2-2、由测量知道弹簧振子的固有频率是每秒50周,若将质量块

1、第一章习题1-1、由测量知道弹簧振子的固有频率是每秒 50周，若将质量块的质量增大5g时，其固有频率变为每秒45周。试求弹性系数。1-2、台机器为隔振而装在一组弹簧上，在平衡时由于机器的质量而使弹簧压缩了 25mm。求竖直方向振动的角频率。1-3、如题图1-3所示，由弦与质点块组成的振子。弦长I，受张力固定于两端。质点块质量m距两端各为a和b。当质点引离平衡位置xX寸（I），试问（1） m远大于弦的质量时，质量块所受恢复平衡力等于什么?/ X 纟 a纟 I 鼻题图1-3（2）这时突然去掉外力，使之作垂直于弦平衡方向振动，其最低固有频率为多少？当改变质点位置a为何值时，其振动频率值最低。2-6、

2、在一弹性系数为k的弹簧上加一重物M组成一振动系统，其固有频率为fo。（ 1）若使系统的fo改变，可采用什么办法？ （ 2）若重物加重一倍而使fo保持不变。试问应添加几只弹簧？如何连接?（3）若重物减轻一半但频率不变，应增加几只弹簧？如何连接?2-7、求出题图邃k2-7中所示振动系统的固有频率。邃kAlMk2-8、 由质量图2-7M和两只弹簧组成一振动系统。在弹性系数k1、原长L1的弹簧一端挂上质量 M，另17端与弹性系数k2、原长L2的弹簧相连。试求：（1）弹簧k2另一端固定于天花板时，由于质量 M受重力作用使系统长度变成多大？ （2）若将此系统横在桌面上，弹簧k2 一端固定在垂直墙壁上。质量

3、M于桌面无摩擦，系统作自由振动的固有频率是否改变？为什么?2-11、竖直悬挂的弹簧振子其质量块作无阻尼振动时的两个极端位置离一固定水平面的高度各为11.5cm和12cm，在5s内达到最高的位置15次。若质量块的质量为1g,试求其振动的频率、位 移振幅和弹簧的弹性系数。2-14、一弹簧振子作简谐振动时的振幅为A，试问当其振动的动能于弹性势能相等时的位移瞬时值为多大?思考题：2-15、一质量块m能在水平作面上无摩擦地滑动。质量块连一条很轻的线，线穿过作面上的一个很小的孔并可无摩擦地滑动。线的另一端受恒力 F向下拉。这质量块（比孔大，不会穿过小孔）开始时静止在离孔距离D处，然后运动。试列出质量块的运

4、动方程并解之。运动与否是周期性的?如果是，求其频率，且频率与 D有何关系?2-19、试绘出弹簧振子系统位移x（t） 10COS t 5cos3 t 5cos5 t的图形:2-31、试证：弹簧振子受迫振动中的位移振幅的低频极限值、速度共振时的速度振幅值及加速度振幅的高频极限值均与频率无关。2-32、在弹性系数为150N/m的轻质弹簧上挂一 0.5kg的质量块，系统的阻力系数是1.4kg/s,系统所受 外力F 3cos6t N。试求：（1）位移振幅、速度振幅和加速度振幅的稳态值；（2）一个周期内平均损耗功率；（3）系统的速度共振频率及其在此频率下的位移振幅、速度振幅、加速度振幅和一周期内的平均损耗

5、功率（外加力的幅值同前）；（4）系统的品质因数Qm及半功率点频带宽度。思考题：2-38、一质量块m固定在弹性系数为k的弹簧的下端，弹簧上端以振幅Bej t上下振动，质量块的摩擦力正比于质量块和弹簧上端的相对速度（dr/dt），这里r x Bej t。试求质量块的运动方程，并证此质量块的稳态运动是x R 1 mk寫）BeRm J m （k/ ）x落后于弹簧顶端位移的相角是arctan m （k/ ） / Rmarctank/（ RJx的振幅值等于什么？ x的初相角和振幅在极低频率和极高频率时各等于什么?2-43、有如下的冲击力作用在弹簧振子系统的质量块上，试求此振动系统的位移响应函数。0 (t

