小学的奥数专题 排列组合

1、标准实用 文案大全 ? 排列问题题型分类： 1.信号问题 2.数字问题 3.坐法问题 4.照相问题 5.排队问题 ? 组合问题题型分类： 1.几何计数问题 2.加乘算式问题 3.比赛问题 4.选法问题 ? 常用解题方法和技巧 1. 优先排列法 2. 总体淘汰法 3. 合理分类和准确分步 4. 相邻问题用捆绑法 5. 不相邻问题用插空法 6. 顺序问题用“除法” 7. 分排问题用直接法 8. 试验法 9. 探索法 10. 消序法 11. 住店法 12. 对应法 13. 去头去尾法 14. 树形图法 15. 类推法 16. 几何计数法 17. 标数法 18. 对称法 标准实用 文案大全 分类相加，

2、分步组合，有序排列，无序组合 ? 基础知识（数学概率方面的基本原理） 一. 加法原理：做一件事情，完成它有N类办法， 在第一类办法中有M1中不同的方法， 在第二类办法中有M2中不同的方法， 在第N类办法中有Mn种不同的方法， 那么完成这件事情共有M1+M2+Mn种不同的方法。 二. 乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤， 完成第一步有n1种不同的方法， 完成第二步有n2种不同的方法， 完成第步有种不同的方法， 那么完成此项任务共有种不同的方法。 三. 两个原理的区别 ? 做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。 每一类中的每一种方法都可以独立完成

3、此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同( 即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类( 即分类不漏) ? 做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理 任何一步的一种方法都不能完成此任务， 必须且只须连续完成这n步才能完成此 任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 标准实用 文案大全 ? 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来 四. 排列及组合基本公式 1. 排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺

4、序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Pmn表示. Pmn =n(n-1)(n-2)(n-m+1) =n! (n-m)! (规定0!=1). 2. 组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示. Cmn = Pmn /m!= n!(n-m)! m! 一般当遇到m比较大时（常常是m0.5n时），可用Cm

5、n = Cn-mn 来简化计算。 规定：Cnn =1, C0n=1. 3. n的阶乘(n!)n个不同元素的全排列 Pnn=n!=n(n-1)(n-2)321 五. 两个基本计数原理及应用 1. 首先明确任务的意义 【例1】 从1、2、3、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列， 这样的不同等差数列有_个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差， 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又 2b是偶数， a,c同奇或同偶， 标准实用 文案大全 即：从1，3，5，19或2，4，6，8，20这十个数中 选出两个数进行排列，由此就可确定等差数

6、列， 如：a=1，=7，则b=4（即每一组a,c必对应唯一的b，另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理） C21010990，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求=290180。 【例2】 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。 若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进， 则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一） 从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定

7、走法数， 本题答案为：C38=56。 2. 注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。 采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。 注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列； 同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。 【例3】 在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄， 为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有_种。 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 第一

8、类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有1种选择， 同理A、B位置互换 ，共12种。 标准实用 文案大全 1恰好能被6，7，8，9整除的五位数有多少个? 【分析与解】 6、7、8、9的最小公倍数是504，五位数中，最小的是10000，最大为99999 因为10000504：19424，99999504=198207 所以，五位数中，能被504整除的数有198-19=179个 所以恰好能被6，7，8，9整除的五位数有179个 2小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，13 如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写

9、两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积 那么，其中能被6整除的乘积共有多少个? 【分析与解】 这些积中能被6整除的最大一个是1312=266，最小是6 但在l6266之间的6的倍数并非都是两张卡片上的乘积， 其中有256，236，216，196，176这五个不是 所求的积共有26-5=21个 31，2，3，4，5，6这6个数中，选3个数使它们的和能被3整除那么不同的选法有几种? 【分析与解】 被3除余1的有1，4； 被3除余2的有2,5； 能被3整除的有3，6 从这6个数中选出3个数，使它们的和能被3整除， 则只能是从上面3类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的， 共有222=8种不同的选法

10、 4同时满足以下条件的分数共有多少个? 大于16 ，并且小于15； 分子和分母都是质数； 分母是两位数 标准实用 文案大全 【分析与解】 由知分子是大于1，小于20的质数 如果分子是2 ，那么这个分数应该在210 与28 之间，在这之间的只有211符合要求 如果分子是3 ，那么这个分数应该在315 与318之间，15与18之间只有质数17 ，所以分数是317 同样的道理，当分子是5，7，11，13，17，19时可以得到下表 分子 分数 分子 分数 2 211 11 1111,5961 3 317 13 131313,677173 5 529 17 1717,8997 7 37,3741 19

