析：选D如图，设线段PF的中点为 M因为0是F1F2的中点,所以0M PR，可得PF2丄

3、x轴,则I AB等于(A.C. 2谑解析：选A由题意可知2b=4, e=a缨，于是a= 2匹. 2| AB = | A冋 + | BF| , I AB + | AF| + | BF| = | AF| + | BR|，得 | AB =IAF2I |AF| + I BRI | BF| = 4a =8谑.3.抛物线的定义过抛物线y2= 2px( p 0)的焦点F作直线交抛物线于 A, B两点，若| AF=2| BF = 6,贝U p=p解析：设直线 AB的方程为X = m什2，A(X1, y1), 8(x2, y2)，且x1X2,将直线 AB的方程代入抛物线方程得 y2 2pmy- p2= 0,所以

4、y1y2= p2, 4x1x2= p2.设抛物线的准线为I ,过A作ACL l，垂足为C,过B作BCL l，垂足为D,因为| AF = 2| BF = 6，根据抛物线的定pp义知，| AF = | AC = X1+ 2= 6, | BF = | BED = X2+- = 3,所以 X1 X2= 3, X1+ X2= 9 p,所QQQ以(X1 + X2)(X1 X2)= 4X1X2 = P，即 18p 72= 0，解得 p= 4.答案：4解题方略圆锥曲线的定义椭圆：|MF| +1 MF| = 2a(2a | F1F2I)； 双曲线：| MF | MF| = 2a(2 av | RF?); 抛物线

5、：I MF = d(d为M点到准线的距离).注意应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误考点二圆锥曲线的标准方程保分考点练后讲评大稳定一一常规角度考双基2 21.双曲线的标准方程已知双曲线X2 右=1(a0, b0)的焦距为4质，渐近线方程a b为2x y = 0,则双曲线的方程为2 2X yA. = 141622X yB. -= 11642 2X yc.w64=122X yD 一 = 164162X解析：选A易知双曲线孑一2古=1(a0, b0)的焦点在X轴上，所以由渐近线方程为2x y= 0,得b= 2，因为双曲线的焦距为4、/5,所以c=25.结合c2= a2+b2,可得a=

6、 2,2 2b= 4，所以双曲线的方程为 x 务=1.4162.椭圆的标准方程若椭圆的中心为坐标原点， 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为W，则椭圆的标准方程为短半轴长为b,半焦距为c,解析：设长半轴长为 a,由已知得Fc厂la c=J3,f a=2眉,又 a2 = b2+ c2,.4 b= 3,c = Wx2椭圆的标准方程为12+2 2 2 2答案：轨討1吟=13.抛物线的标准方程若抛物线y2= 2px( p 0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的标准方程为 解析：因为抛物线 y2= 2px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为

7、6,若设该点为P,贝y Rxo, 6) 因为P到抛物线焦点F(2, 0)勺距离为10,根据抛物线的定义得 X0+ 2= 10.因为P在抛物线上，所以36 = 2px0由解得p= 2, Xo= 9或p= 18, Xo = 1, 所以抛物线的标准方程为 y2= 4x或y2= 36x.答案：y2= 4x 或 y2 = 36x解题方略求解圆锥曲线标准方程的思路定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2, b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2= 2ax或x2= 2ay( a*0),椭圆常设为 mx+ ny2= 1(n0, n0)

8、,双曲线常设 为 mf ny2= 1( mn0)变换角度考迁移2 21.双曲线与向量交汇已知双曲线C： x2-y2= 1(a0, b0)的右焦点为F,点B是虚 a b小创新轴的一个端点，线段 BF与双曲线C的右支交于点 A若飞区=2AF，且I 1BF| = 4,则双曲线C的方程为(2 2X yA = 1652 2X yB. 8 -12= 12 2X yC. O T = 1842 2X yD. -= 146解析：选不妨设 B(0 , b)，由BR = 21AF , F( c, 0)，可得 A伶期 ，代入双曲线C的方程可得4x r1 -=19，b 2如图，记椭圆+ y = 1,2593二a2=勺R

9、t22222 又I BFI =寸b+ c = 4, c = a+ a , a + 2 b = 16.由可得，a2= 4, b2= 6,2 2双曲线C的方程为X y = 1.4622.抛物线在物理知识中的创新 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过平行于X轴的光线从点 M3 , 1)射出，经过B射出，则直线AB的斜率为()抛物线的焦点若抛物线 y2= 4X的焦点为F, 抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上的另一点a.4169解析：选B将y= 1代入y2= 4x，可得X=1,即A4,由抛物线的光学性质可知,直