6、0)F a0e t (t 0) (0)(a。为常数)讨论题：2-46、如题图2-46有两个耦合振子。试求出：（1）耦合振动方程；（2）2为振子2或振子1固定不动时分振子的固有振动角频率;为耦合系统振动的固有角频率等于多少？ （ 3）分别以 和 作简正振动时两质量块位移振幅的比值等于什么？（11k22k1龙 I X2图 2-462-47、对于题2-46耦合系统，设在t=0以前有一振子维持在离平衡位置1cm处，而另一振子维持在平衡位置上，在t=0时刻两者同时释放。(1)求出耦合系统作自由振动的位移解；(2)若系统的耦合系数k= 1时，证明：该系统两质量块的振动位移为:X1cos 匕丄 t cos

7、0t22-49、对于题2-46的无阻尼耦合振子系统，设t=0时振子的初始位移和初始速度均为零，此时有一脉冲力f(t) Fo (t)作用在第一个质量块上，试求系统的位移响应函数。2-50、如题图2-50所示是一种减振装置称为动力吸尘器。大质量块M (例如是某个机器)由弹性系数为k1的弹簧支撑，在M上作用一线性策动力f(t) Foejt。如果加一辅助振子，质量为 m,弹性系数为k2，所有振子都沿x方向振动，试证：M保持不动的条件是MX I F(t)kiMk驚弹性垫机座地基图 2-512-51、有一隔振台如题图2-51所示。已知台面的质量图 2-52M 1.5 103kg，台面由四组相同的弹簧支持，

8、每组又是由两只相同的弹簧串联而成。若每只弹簧在承受负荷600kg时产生静位移3cm，试求该隔振系统的固有频率？当外界基础振动的位移振幅为1mm、频率为20Hz时，隔振台M将产生多大的位移振幅?2-52、如题图2-52所示。机器的质量为M，机器运转时受到一个f (t) Foe七的作用。机器的振动通过弹簧传入机座。若定义力的传透率是T，即T=作用于机座的力/作用于机器的力=kL。f(1)求证：力的传输率T可表示为T1120式中0_kM(2) 隔振垫(即弹簧)如何设计才能使力尽量少地传入机座?(3) 若外力角频率为12rad/s,机器质量是it，要使T小于0.1,(4) 问隔振垫的弹性系数等于多少才

9、能满足要求?2-54、两个自由度的弹簧质量块系统示于题图2-54种，使用电压一一力类比和电流系统的等效电路。r11士瓦T11Rml恒*Cm力类比建立力阻抗g的机座Z / /r2-55、绘出题图2-55所示系统的电压一一力类比和电流一一力类比电路图，并作简要说明。若以u Uo cos t cm/s恒流源策动弹簧Cmi，试求质量m的速度振幅。2-56、绘出如题图2-56所示机械装置的电压一一力类比和电流一一力类比等效电路图。写出发动机负载的总阻抗。当Rm2很大时求出等效力阻、等效质量和等效力顺。若Rm2很小时又将怎样?附加题1.系统示意图如下，画出阻抗型机电类比图Rrn2 /附加题2.系统示意图如

10、下，画出阻抗型机电类比图Ljnt户f一J I!Wl* 1-第二章习题2-122、证明如下等式成立：dU ug u （式中u为媒质质点振动速度） dt t2-136、证明下列表达式是一维波动方程的正确解： p(x,t) Aejtsinkx Bej coskx P(x,t)CejkxDe jkx ej t讨论题：2-138、（1）、理想气体的声速c是否随静压强变化？在波动方程中c是否随瞬时声压变化？（2）、如果理想气体遵循等温状态方程，声速 c的表达式将是怎样的？此时所得的 c值与空气在20?C时的声速相差多少?2-139、计算20r和标准大气压下空气中的声速。思考题:2-140、试证明：空气中的

