利息理论课件

1、利息理论与实务分析,第一章 利息基本计算,定义1.1 设用a(t)表示原始投资a(0)经过时间t(t0)后的价值，则当t变动时称a(t)为总量函数 定义1.2 总量函数在时间t1,t2内的变化量（增量）称为期初货币量a(t1)在t1,t2内的利息，记为， 即 = a(t2)-a(t1,1.1 利率基本函数,定义1.3 设1货币单位的本金在t(t0)是的价值为a(t)，则当t变动时，称a(t)为累积函数。 定义1.4 给定时间区间t1,t2内总量函数的变化量与期初货币量的比值称为在时间区间t1,t2内的利率，记为 ，即,1.1 利率基本函数,结论1.1 某个计息期内的利率为单位本金在该计息期内产

2、生的利息与期初资本量的比值，即 结论1.2 在单利方式下有： 结论1.3 在复利方式下有,1.1 利率基本函数,例1.1 设年利率为5%,比较单利与复利的异同。 解：单利方式下有： 复利方式下有,1.1 利率基本函数,例1.1续. 比较两种方式下的利率水平。复利方式下的实利率均为5%，而单利率方式下各年的实利率水平为： 结论： 单利方式下实利率是逐年下降的,1.1 利率基本函数,定义1.5 若t时刻1个货币单位在0时刻的价值记为 ，则当t变动时， 称为贴现函数。 单利下有： 复利下有,1.1 利率基本函数,定义1.6 计息期 内的利息收入与期末货币量的比值称为在时间 区间内的贴现率，记为 ，即

3、： 一般地，有,1.1 利率基本函数,实利率与贴现率比较 假设张三到一家银行以年实际利率6%向银行借100元，为期1年。银行将付给张三100元，1年后，张三将还给银行贷款本金100元，加6元利息，共106元。如果是以贴现率6%向银行贷款，为期1年，则银行预收6%（6元）的利息，仅付给张三94元。1年后，张三还银行100元。 可见：实际利率是对期末支付的度量，而贴现率是对期初支付利息的度量,1.1 利率基本函数,常见数量关系： （贴现因子,1.1 利率基本函数,定义1.10 若在单位计息期内利息依利率 换算m次，则称 为m换算名利率。 结论1.61.8,1.1 利率基本函数,例1.2 现有以下两

4、种5年期投资方式： a:年利率7%，每半年计息一次； b:年利率7.05%，每年计息一次。请确定投资选择。 解法一：比较等价的年实利率。 解法二：比较实际收益,1.1 利率基本函数,定义1.11 设累积函数 为 的连续可微函数，则称函数 为累积函数 对应的利息力函数，并称其在各个时刻的值为利息力,1.1 利率基本函数,常见数量关系： 单位计息期内，常数利息力，利息及贴现率大小,1.2 利率基本计算,价值方程：将调整到比较日的计算结果按照收支相等原则列出的等式称为价值方程。 例1.3 某资金账户第1年初支出100元，第5年末支出200元，第10年末也支出一笔资金；作为回报，第8年末收回资金600

5、元，假定半年换算名利率为8%，试利用价值方程计算第10年末支出金额。 解答：（选不同比较日列出价值方程，并比较结果,1.2 利率基本计算,利率的计算 价值方程的变换 例1.5 以什么样的季换算名利率，可以使得当前的1000元在6年后的本利和为1600元？ 解题：令 ，则价值方程为 所以,1.2 利率基本计算,利率计算 代数方法 例1.6 已知两年后的2000元和四年后的3000元的现值之和为4000元，计算年利率。 解题：设年利率为i, 则价值方程为 解得 所以,1.2 利率基本计算,利率计算 线性插值或迭代法 例1.7 已知现在投入1000元，第3年底投入2000元，第10年底全部收入为50

6、00元，计算半年换算名利率 解题：设半年换算名利率为 ，令 ，则有 令 ，分别验证 使得 ，则有 按照相同原则迭代出 等,1.2 利率基本计算,为了在第4年底收益2000元，第10年底收益5000元，当前需要这样的投资，前2年每年年初投入2000元，第3年初再投入多少，若季换算名利率6%，试计算第3年初投入金额,第二章 年金,年金：以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为，是持续按期收付的定额款项。 应用： 养老金分期付款、按揭贷款、固定收益投资和定期固定收入回报等。 确定年金：无条件确定发生的年金 未定年金：年金的发生是有条件的、不确定的,2.1 基本年金,2.1.1 期末年金 定义2.1 若

