苏科版九年级上册数学第四章概率的计算学案

1、概率的计算知识精讲一 用列表法和树状图法求事件的概率1. 列表法： 当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率2. 树状图法： 当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果二 用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性因此，我们可

2、以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率三点剖析一考点 ： 概率的计算二重难点 ：用列表法和树状图法求事件概率三易错点 ：（ 1）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（ 2）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。题模精讲题模一：求简单事件的概率例 1.1.1 在盒子里放有三张分别写有整式a+1， a+2， 2 的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）1B2C13A36D34【答案】 B【解析】分母含有字母

3、的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2 做分母时组成的都是分式，共有32=6 种情况，其中a+1， a+2 为分母的情况有4 种，所以能组成分式的概率 = 4=2 63例 1.1.2围棋盒子中有 x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 如果在原有的棋子中再放进4 颗黑色棋子，此时从盒子中随机取出31 ，则原来盒子中有白色棋子（一颗棋子为白色棋子的概率是）2A 4 颗B6 颗C8 颗D 12 颗【答案】 C第 1页x1【解析】xy4 2y48 颗由题意得x；解得x，由此可得， 原来盒子中有白色棋子28xy3例 1.1.3一直不透明的口

4、袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别， 将袋中的球摇均匀每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大量的实验，得到取出红球的频率是1 ，求：4（ 1）取出白球的概率是多少？（ 2）如果袋中的白球有 18 只，那么袋中的红球有多少只？【答案】（ 1） 3 （ 2） 64【解析】（ 1）取出白球与取出红球为对立事件，概率之和为1故 P（取出白球） =1-P（取出红球）1=1-4（2）设袋中的红球有x 只，则有，解得 x=6 所以袋中的红球有 6 只（ 10 分）题模二：列表法和树状图法求概率例 1.2.1如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止

5、时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是_【答案】715【解析】列表得（1，8）（1，7）（1， 6）（1，5）（1， 4 ）；（ 2 ，8）（ 2 ， 7 ）（ 2 ， 6 ）（ 2 ，5）（ 2， 4）；（3，8）（3， 7 ）（3， 6 ）（3，5）（3， 4）；其中为偶数的有7 种，故数字和为偶7数的概率是15例 1.2.2 一个不透明的盒子里有 4 个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有 1， 1， 2 ， 3 四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子， 那么两次

6、摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为 _ 【答案】38【解析】画树状图，得第 2页1.因为共有 16 种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6 种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率63 168例 1.2.3有十张正面分别标有数字3，2 ，1 ， 0 ，1， 2，3， 4 ，5，6 的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为 b 则数字 a ，b 使得关于 x 的方程 ax2bx1 0有解的概率为 _【答案】710【解析】列表得： 一共有 (3, 2)、( 2,1) 、(1,0)

7、 、(0,1) 、(1,2) 、(2,3) 、 (3,4)、(4,5)、(5,6)2bx 10有解的情况有：(0,1) 、(1,2)、(2,3)、(6,7) ；数字 a ，b 使得关于 x 的方程 ax(3,4)、 (4,5)、 (5,6) 、 (6,7)七种，则 P710例 1.2.4在平面直角坐标系中给定以下五个点A （2 ， 0 ）、 B （1，0 ）、 C （ 4 ， 0 ）、 D （ 2 ， 9 ）、 E （ 0，6），在五个形状、颜色、质量完全相同的乒2乓球上标上 A 、 B 、 C 、 D 、 E 代表以上五个点玩桌球游戏，每次摸三个球，摸一次，三球代表的点恰好能确定一条抛物线（

8、对称轴平行于y 轴）的概率是（）A1B3C7425D105【答案】 B【解析】所有的摸球情况有： ABC 、 ABD 、 ABE 、 ACD 、 ACD 、 ACE 、 ADE 、 BCD 、BCE 、 BCE 、 BDE 、 CDE 共有 10 种情况；其中，ABC 时，三点都在x 轴上，共线，不能确定一条抛物线；而 ABD 、 ACD 、 ADE 时， A 、 D 的横坐标都是2 ，不复合函数的定义；所以能确定一条抛物线的情况有：10136 ，所以 P3 5题模三：用频率估计概率例 1.3.1在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A频率就是概率B频率与试验次数

9、无关C概率是随机的，与频率无关D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】 D【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发第 3页生的概率，D 选项说法正确故选： D例 1.3.2某林业部门统计某种幼虫在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：移植总数（ n ）400750150035007000900014000成活数（ m ）3