11、声速与绝对温度的平方根成比例。思考题:2-141、试问夏天（温度为36r）空气中声速比冬天（温度为 or）时高出多少?思考题:2-146、试导出空气中由于声压P引起的绝对温度的升高 T的表达式。2-147、试求在20r、标准大气压的空气中声强为的平面声波所产生的温度变化的幅值。2-149、计算有效声压为3.5N/m2的平面声波的声压级。设所用的参考声压为（1） 2 10 5Pa （2）10 6Pa(3) 2 10 4 Qar (4) 10 5 Qar2-151有一平面谐和波其频率为1000Hz,声压幅值是2 10 5 Pa （闻阈）。若此声波在空气中传播,试求:（1）速度势函数；（2）压缩量；

12、（3）质点振速幅值及位移幅值；（4）若此平面波的声压级为180dB（参考2 10 5Pa ）,重复计算上述各量，并作比较。2-152声强相等的二列平面谐和波，一列在水里，另一列在空气里传播。试证明：它们的声压幅值之比约为60o若它们声压幅值相等，证明：它们的声强之比约为3 10 42-155 对于平面声波，试用其声压级表示声强级，并求在什么条件下声强级与声压级相等？2-156 空气中一平面波其频率为声强；（ 3）质点振速幅值；171Hz,声压级是40dB （参考声压20pPa）o试求：（1）声压幅值；（2）100Hz,声压幅值为2-157 空气中平面声波的频率是幅；（ 3）质点振速幅值；（ 4

13、）有效值声压；（ 5）2Pa。试求：（1）声强与声强级；（2）质点位移振声压级（参考声压20 pPa） 0 （标准气压和温度下）2-158 在平面波声场中，已知媒质质点的位移振幅为5x10-6cm，试计算声波频率为103Hz及105HZ时,4）声能密度幅值0空气中及水中的声压振幅、振速幅值及声强。-1222-159声强级为80dB （参考值为10- W/m ）的平面波在空气中传播。试求：（1）有效声压、瞬时声能密度和平均声能密度；（2）若声强度不变，但在水中传播，重复计算这些量。（参考声压10-6Pa）2-161 （1）证明：空气中有效声压为1 Mbar的平面波的声强级约是74dBo （2）如

14、果水中平面波的声压 级为120dB （参考值1 pbar）,则声强是多少？（ 3）如果水中与空气中平面波声强相同，试求声压之比。（同 152 题）2-162 （1）空气中平面波的声强级为70dB，求声能密度和有效声压；（2）水中平面声波的声压级为70dB（参考值 1Mbar ），求其声能密度和有效声压02-163 已知两声压幅值之比为 1，2，3.16，10，100，试求它们声压级之差0若已知两声波的声压级之差 为1, 3, 6, 10, 20dB,试求它们的声压振幅之比。2-194有效声压50Pa频率1000Hz的平面波由水中垂直入射到水与空气的平面界面上。试求： （1）透射到空气中的平面波

15、的有效声压是多少？（ 2）水中入射波和空气中的透射波声强各是多少？（ 3）如果该平面波由水入射到水 冰界面上,重新计算上述（ 1）、（2）中各量；（4）冰层的声功率反射系数是多少？（若冰的 c值为2.94 106 Rayl ）2-195平面声波垂直入射到海底，如果反射波比入射波低20dB，问液态海底物质的声阻抗率可能取什么 数值？2-196 由平面声波垂直入射到空气和位置特性阻抗的无限流体的分界面平面上。若已知有一半声能被反射,则求未知的特性阻抗。如果有 1/4的能量被反射,未知特性阻抗又是多少？2-199在空气中平面谐和波垂直入射到特性阻抗 785Rayl的平表面上，求驻波比等于多少？（驻波

16、比定义为驻波场中声压级大值与极小值的比值）2-203水中平面波声压幅值为100Pa,以45度角入射到密度为2000kg/m3、声速为1000m/s的泥底上。试求：（1）泥中折射声线的方向；（2）泥中折射波声压幅值；（3）反射波的声压幅值；（4）声功率的反射系数。讨论题：2-205、试以一维平面波为例，导出理想流体煤质中存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式。思考题：2-206、试求：（1）1/4波长流体柱；（2） 1/2波长流体柱中平面声波传播的声阻抗率。2-207、水中平面波的有效声压为100Pa,正入射到砂底上。已知砂的密度保持2000kg/m3，声速为2000m/s, 试求：（1）