10、线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率3.椭圆中的创新叠区域的边界为曲线C, P是曲线C上的任意一点，给出下列四个 P 至U Fi( 4,0)之和为定值；命题:，F2(4,O) ，Ei(0，- 4),巳(0,4)四点的距离曲线C关于直线y = x, y = x均对称;=a+ 1 + 1= a+ 2, tan / PAB= |=02 = 6，解得 a= 4，所以 e=玄.曲线C的总长度不大于6 n .其中正确命题的序号为2 2x y解析：对于，若点 P在椭圆25 +令=1上，贝U P到F1( 4, 0) , F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E(0, 4),巳(0,4)两点的距离之和不

11、为定值，故错；对于，联立两个2亠1得y2= x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y= x, yI 259，椭圆的方程22,y x25 十 9，=x均对称，故正确；对于，曲线 C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36,故正确；对于，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线 C的总长度必大于圆的周长 6n，故错.所以正确命题的序号为考点三圆锥曲线的几何性质增分考点深度精研析母题一一高考年年“神”相似典例(1)(2018 全国卷n )已知Fi, F2是椭圆2 2C： + p= 1(ab0) 的左、右焦点,A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PFF2为等腰三角形，/ F

12、iF2P= 120则C的离心率为(2A. 21B-1C-31D. 4已知双曲线2x2 a2器=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2= 2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为 &, AOB勺面积为2，则p=()A.C.2 2已知双曲线Vb2= 1(a0, b0)的左、右焦点分别为F1, F2,过F2的直线与双曲线的右支交于 A, B两点，若 FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2(e为双曲线离心率)的值为解析(1)如图，作PB1 x轴于点B由题意可设 厅冋=|PR|=2，贝U c= 1. 由/ F1 F2P= 120,可得 I PEB, | BR|

13、= 1，故 I AByb解析：设 | F1F2| = 2c, | AF| = m因为 RAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以 |AB = |AF| = m | BF| = V2m由椭圆的定义可知 RAB的周长为4a,所以 4a= 2nu 眾m 即 m= 2(2 羽)a.所以 | A冋=2a m= (2 (2 2) a. 2 2因为 |AF| + | AFi =|FF2| ,所以 4(2 /2)2a2 + 4(/2 1)2a2= 4c2 ,所以 e2= 9 6yf2.答案：9 6迄2.本例 若变为：F1 , F2为双曲线的两个焦点，点 A在双曲线上，且 ARF1为等腰直角三角形，则双曲线的

14、离心率为b 不妨设A点在B点上方，由双曲线的离心率为yJ5，得1 +孑=e = 5，解得-=2,所x = P,则交点的坐以双曲线的两条渐近线方程为y= Px =2 X.又抛物线的准线方程为a标为p, p) B(- p,- P) 所以| AB = 2p.由 AOB的面积为2,pX2pX 2= 2,解得 p= 2，故选 A. 如图所示，因为 |AF| |AF2| = 2a, |BF| | BF2| = 2a, | AF|=| A冋 + | BF| ,所以 |B冋=2a, |BFi| = 4a.所以 |AF| = 272a,| AFJ = 2 谑a 2a.因为 |F1F2|2=| AF|2 + |

15、A冋 2,所以(2c)2= (2 /2a)2 + (2 边a 2a)2,所以 e2= 5 2(2.答案(1)D(2)A(3)5 2述练子题一一高考年年“形”不同2 2过点F21 .本例(3)若变为：已知椭圆X+ yh 1(ab0)的左、右焦点分别为F1, F2,a b的直线与椭圆交于 A, B两点，若 FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则C. y =xD . y= 护X解析：注意到I F2A工| FA ,不妨设 I F2AI I F1A|.因为 AFF1为等腰直角三角形,、 C所以 e=a= IF2AI 一 IF1AI =(2一则 I F2A1 : I F1F2I : I F1AJ =

16、(2 : 1 ： 1.72 +1.IF1F2I1答案：Q2+ 13.本例(3)中，若双曲线上存在一点P使得sin諾琴=C，求双曲线离心率的取值范围.解：如图所示,Sin / PFF2 = I PFd = a 由 fsin / PRR I PF| cIj PF| I PR| = 2a,2ac 得 IpFI = c2a2 且1= c.又由I PFI a+c,可得a竺C 一 a2a+ c, 即卩 e 一 2e一 1 w 0,解得1 2w ew述+ 1,又因为e1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，、/2 + 1.解题方略a, b, c的等量关1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离

