课时分层作业18极大值与极小值

1、课时分层作业 (十八 )极大值与极小值(建议用时： 45 分钟 )基础达标练 一、填空题1函数 y 2 x2x3 的极大值为 _；极小值为 _22【解析】 y 2x 3x x(3x2)，由 y0 得 x0 或 x 3.函数在22， 3 ，(0，)上都递减，在3，0 上递增，所以函数的极大值为f(0)2 50 2，极小值为 f 3 27.50【答案】22722函数 f(x) xln x(x0)的极小值为 _.【导学号： 95902230】【解析】221由 (解得 f(x)， ( 2x.xln x(x0)f x)xf x)0x 2.当 x (0,2)时， f(x)0，f(x)为减函数；当 x(2，

2、 )时， f(x) 0， f(x)为增函数x2 为 f(x)的极小值点，所以函数 f(x)2ln x 的极小值为 f(2)1ln 2.x【答案】1ln 2若函数x2 af(x)在 x1 处取得极值，则 a_.3x1x22x a【解析】f(x)x12 (x 1)，又 y f(x)在 x1 处取得极值，则 f (1) 0，解得 a3.【答案】34已知函数 f(x)x3 bx2 cx 的图象如图 3-3-7 所示，则 x21 x22等于 _.第 1页【导学号： 95902231】图 3-3-7【解析】由图象可知 f(x)的图象过点 (1,0)与(2,0)，x1， 2是函数f(x)的极值x点，因此 1

3、bc0,84b2c0，解得 b 3，c2，所以 f(x)x3 3x22x，所以 f(x)3x26x2.x1 ，x2是方程 f(x)3x2 6x20 的两根，因此 x1222248 x2 2，x1 x23，所以 x1x2(x1 x2) 2x1x2 433.【答案】835函数 33x29x(2x2)的极大值为 _y x【解析】y3x26x 9 3(x 1)(x3)，令 y 0，得 x 1 或 x 3.当 2x 1 时， y0；当 1x2 时， y0.所以当 x 1 时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值【答案】5326已知函数 f(x) ax bx c，其导函数图象如图 3-3-8 所示，则函数

4、 f(x) 的极小值是 _图 3-3-8【解析】由函数导函数的图象可知， 函数 f(x)在 ( ，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数 f(x)在 x0 时取得极小值 c.【答案】c7若函数 f(x) x3 3x a 有 3 个不同的零点，则实数a 的取值范围是_.【导学号： 95902232】【解析】令 f(x) 0 得 a3xx3，于是 和 3x3 有y ayx3 个不同交点，画出y3x x3 的图象即可解决结合图象，可知 2 a 2.第 2页【答案】2a28如果函数 yf(x)的导函数的图象如图3-3- 9 所示，给出下列判断：图 3-3-91函数 y f(x)在区间 3， 2 内单

5、调递增；1函数 yf(x)在区间 2， 3 内单调递减；函数 yf(x)在区间 (4,5)内单调递增；当 x 2 时，函数 yf(x)有极小值；1当 x 2时，函数 yf(x)有极大值则上述判断中正确的是 _(填序号 )【解析】 从题图知，当 x (3， 2)时， f(x) 0，当 x 2，1时，2f(x) 0，11所以函数 y f(x)在3， 2内不单调，同理，函数yf(x)在 2，3 内也不单调，故 均不正确；当 x(4,5)时， f(x)0，所以函数 y f(x)在区间 (4,5)内单调递增，故 正确；由于 f (2)0，且在 x2 的左、右两侧的附近分别有f(x)0 与 f(x)0，1

6、所以当 x2 时函数 yf(x)取得极大值，而在x 2的左、右两侧的附近均有 f(x)0，1所以 x 2不是函数 yf(x)的极值点，即 均不正确故填 .【答案】二、解答题2x9求函数 f(x)x2 1 2 的极值 .第 3页【导学号： 95902233】R.f(x)2 x21 4x22 x 1 x1【解】函数的定义域为2222 ，令 f(x)x 1x1 0 得 x 1 或 x1.当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表：x( ， 1)1( 1,1)1(1， )f(x)00f(x)极小值极大值由表可知，当 x 1 时，函数取得极小值f( 1) 3.当 x1 时，函数取得极大值 f(

7、1) 1.1310设 f(x)aln x 2x2x 1，其中 a R，曲线 yf(x)在点 (1， f(1) 处的切线垂直于 y 轴(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值1 3【解】 (1)因为 f(x) aln x 2x2x 1，a13故 f(x) x2x22.由于曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为0，即13f (1) 0，从而 a 22 0，解得 a 1.13(2)由 (1)知 f(x) ln x 2x2x 1(x 0)，1 133x2 2x1 3x1 x1f(x) x 2x222x22x2.12121令 f(x)0，解得 x 1，x3(因

8、 x 3不在定义域内，舍去 )当 x(0,1)时， f(x)0，故 f(x)在 (0,1)上为减函数；当x(1 ， )时， f(x)第 4页 0，故 f(x)在 (1， )上为增函数故 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3.能力提升练 1若函数 f(x) x33ax2 3(a 2)x 3 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是 _【解析】f(x)3x26ax3(a2)，令 3x26ax3(a2)0，即 x2 2ax a 2 0.函数 f(x)有极大值和极小值， 方程 x22axa20 有两个不相等的实数根，即 4a2 4a80，解得 a2 或 a 1.【答案】(， 1) (2，

9、)2已知 f(x)x3 6x29xabc，abc，且 f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论： f(0)f(1)0； f(0)f(1)0； f(0)f(3) 0； f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是 _.【导学号： 95902234】【解析】 f(x) x36x29x abc，f(x) 3x212x 9 3(x 1)(x3)，令 f(x)0，得 x1 或 x3.依题意，函数 f(x) x3 6x2 9x abc 的图象与 x 轴有三个不同的交点，故 f(1)f(3) 0，即 (169abc)(33632 9 3 abc)0， 0abc4， f(0) abc0，f(1) 4abc0，f

10、(3) abc0，故 正确【答案】3若函数 f(x)x2 2bx 3a 在区间 (0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是 _【解析】f(x)2x2b2(xb)，令 f (x) 0，解得xb，由于函数f(x)第 5页在区间 (0,1)内有极小值，则有0 b 1.当 0xb 时， f(x)0；当 b x1 时，f(x) 0，符合题意所以实数b 的取值范围是 0b1.【答案】0b1m4设函数f(x) ln x x ，m R.(1)当 me(e 为自然对数的底数 )时，求 f(x)的极小值；x(2)当 m0 时，确定函数g(x)f(x)3零点的个数 .【导学号： 95902235】e【解】(1)由题设，当 me 时， f(x)ln x x，xe则 f(x) x2 ，当 x (0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当 x(e， )，f(x) 0， f(x)在 (e， )上单调递增，xe 时， f(x)取得极小值 f(e)ln e ee 2，f(x)的极小值为 2.x1mx13(2)由题设 g(x)f (x) 2(x0)，令 g(x) 0，得 m x x(x3xx330)1 3设 (x) 3x x(x0)，则 (x) x2