10、69662133532036335807312628成活的频率m0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902n根据表中数据，估计这种幼树移植活率的概率为_（精确到 0.1）【答案】0.9【解析】x(0.9230.883 0.8900.9150.905 0.8970.902)7 09.例 1.3.3在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20 只，某学习小组做摸球模拟 . 将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（ n ）1001502005008001000摸到白球次数（m ）5896116

11、295484601摸到白球的频率（m）0.580.640.580.590.6050.601n（1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_（精确到0.1 ）（ 2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_，摸到黑球的概率是 _（ 3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只【答案】（ 1） 0.6 ；（2） 3 ； 2 ；（ 3）黑球8个，白球 12 个55【解析】（ 1）根据题意可得当n 很大时，摸到白球的概率将会接近0.6 （2）由（ 1）可得，摸到白球的概率是3 ，摸到黑球的概率是2 ；55（3）由（ 2）可得，口袋中黑球的个数203个；白球的个数2个1220855随堂练习随练 1.1

12、 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1 到 6 的点数，朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率是（）7B311D23AC1836184【答案】 C【解析】可用列表法表示出同时抛掷两枚质地均匀的骰子的结果，发现共有36 种可能，由于没有顺序，因此发现，在这36 种结果中，一个点数能被另一个点数整除的情况出现了22 次第 4页一个点数能被另一个点数整除的概率是22 = 11 3618（ 1， 6）（ 2， 6）（ 3，6）（4， 6）（ 5（ 1， 5）（ 2， 5）（ 3， 5）（4， 5）（5（ 1， 4）（ 2， 4）（ 3， 4）（4， 4）（5（ 1， 3）（

13、2， 3）（ 3， 3）（4， 3）（5（ 1， 2）（ 2， 2）（ 3， 2）（4， 2）（5（ 1， 1）（ 2， 1）（ 3， 1）（4， 1）（5故选 C随练 1.3围棋盒中有x 颗白色棋子， y 颗黑色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，若它是白色棋子的概率是5 ，8（1）试写出 y 与 x 的函数关系；（2）第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入6 颗白色棋子，若随机取出一颗白色棋子的概率为2 ，求 x 和 y 的值3【答案】（ 1） y= 3x（ 2） 30； 185【解析】（ 1）白色棋子的概率是 5 ，8黑色棋子的概率是3 ，8黑色棋子与白色棋子之比为：3 ，5y= 3x；5（

14、2）x6=2 ，3x63x5解得 x=30 ，经检验 x=30 是原方程的解， x=30 ， y= 3 30=185随练 1.4把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、 2 、 3 自由转动转盘两次， 把第一次转动停止后指针指向的数字记作x ，把第二次转动停止后指针指向的数字的2 倍记作y ，以长度分别为x 、 y 、 5 的三条线段能构成三角形的概率为_第 5页【答案】49【解析】列表可得因此，点 A x, y 的个数共有 9 个；则 x 、 y 、 5 的三条线段能构成三角形的有4 组，可得P 4 9随练 1.5在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球分别标有数字

15、2 、 1 、 0、 2 、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点 C 的横坐标， 然后放回摇匀，再从口袋中人去一个小球，并将该小球上的数字作为点 C 的纵坐标，则点C 恰好与点 A （2 ， 2 ）、 B （3， 2 ）构成直角三角形的概率是_【答案】25【解析】画树状图如下：共 有 25 种 情 况 ， 当 点 C 的 坐 标 为 （2 ，2 ）、（ 2， 1 ）、（ 2 ， 0 ）、（2 ，3）、（1 ， 0 ）、（ 2， 0）、（3，2 ）、（3，1 ）、（3， 0 ）、（3，3）共 10 种情况时，构成直角三角形，P （直角三角形）102 255随练 1.6如表记录了一

16、名球员在罚球线上投篮的结果那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1 ）投篮次数（ n）50100150200250300500投中次数（ m）286078104123152251投中频率（ m/n）0.560.600.520.520.490.510.50【答案】0.5【解析】由题意得，这名球员投篮的次数为1550 次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：796 0.51550随练 1.7某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定： 顾客购物 10 元以上就能获得一次转动转盘的机会， 当转盘停止时， 指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：转动转盘的次数 n1001502005008001000落在“铅笔” 的次数 m68111136345564701落在铅笔的频率mn（ 2）请估计，当 n 很大时，频率将会接近多少？