11、1997 于是，同时满足题中条件的分数共13个 5一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的6个数字重新排列， 最少还能排出多少个能被11整除的六位数? 【分析与解】 设这个六位数为abcdef，则有()ace?、()bdf?的差为0或11的倍数 且a、b、c、d、e、f均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数 先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有33P33P=36种顺序； 再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也有33P33P=36种顺序 所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可以排出36+36=72个能被11整除的数( 包

12、含原来的abcdef) 所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数 6在大于等于1998，小于等于8991的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个? 标准实用 文案大全 【分析与解】 先考虑20008999之间这7000个数，个位数字与十位数字不同的数共有710210P=6300 但是1998，89928998这些数的个位数字与十位数字也不同，且1998在19988991内，89928998这7个数不在19988991之内 所以在19988991之内的个位数字与十位数字不同的有6300+1-7=6294个 7个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个? 【分析与

13、解】 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7 = 1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 + 8 = 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4 其中三个数字均不相等且不含0的有7组，每组有33P种排法，共733P=42种排法； 其中三个数字有只有2个相等且不含0的有3组，每组有33P2种排法，共有333P2=9种排法； 其中三个数字均相等且不含0的只有1组，每组只有1种排法

14、； 在含有0的数组中，三个数字均不相同的有3组，每组有222P种排法，共有3222P=12种排法； 在含有0的数组中，二个数字相等的只有1组，每组有222P2种排法，共有2种排法 所以，满足条件的三位数共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66个 8一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数” 例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数 问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少? 【分析与解】 我们将回文数分为一位、二位、三位、六位来逐组计算 所有的一位数均是“回文数”，即有9个； 在二位数中，必须为aa形式的，即有9个

15、(因为首位不能为0，下同)； 在三位数中，必须为aba(a、b可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同)形式的， 即有910 =90个； 在四位数中，必须为abba形式的，即有910个； 在五位数中，必须为abcba形式的，即有91010=900个； 在六位数中，必须为abccba形式的，即有91010=900个 标准实用 文案大全 所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998个，最大的为999999，其次为998899，再次为997799 而第1996个数为倒数第3个数，即为997799 所以，从一位到六位的回文数一共有1998个，其中的第1996个数是9

16、97799 9一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:2430，那么从8时到9时这段时间里， 此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个? 【分析与解】 设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5 这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P种选法，而C、E应从剩下的7个数字中 选择两个不同的数字，所以有27P种选法，所以共有26P27P=1260种选法， 即从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个 10有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1 问这样的五位数共有多少个? 【分析与解】 如

17、下表，我们一一列出当首位数字是5，4，3时的情况 首位数字 5 4 3 所 有 满 足 题 意 的 数 字 列 表 5544554433321? 545453454444323432212? 5543544333213543332213121? 满足题意的数字个数 6 9 12 因为对称的缘故，当首位数字为1时的情形等同与首位数字为5时的情形， 标准实用 文案大全 首位数字为2时的情形等同于首位数字为4时的情形 所以，满足题意的五位数共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42个 11用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个? 【分析与解】 当只有四个连续的1时，可以

18、为11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *, * *211112，* * * 21111，因为 * 号处可以任意填写1或2， 所以这些数依次有23，22，22，22，23个，共28个； 当有五个连续的l时，可以为111112 * * ，2111112 *，*2111112，* * 211111， 依次有22，2，2，22个，共12个； 当有六个连续的1时，可以为1111112 *，21111112，* 2111111，依次有2，1，2个，共5个； 当有七个连续的1时，可以为11111112，21111111，共2个： 当有八个连续的l时，只能是11111111，共1

19、个 所以满足条件的八位数有28 + 12 + 5 + 2 + 1=48个 12在1001，1002，2000这1000个自然数中， 可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位? 【分析与解】 设1,bcdxyzw 为满足条件的两个连续自然数，有xyzw =1bcd+1 我们只用考察1bcd的取值情况即可 我们先不考虑数字9的情况(因为d取9，则w为0，也有可能不进位)， 则d只能取0，1，2，3，4；c只能取0，1，2，3，4；b只能取0，1，2，3，4； 对应的有555=125组数 当d=9 时，有19bc 的下一个数为1(1)0bc?，要想在求和时不进位，必须(1)cc?9， 所以c