17、心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定c系或不等关系，然后把b用a，c代换，求a的值.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.用法：可得a或a的值.利用渐近线方程设所求双曲线的方程.多练强化2 21. (2018 全国卷n )双曲线笃一= 1(a0, b0)的离心率为3,则其渐近线方程为a b( )A. y = 花X解析：选A e = a=逅壬E a a- a + b = 3a, b= y2a. 渐近线方程为y=谑X.2. （2018 阜阳模拟）已知Fi,22X yF2是椭圆a+ b= 1（ ab0）的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得

18、PF丄PF,则该椭圆的离心率的取值范围是（）啪,1B.惟 12 2解析：选B /F1, F2是椭圆I +右=1（a0, b0）的左、右两个焦点,- F1 ( c, 0) , F2( c, 0) , c = a b .2 2 2设点 F(x, y)，由 PF丄PF,得(x+ c, y) (x c, y) = 0,化简得 x + y = c .严 2 .22X + y = c ,联立方程组ix2 y2la2+b2=1,整理得，x2= (2 c2 a2) |20,解得e半.C2又 0 0)，圆的方程为 X+ y = r .|AB = 4迈，|DE = 2&,抛物线的准线方程为 X2,不妨设A（1点

19、Ap, 2冋,D( 2，75J在圆 X2+ y2= r2上,厂16II 子+ 8 = r， p2lA+5=2,P+ 8= p； + 5 , p = 4（负值舍去）C的焦点到准线的距离为4.I Iy x4. (2018 惠州调研)已知F1, Fi是双曲线話一泾=1(a0, b0)的两个焦点，过其中个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M若点M在以线段FiF2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是解析：如图，不妨设 Fi(O, C)，F2(O, c)，则过点Fi与渐近线y= bx平行的直线为 aay = bx + c，y=H+c,联立b1 aly = bx，广bc|x=-l

20、a，c2，化简得解得彳b23a2，即Ij因为点I 22c a 3a ,M在以线段F1F2为直径的圆X2 + y2 = c2内,cc解得- 1,aa所以双曲线离心率的取值范围是(1,2).答案：(1,2)考点四直线与圆锥曲线增分考点广度拓展分点研究题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(2016 全国卷I )在直角坐标系xOy中，直线I : y= t(t丰0)交y轴于点 M交抛物线C y2= 2px(p 0)于点P M关于点P的对称点为N连接ON并延长交C于点H小OH(1)求丽；(2)除H以外，直线 MHf C是否有其他公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得 M0, t) , P(2p，J又N为M

21、关于点P的对称点，故, t )故直线ON的方程为y= px,2 2 2将其代入y = 2px整理得px - 2t x = 0, 解得 X1 = 0, X2= ，因此 , 2t )所以N为OH的中点，即|ON. = 2. 直线MHW C除H以外没有其他公共点，理由如下:直线MH的方程为y -1 = 2P2t即 x = (y t).p代入 y2= 2px 得 y2 4ty + 4t 2= 0,解得 yi=y2= 2t,即直线MH与c只有一个公共点,所以除H以外，直线 MHf C没有其他公共点.解题方略1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定 0;另通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得

22、到一元二次方程，其一方法就是数形结合， 如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲 线渐近线的斜率的大小得到.2. 直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线 的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.题型二直线与圆锥曲线的弦长2x例2已知椭圆 C - + y2= 1(a 1) , Fi, F2分别是其左、右焦点，以FiF2为直径的a圆与椭圆C有且仅有两个交点.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点Fi且不与坐标轴垂直的直线I交椭圆于A, B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是1, 0求线段

23、AB长度的取值范围.解(1)因为以FiF2为直径的圆与椭圆 C有且仅有两个交点,所以 b= c= 1,1 卩 a= qb2+ c2 =U2,2所以椭圆C的方程为；+ y2= 1.(2)过点Fi且不与坐标轴垂直的直线I交椭圆于A, B两点，即直线 AB的斜率存在且不2为 0.设直线 AB的方程为 y=k(x+1)，与X2+y2 = 1 联立，得(1 + 2k2)X2+ 4k2x+ 2k2 2 = 0.设A(X1, yd , B(x2, y2)，线段 AB的中点为 M22m4k2k 22k则 X1 + X2= 1 + 2k2, X1X2= 1 + 2k2, y1 + y2= k(X1 + 1) +

