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文档简介
1、计算流体力学讲义2011 第六讲 差分方法(4) 李新亮 ;力学所主楼219; 82543801,知识点: 通量技术简介Roe 常用的隐式处理方法LU-SGS,1,Copyright by Li Xinliang,讲义、课件上传至 (流体中文网) - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 下载地址2: http:/cid-,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾: 单调、保单调和TVD,概念: 网格Reynolds数 单调格式、保单调格式及TVD格式 Harten定理: 正系数原则,TVD,保单调,单调,TVD格式= 1阶迎风+ j *(修正项,二阶精度区,TVD区,
2、二阶精度TVD区(二者交集,Copyright by Li Xinliang,3,知识回顾:WENO格式,基本思路,j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2,j-3,j-2,j-1,j; j-2,j-1,j,j+1; j-1,j,j+1,j+2,五个基架点被分成三个组,1) 若高精度逼近 , 必然利用多个基架点 2) 如果该基架点内函数有间断,会导致振荡 3) 间断不可能处处存在 4) 把基架点分成多个组(模板), 每个模板独立计算j点导数的逼近。 得到多个差分 5)根据每个模板的光滑程度,设定权重 6) 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越高,权重越大。如果某模板存在间断,则权重趋于0
3、; 如果都光滑,则组合成更高阶格式,Copyright by Li Xinliang,4,1. 单方程的Roe格式,线性化,用平均变化率代替(j,j+1)之间的变化率a(u,平均斜率”,不等于“斜率的平均值”,也不等于中点处的斜率,6.1 Roe格式,非线性情况,根据Langrage中值定理,uL,uR之间必有一点uRoe, 该点处的斜率为平均斜率; 二次函数f(u)=u2中点处的斜率=平均斜率,Copyright by Li Xinliang,5,2. 方程组的情况,平均斜率,线性化,以平均增长率代替瞬时增长率,j,j+1区间内,连续,且 可通过相似变换对角化,应当具有的性质,常系数方程的R
4、iemann解,Copyright by Li Xinliang,6,平均斜率,x,j+1/2,常系数单波方程的Riemann解,Roe 格式: 微分型近似Riemann解,Copyright by Li Xinliang,7,3. 矩阵 的构造,关键,向量除以向量” ,直接求平均增长率,u,f(u,uL,uR,uRoe,Roe点的斜率为平均斜率 (根据拉格朗日中值定理,UL,UR区间内肯定存在Roe点,思路1: 在UL与UR之间寻找一个点URoe, 该点处的增长率为平均增长率,f(u)=u2,u,二次函数 Roe点与中点重合,标量函数的启示: Roe点肯定存在(Langrage 中值定理)
5、二次函数的中点即为Roe点,思路2: 进行坐标变换,得到一个二次(齐)函数,引入,如果 是二次(齐)函数,则其中点 即为Roe点,重要启示,更准确地讲,应当是要求 为W的线性函数, 即增长率为线性函数 (中点处的增长率刚好为平均增长率,Copyright by Li Xinliang,8,针对Euler方程的具体构造,引入新变量,则,目的: 使得F(w)是W二次齐函数 (增长率为线性函数,f(U)不是U的二次齐函数,二次齐函数,中点处的斜率即为平均斜率,Roe点,Roe点为,增长率为线性函数,Copyright by Li Xinliang,9,最终,其中 如下计算,平均增长率(矩阵,含义:
6、左、右两个状态点的某种平均 (称为Roe平均,为密度加权平均) 该状态点对应的增长率(矩阵)为平均增长率(矩阵) 实际上是一种“等效平均”。 效果优于简单的算数(或几何)平均,三维情况下,还有,其他量(如压力、温度、音速等)用这三个量计算,5,简单易记,Copyright by Li Xinliang,10,Roe 格式的计算步骤 (半离散,已知n时刻所有网格点上的物理量,对于j点: 1) 利用差分格式计算UR,UL 2) 采用Roe平均公式(5)计算Roe平均值 3) 将Jacobian矩阵 进行特征分解: 计算 4) 计算 5)计算 6) 计算空间导数 7)时间推进,计算下一时间步的值,j
7、-1 j j+1,与前文(第3,4讲)的形式相同,仅需把式中的密度、压力、速度等换成经过Roe平均的密度、压力、速度即可,其中,Copyright by Li Xinliang,11,可能出现导数不连续, 可能引起数值振荡,实际使用时 可用如下函数代替 所谓“熵修正,实际上是在特征值0点周围增加了耗散,Roe 格式的优点: 1) 保持守恒性的同时,严格保证了特征方向 2) 便于推广到高精度格式 特征投影分裂中使用Roe平均即可 (见本PPT 第5页)。推广到高阶后,虽不再保证严格的特征方向, 但仍优于采用算数平均方法。 Roe 格式的不足: 本身精度只有一阶; 推广到高阶后,特征方向无法严格保
8、证 ; 推广到二维或三维后,特征方向无法严格保证,出现振荡,Copyright by Li Xinliang,12,关于 f(U) 与 f(W,深入讨论,新变量,虽然是“一次齐函数”但有变量在分母上,干净的二次齐函数,自变量W的线性函数,实质区别: 是自变量 的线性函数, 而 是自变量 的非线性函数,自变量U的非线性函数,使用U做自变量的优点: 物理意义鲜明 (质量密度、动量密度和能量密度),守恒性好 使用W做自变量的优点: Jocabian矩阵为线性矩阵 思考: 如果在CFD计算中,使用W替换U做自变量会怎样,4 阶,3 阶 (TVD型,2阶,Copyright by Li Xinliang
9、,13,6.2 时间推进方法,1. 显格式,推荐方法: Runge-Kutta法,更高阶,Copyright by Li Xinliang,14,2. 隐格式算法简介 (以二维Euler方程为例,1) 原理介绍,1,时间离散后,方案 A: 直接将(1)进行空间离散,得到 Un+1 的代数方程组 困难: 大型非线性方程组,求解困难,方案B: 设计一种迭代算法,令,两端同时添加显式项,右端项,已知,是已知项,可采用某种差分方法显式计算得到 (对算法无限制,Copyright by Li Xinliang,15,2,已知,(2)为线性方程,1) (2) 是一个线性化过程,含义: 先用显格式计算,再用
10、隐格式计算修正量,线性方程,离散求解,离散后为大型带状方程组,求解计算量大,LU-SGS,原理: 将矩阵分解为上、下三角阵,避免矩阵求逆运算,隐式问题显式化,未知量,显式部分,隐式修正,若隐式修正为0,则为显格式,Copyright by Li Xinliang,16,2) LU-SGS 方法,a) 将矩阵A,B分裂,为了简化计算,通常采用L-F分裂,矩阵分裂,1阶迎风格式离散,整理,迭代收敛后,不影响精度,Copyright by Li Xinliang,17,其中,特点: 严格对角占优,收敛性好 稳定性好,可采用局部时间步长等加速收敛措施,近似LU分解,do j=1,ny do i=1,nx Enddo Enddo,Copyright by Li Xinliang,18,具体求解方法,1) 计算右端项,显式,可采
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