17、反射波声压有效值是多少？ （ 2）砂的声功率反射系数是多少？（ 3）声能全部被反射的最小入射角是多少?2-208、测得海底全内反射临界角为58，设海底土质与海水的密度比为2.7。若平面波以30角入射到海底平面上，求反射波强度与入射波强度之比值是多少?2-219、水中一块0.2cm的大钢板，试比较频率各为15kHz和30kHz的平面声波垂直入射穿透此板的透 声系数的大小？若钢板中有空隙时，透声系数（即折射波声强与入射波声强之比值） 将会有何变化?第二章习题附加题1、试用拉梅常数，表示为弹性常数Cj附加题2、推导出拉梅系数与杨氏模量和泊松系数 E,的关系。思考题：2-87、一根长为L的均匀细棒，其

18、一端固定，另一端可自由振动。试求：（1）棒作自由纵振动的固有频率；（2）证明棒中只存在奇数次泛音；（3）若均匀地拉伸棒的自由端使长度达到 L0后突然4(L0 L)On 1释放证明该端各次谐波振幅为討sin；（ 4）若棒在初始时刻具有速度v0，写出棒中位移分布函数；（5）若有一恒定的纵向力作用于棒上，棒的固有频率是否会受影响?2-88、有一根长1m、横截面积为1 10 4m2的铜棒两端自由。试求：（1）棒作自由纵振动的基频，棒中哪一位置的位移振幅最小？ （ 2）如果使棒的一端负载加上一个0.18kg的重物，那么棒纵振动的基频变为多少？位移振幅最小的位置此时变到何处？（铜的密度 8.9 103 k

19、g/m3）思考题：2 - 89、证明：一根具有变截面S （ x ）的圆锥形棒，其自由纵振动的振动方程为，- .2 2E t x。式中S(x) x x、E为材料的密度和弹性模量，（x,t）为位移函数。2-90、一根长为L的棒两端卡住，绘出开头三个振动方式的形状。L的棒一端固定，另一端有一质量负载 M。（ 1）试求棒作纵振动的频率方程；（2）如 果棒以基频f1振动，那么棒的哪一位置位移振幅最大？2-91、有一根长为2-92、长1m、横截面积为1.0 10 5m2的钢丝的下端挂上一个2.0kg的质量块。（1）若将系统视为简谐振子，这时质量块作垂直振动的基频是多少？ （2）若将此系统视为一端固定另一端

20、载有质量块的棒,这时系统作自由纵振动的基频是多少？ （ 3）证明：当kL0.2时，基频可简化为 0 招 （s为弹性系数）。2-93、细钢丝棒长L,质量为m, 端有质量负载Mi,另一端有质量负载M2,试求出此系统作纵振动的频率方程。2-94、棒的长度为的基频是没加L,质量为M，其一端固定，另一端自由。当在自由端加上质量块m时，其作纵振动m之前的基频值的25%，试求所加的质量块m等于多少？2-95、长度为L,质量为M的细棒，一端自由，其另一端与固定物相连。若固定物的反作用相当于一机械抗（jk / ）,式中k为弹性系数，为角频率，试求棒作纵振动的基频。2-96、长为L的细棒在其一端受到纵向力Foco

21、s t的作用，另一端为自由端。（1）求出棒中驻波振幅的表示式；（2）求棒的输入机械阻抗；（3）若棒为无限长，这时其输入机械阻抗为多少？ （4）如果棒为铝质，长度为1.0m,横截面积1.0 10 4m2,作用力的幅值为10N。试就情况（1）画出在200Hz到2000Hz范围内棒的受力端的振幅与频率的关系；（5）证明：当频率较低或棒较短时本题中长为ESL的棒相当于集中参数系统的一个弹簧，其弹性系数为k （E是弹性模量，S为截面积）。2-97、一根直径0.01m的铝棒，在何频率下棒中横振动相速度与纵振动相速度数值相等?2-98、一根一端夹住的长20cm的退火钢棒，如果截面是边长1cm的正方形，则四个