24、 k(X2 + 1) =，(2k2k 、即T+F，1 + 2k2丿所以线段AB的垂直平分线的方程为2k1J 2k y=讼+1+ 丿k2设点Rxp, yp)，令 y= 0,得 xp= 1 + 2k2.因为Xp ( 4，0)所以 0 k22.|AB=1+ k2X1 + X22 4x1X2 4k 2k2 21 + 2k2 丿4 1 + 2k2=寸 1 + k2=n=飒1+1.21 + 2k因为 Ov k2v1，所以 3 1 + 1 +12k2 2,即 322v|AB 0时，直线与圆锥曲线有两个交点， 设为A：X1, y1), B(X2, y2),由根与系数的关系求出 X1 + X2, X1X2或0+

25、 y2, y1y2,则弦长| AB = aJ 1 + k2 - X1 X2 2=71 + k2 X1 + X22 4x1X2 =1+1 I y1 y2| = /1+ 右 7 y1+ 屮24yiy2(k为直线的斜率且k工0),当B两点坐标易求时也可以直接用|AB =yjX1 X22+ y1 y2求之.多练强化已知点m2边，斗3椭圆2存=1(ab0)上，且点M到两焦点的距离之和为 3求椭圆G的方程;(2)若斜率为1的直线I与椭圆G交于A B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(3,2），求 PAB的面积.解：（1）2a= 43,.a= 2寸3.又点*（2,竽椭圆上，2423+3?= 1，解得 b

26、 = 4,2 2椭圆G的方程为2+7 = 1.设直线I的方程为y=x + my=X + m.)22由+y-=112 十 4,2 2得 4X + 6m升 3m12 = 0.设 A, B的坐标分别为(xi, yi), (X2, y2)(xib0）的右焦点为（、/3, 0），且经过点 （-1 用,点M是x轴上的一点，过点M的直线I与椭圆C交于A, B两点（点A在x轴的上方）.（1）求椭圆C的方程; 4 若AM= 2 MB,且直线I与圆O X2+ y2= 7相切于点 N求| MNb2解(1)由题意知3ra得(a 4)(4 a 3) = 0, 又 a = 3+ b 3,故所以椭圆C的方程为99a = 4

27、，贝y b = 1,2x 2 -+ y = 1.(2)设M m,0)，直线I : x=ty + m A(xi, yi) , B(x2, y2),由 AM= 2 MB,得 yi = 2y2.由片+ y2=1,lx = ty + m2 2 2得(t + 4) y+ 2tmy+ m 4 = 0,2tmm 4则y1+ y2= 帀,沁2 =百4，由 y1y2 = 2y2, y + y = 2y2 + y2= y2,22得 yy = 2 (y1 + y2) = 2(y1 + y2),L m 4(2tm )所以 PTi = 2 (- rT4 丿,化简得(m 4)( t2+ 4) = 8t 2m.易知原点。到

28、直线1的距离d=y,又直线I与圆O x2+ y2=4相切,所以节当=/7，即t2=42jj m1 t2+i = 8t2m, 由f 2 7 2|t = 4m1,得 2im 16m16=0, 即(3 m 4)(7 m+ 4) = 0,2 424解得m= 3,此时t = 3,满足 0,所以M誓,0)素养通路在 Rt OMr中, |MN =4 4曲 7= 21 .本题是直线与椭圆、圆的综合问题：（1）由题意，列关于a, b的方程组，解方程组可得a, b的值进而求得椭圆的方程；（2）设出M A, B的坐标及直线I的方程x= ty + m与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m与t的关系，由直线与圆相切

29、，得另一关系式，联立可得M的坐标进而得|MN考查了数学运算这一核心素养.专题过关检测A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练、选择题1.(2018 全国卷I2X已知椭圆C：+a2七=1的一个焦点为（2,0），则C的离心率为（）1A. 3B-2D.2解析：选 C a = 4 + 2 = 8, a=2 血, e=a=詁 12.个焦点为（26, 0）且与双曲线=1有相同渐近线的双曲线方程是（）B.2 2Xy=1 1882 2y XA.18-X8 =1D.2 2T6-鈿12解析：选B设所求双曲线方程为七-2X-=t（t丰0），因为一个焦点为（伍，0），所以92 2X y|13 t | = 26.又焦点在