20、此时只能取0，1，2，3，4；而b也只能取0，1，2，3，4；共有55=25组数 当cd=99 时，有199b 的下一个数为1(1)00b?，要想在求和时不进位，必须b+(b+1)9， 所以b此时只能取0，1，2，3，4；共有5组数 所以，在1001，1002，2000这1000个自然数中，可以找到125 + 25 + 5 = 155对相邻的自然数， 满足它们相加时不进位 13把1995，1996，1997，1998，1999这5个数分别填入图20-1中的东、南、西、北、中5个方格内， 使横、竖3个数的和相等那么共有多少种不同填法? 标准实用 文案大全 【分析与解】 显然只要有“东”+“西”=

21、“南”+“北”即可，剩下的一个数字即为“中” 因为题中五个数的千位、百位、十位均相同，所以只用考虑个位数字， 显然有5 + 9 = 6 + 8，5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8 先考察5 + 9 = 6 + 8，可以对应为“东”+“西”=“南”+“北”，因为“东”、“西”可以调换，“南”、“北”可以对调，有22=4种填法，而“东、西”，“南、北”可以整体对调，于是有42=8种填法 5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8同理均有8种填法，所以共有83=24种不同的填法 14在图20-2的空格内各填人一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数

22、比下面的数小，并且方格内的6个数字互不相同，例如图20-3为一种填法那么共有多少种不同的填法? 2 3 图20-2 6 4 2 7 5 3 图20-3 【分析与解】 为了方便说明，标上字母： C D 2 A B 3 要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互换 但是，D只能取4，5，6，因为如果取7，就找不到3个比它大的一位数了 当D取4，5，6时分别剩下5，4，3个一位大数有B、C可以互换位置 所有不同的填法共35C2+34C2+33C2=102+42+12=30种 补充选讲问题 (2003年一零一中学小升初第12题)将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中

23、从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到下数字也由小到大排列 (1)将1至4填入表1中，方法有_ 种： (2)将1至6填入表2中，方法有_ 种； 标准实用 文案大全 (3)将1至9填入表3中，方法有_ 种 【分析与解】 (1)2种：如图，1和4是固定的，另外两格任意选取，故有2种； (2)5种：1和6是固定的，其他的格子不确定有如下5种： (3)42种：由(2)的规律已经知道，32是5种： 1、2、3确定后，剩下的6个格子是32，为5种如下： 同理也各对应5种； 注意到 例外，对应的不是5种，因为第一排右边的数限制了其下方的数字，满足条件的只有如下几种： 共计5 + 5 + 5 + 4 + 2

24、= 21种 另外，将以上所有情况翻转过来，也是满足题意的排法，所以共212=42种 标准实用 文案大全 15从1至9这9个数字中挑出6个不同的数填在图204的6个圆圈内， 使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数那么共能找出多少种不同的挑法? (6个数字相同、排列次序不同的都算同一种 ) 【分析与解】 显然任意两个相邻圆圈中的数一奇一偶，因此，应从2、4、6、8中选3个数填入3个不相邻的圆圈中 第一种情况：填入2、4、6，这时3与9不能同时填入(否则总有一个与6相邻，和3+6或9+6不是质数)没有3、9的有1种；有3或9的，其他3个奇数l、5、7要去掉1个，因而有23=6种，共1+67种 第二种情

25、况：填入2、4、8这时7不能填入(因为7+2，7+8都不是质数)，从其余4个奇数中选3个，有4种选法，都符合要求 第三种情况：填入2、6、8这时7不能填入，而3与9只能任选1个，因而有2种选法 第四种情况：填入4、6、8这时3与9只能任选1个，1与7也只能任选1个因而有22=4种选法 总共有7 + 4 + 2 + 4 = 17种选法 标准实用 文案大全 20一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在掷骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是几？ 1从甲地到乙地种走法，从乙地到丙地种走法，从甲地不经过乙地到丙地种走法，则从甲地丙地的不同的走法共种2甲、乙、个班各有三好学名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生表大会，共种不同的推选方法3从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加某天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加午的活动种不同的选法4个字母中，每次取个按顺序排成一列，共种不同的排法5若名志愿者中选人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方种6个火车站，都有往返车，问车站间共需要准种火车票7某年全国足球甲级联赛1个队参加，每队都要与其余各队在主、