22、最低的横振动频率 是多少？如果截面是半径为0.5cm的圆形，则又如何？如果截面是一边长为 b, 一边长为2b的长方形，试问当棒的最低频率是250Hz时，b必须是什么数值？（对钢7700kg/m3 ,E 2 1011N /m2）2-99、一端固定一端自由，长为L的细棒作横振动。若已知基频时自由端的位移振幅为0，试求以0来表示的棒的基频位移。2-100、长为L的细棒一端固定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移（t 0） gx，试求解棒作横振动的位移表示式。2-101、长为L的细棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。2-102、一根钢棒长0.5m,半径0.005m，两端自由。试求：（1）棒作横振动的基频

23、；（2）如果棒以基频振动时棒中点处的振幅是2cm，那么棒两端的振幅为多少?2-103、长为L的细棒两端固定，求棒作横振动的频率方程。2-284、试证：对于谐和球面行波场的声强可表示为:2 2cUe cos2 2 2旦k：式中：Ue U0 1 k r疋为振速有效值;,c为媒质的密度和声速；k为波数；r为径向距离。2-290、对于谐和球面形波场，其声阻率的最大值是多少?2-294、已知球面行波场中速度势函数为:r 1 cos(kr)exp( jt），试求：（1）声压；（2）质点振速；（3）1m处的声强为50mW/m2。（ 1）试求辐射声阻抗率；（4）声强2-295、半径为0.1m的脉动球在空气中辐

24、射球面波，在距球心的声功率；（2）如果声源辐射声波的频率为100Hz，试计算球面处的声强、声压幅值和质点振速幅值；（3）计算距离球心0.5m出的声强、声压及质点振速幅值。2-298、空气中一脉动球源辐射400Hz的球面波，其声功率为10mw。试求：（1）据声源0.5m处的声强;（2）该距离处的声压幅值；（3）该处的质点振速幅值；（4）该处的质点位移振幅；（5）该处的压缩比；（6）该处的声能密度；（7）声压级（相对210 5Pa)。2-299水中有一小脉动球源辐射球面波。试计算离声源1m 处频率为 100Hz、1000Hz、10000Hz 时声压与质点振速间的相位差是多少？求此距离处频率为100

25、0Hz时声阻抗率的幅值是多少?2-300、一个半径为0.01m的脉动球源向水中辐射14 kHz的球面波。已知离球心1000m处的声压幅值为10dyne/cm2,试求：（1）该处的声波强度和发射的声功率是多少？ （ 2）球面处振速幅值是多少？2-301 一作简谐振动的脉动球源辐射球面波，其径向振速可写为Ur爲（1 jkr）ej（kr t），试求：（1） r使式中第二项数值占总数值的 99%的最小距离；（2）第一项的数值占总数值的99%的最大距离。2-302 一脉动球面发射器，其机械系统的等效质量为400g,等效弹性模量（或劲度）为1012 dyne/cm,等效阻力系数为104g/s球源的半径为5

26、cm。试求当球源在水中辐射时的类比电路。设球源的策动力 为107cos（1C5 t） dyne,试问离球心1m距离处的声压等于多少？2-303有一部机器在离其声中心10m处量得声压级为100 dB （参考2 10 5 Pa ）。如果把这部机器视为半径为0.1m且频率为100Hz的脉动球源，那么这个等效球源的声源强度有多大?3- 305 一个半径为0.01m的脉动球源向水中辐射14KHz的球面波。如果把它放在一个充油的球形密闭容器中心，该容器半径为6cm,其壳体甚薄，对声波穿透的影响可以略去，然后再放在开阔水域 中。现预在离球心1km处得到10 dyne/cm2的声压值，试问该发射器的辐射声功率