30、X轴上，所以t = 2,即双曲线方程为 葛-；=1.18 83. 若抛物线y2= 4X上一点P到其焦点F的距离为2, 0为坐标原点，则 OFP勺面积为3C-32解析：选B设P（ xo, yo），依题意可得I PF = Xo +1 = 2，解得xo = 1,故yo= 4x 1,解得y0 = 2,不妨取P(1,2)，则 OFP的面积为1x 1X 2= 1.4. （2018 全国卷川）已知双曲线C：2 2X y2b2 = 1（a0, b0）的离心率为护，则点（4,0）2a = 1+73, 2c= 2,得 a=, c= 1,到C的渐近线的距离为（）2解析：选D e = 2=、品 a V ab= 1.双

31、曲线的渐近线方程为X y = 0.4点（4,0）到C的渐近线的距离d =（2= 2羽.25.已知双曲线X2-y = 1的左、右焦点分别为 F1, F2,过F2的直线I与C的左、右两8支分别交于 A, B两点，且| AF| = | B冋，则| AB =（）C. 4解析：选C设双曲线的实半轴长为 a,依题意可得 a= 1,由双曲线的定义可得|AFd -I AF| = 2a= 2, I BF| - I BF| = 2a= 2, 又| AF| = | BF|，故 | AF| - | BF| = 4，又 | AE| = | AF|-| B冋，故 |AB = 4.6 . （2018 全国卷n ）已知F1,

32、 F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若 PF丄PR,且/ PRF1= 60则C的离心率为（）B . 2-WA1-当解析：选 D 在 Rt PFF2中，/ PRFi= 60不妨设椭圆焦点在 X轴上，且焦距|FiF2| = 2,则 |PR| = 1, | PF| =品X y由椭圆的定义可知，方程g+ b2=1中,所以离心率e= 2=丄 =护1.a 1 +W 7二、填空题7已知双曲线X.y2= 1(a0)的渐近线方程为y= 票，则其焦距为2，解析：由渐近线方程 y二土乂33X，可得a=，解得a=3,故c =2n = 2，故焦距为答案：44.&设直线I过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直

33、，I与C交于A, B两点,IAB为C的实轴长的2倍,则C的离心率为解析：设双曲线方程为2 2x y孑一= 1( a0, b0),x = 1，直线I与抛物线C交于M N两点，若线段MN的中点为(1,1)，则直线I的方程为解析：依题意易得抛物线的方程为2 . .y = 4x,设 Mxi, yi), N(x2, y，因为线段 MN勺中点为(1,1)，故 Xi + X2= 2, yi+ y2 = 2,则 X1M X2，由 #= 4x1，两式相减得 y? y2= 4(x1y2= 4X2,一 X2)，所以X =总=2，故直线I 的方程为 y 1 = 2(x 1)，即 2x y- 1 = 0.由题意可知，直

34、线I过焦点，且垂直于 x轴，将x = c代入双曲线方程，解得y=b,a则|AB =瞥，由 |AB = 2x2 a,则b2= 2a2,所以双曲线的离心率e = C=a答案：W9已知抛物线 C的顶点为坐标原点，准线为答案：2x y 1 = 0三、解答题2x10. (2018 石家庄模拟)设A B为曲线C： y=上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率;AB平行，且 AML BM求直线(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB的方程.2X12八,X2解：(1)设 A(X1, yj , B(X2, y2)，贝U X1MX2, y1 =牙,y2= , X1 + X2= 2,故

35、直线AB的斜率k =塁二兰=竺詳 =1.X1 X222x(2)由 y=-，得 y= x.设Mx3, ys)，由题设知X3 = 1,于是Mj，2J设直线AB的方程为y= x+ m故线段AB的中点为N1,1+ m, | mn = !m 2 .I 212x 2将 y = x+ m代入 y=，得 x 2x 2n= 0.1 由= 4 + 8m0,得mr，X1,2 = 1 1 + 2m从而 I AB =72|X1 X2| = 221 + 2m . I 1由题设知I AB = 2| MtN,即721 + 2m = |仃+ 2，解得I 217n= 2,所以直线AB的方程为y=x + 7.11. (2018 全

36、国卷n )设抛物线C: y2= 4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线I与C交于A, B两点，I AB = 8.(1)求I的方程； 求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.解： 由题意得F(1,0) , I的方程为y= k(x 1)( k0). 设 A(X1, yd , B(x2, y2),Iy= k x由 y=4x2 2 2 2得 kx -(2k + 4)x + k = 0.2A = 16k2 + 160，故 X1 + X2= ZkJ424k + 4 所以 I AE| = I AFj + I BF| = (X1+ 1) + (X2 + 1) =,24k + 4由题设知一 = 8，解得k

37、= 1或k= 1(舍去).k因此I的方程为y= x 1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y 2= (x 3),设所求圆的圆心坐标为(X0,yo),即 y = x+ 5.yo= xo+ 5, 则xo+22yo xo +1= + 16.解得r=3，y0= 2或仟11，y0= 6.因此所求圆的方程为(X 3) + (y 2) = 16 或(x 11) +(y+ 6) = 144.12.已知直线X+ ky 3= 0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点 到点F的最大距离为8.(1) 求椭圆C的标准方程.(2) 已知圆 O X+ y= 1,直线I :

38、mx+ ny= 1,试证：当点 P(m n)在椭圆C上运动时,直线I与圆O恒相交，并求直线I被圆O所截得的弦长I的取值范围.2 2x y 解：(1)设椭圆C的方程为a + b= 1( ab0),直线X+ ky 3= 0所经过的定点是(3,0),即点 F(3,0).因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8,2 2 2所以 a+ 3= 8, a= 5,所以 b = 5 3 = 16,2 2 所以椭圆C的方程为 秒+豊=1.2516因为点P(m n)在椭圆C上，2 2 2 m n亦 216m所以 25+16=1,即 n =1615.又原点到直线I : mx+ ny= 1的距离1 1d = J, 2 云=

39、11,寸m+ n/ 9 2二25m+16所以直线I : m灶ny = 1与圆0： x2 + y2= 1恒相交.则 I 2= 4(1 2 d2) = 4因为一50)，过焦点F的直线交C于A B两点，D是抛物线的准线I与y轴的交点.(1) 若AB/ I，且 ABD勺面积为1，求抛物线的方程;(2) 设M为AB的中点，过M作I的垂线，垂足为 N.证明：直线AN与抛物线相切.解: (1) V AB/ I , | AB = 2p.又 | FD = P，； &ABC= p= 1. p=1,故抛物线C的方程为2CX = 2y.(2)证明：设直线AB的方程为p-2消去 y 得，X2 2kpx p2= 0.lx

40、2= 2py xi + X2 = 2kp,2X12X1X2= p .f X2其中A卜,司,BIX2,司 Mp,k2p+2) p,2 2XipX1p+_+_2p22p2 kAN=xi kp2 , 2X1+ p2X1 X1X22p2p X1X1 + X2= X1 X2= X1 X2 p X1 2XX又 X2= 2py,即 y = ;-, y，= _y 2p y p抛物线x2= 2py在点A处的切线斜率X1 k = p.直线AN与抛物线相切.2. (2018 贵阳适应性考试)已知椭圆C:b = 1(ab0)的左、右焦点分别为F1, F2,点M为短轴的上端点， MF MF = 0,过F2垂直于x轴的直

41、线交椭圆 C于A, B两点，且| AB(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点(2 ,1)且不经过点M的直线I与C相交于G H两点若ki, k2分别为直线MH MG勺斜率，求ki+ k2的值.解：(1)由 MF MF = 0，得 b = c.因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆 C于A, B两点,且 | AB = /2 , 所以匚芈a 2联立，解得 a2= 2, b2= 1,2x故椭圆C的方程为-+ y2= 1.设直线I的方程为y+1 = k(x 2),即 y = kx 2k 1,2X 2将 y = kx 2k 1 代入一+ y = 1,得(1 + 2k2) X2 4k(2k + 1)x + 8k2 + 8k = 0,由题设可知 = 16k(k + 2)0 ,设 qx1, y1), Hx2, y2),8 k2 + 8kL，x1x2= 1 + 2k2，4k 2k + 1 则 X1 + X2 = Flk；k+v4k gk+ly1 1 y2 1kX1 2k %kX2 = 2k-二k1 + k2=+=X1X2XiX28k2 + 8k1 + 2k22= 2k (2k. 1)=1,所以 ki + k2= 1.3. (2019届高三唐山五校联考)在直角坐标系xOy中，长为护+ 1的线段的两端点