7、年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行，则为期末年金。 定义2.2 若每次年金金额为1个货币单位，现金流在第一个付款期末首次发生，共n期，则称为n期标准期末年金,2.1 基本年金,2.1 基本年金,现金流 计算公式,2.1 基本年金,例2.1 现有10年期50万元贷款，年利率8%，试计算以下三种还贷方式的应付利息。 a:在第10年底一次付清； b:每年底偿还当年利息，本金最后一次付清； c:每年底偿还固定金额，10年还清,2.1 基本年金,续例2.1 a: b: c: （利息的发生过程未予考虑,2.1 基本年金,2.1.2 期初年金 定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立

8、即产生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金 定义2.4 若每次年金金额为1货币单位，在合同生效时立即产生首次现金流，共计n次，则称这种年金为n期标准期初年金,2.1 基本年金,现金流（现值） 计算公式,2.1 基本年金,现金流（终值） 计算公式,2.1 基本年金,常用数量关系,2.1 基本年金,2.1.3 递延年金 定义2.6 若年金现金流的首次发生是递延了一段时间后进行的，则称这种年金为递延年金。 计算公式 （试结合上述公式给出直观解释,2.1 基本年金,2.1.4 永久年金 定义2.6 若年金的支付永远进行下去，没有结束的日期，则称这种年金为永久年金。 计算公式,2.1 基本年金,2.

9、1.4 永久年金 例2.2 某人留下遗产100000元，第一个10年将每年的利息付给受益人甲，第二个10年将每年的利息付给受益人乙，20年后将每年的利息付给受益人丙并一直进行下去，均为年底支付，年利率7%，计算三个受益人的相对收益比例。 解： 甲 乙 丙,2.2 广义年金,定义 付款周期和利息换算周期不同的年金，我们称之为广义年金。 计算步骤1：将名利率调整到付款周期内的实际利率。 计算步骤2：用上式的实际利率按年金的现金流计算现值,2.2 广义年金,例题】 一笔50000元的贷款，计划在今后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，计算每月末的付款金额。 【解】付款按月进行，因此可以先将年

10、利率转换成实际月利率 ，再按照基本年金公式有 解得x=965元,2.2 广义年金,2.2.1 付款周期为利息换算周期整数倍的年金 定义几号如下： k:每个付款周期内的利息换算次数； n:年金的付款总次数k i:每个利息换算期内的实利率（名利率换算次数,2.2 广义年金,例2.8 现有年利率i付款r次的年金，首次付款为第7年底且金额为1元，然后，每三年付款一次且金额1元，分别用期末和期初年金的形式表示这个年金的现值。 解答：年金现值为,2.2 广义年金,例2.9 100000元投资在每年底收回10000元，当不足10000元时，将不足部分与最后一次的10000一起收回，半年换算名利率为7%，试计

11、算总的收回次数和最后一次收回金额。 解答：（1）设总收回次数为n，则n满足不等式组,2.2 广义年金,续例题2.9 （2）设最后一次的收回金额为10000元+r，有： 解得r=1008.97元，故最后一次收回金额为： 10000+1008.97=11008.97元,2.2 广义年金,2.2.2 利息换算周期为付款周期整数倍的年金 定义几号如下: m:每个利息换算期内的付款次数； n: 年金的付款总次数/m(即付款总次数为mn) i: 每个利息换算期内的实利率 期末年金,2.2 广义年金,2.2.2 利息换算周期为付款周期整数倍的年金 期初年金,2.2 广义年金,例2.10 考虑一个10年期每月

12、初付400元的年金，若年利率为i，请给出以下量的表达式： （1）在首次付款2年前的现值； （2）在末次付款3年后的终值。 解答：（1） （2,2.2 广义年金:再几道例题,某人1月1日在银行存入10000元，每季末从银行领取500元，直到余额不够一次领取时，将余额和最后一次足额一并取出，月利率i=0.005，计算足额领取次数和不足额部分。 每月实际利率为1%，甲于每季初在银行存款1000元，共3年，以后2年，每季初存2000元，计算甲在第5年末的存款积累值。 某人在退休前5年，每季末将季度奖金中的2000元存入银行固定账户，直到退休（某年1月1日）。银行年利0.06.求其退休6年后的存款积累值

13、,2.2 广义年金,连续年金：一种标准的n期连续年金，每个瞬间的现金流为1个货币单位，期限为n，则该年金的现值和终值分别为： 其中 为常数利息力,2.3 变化年金,2.3.1 一般变化年金 1.等量变化年金 首次付款金额为p(p0),然后每次变化q,总计n次，期末方式，现金流量图有,0,1,2,n,p,p+q,p+(n-1)q,2.3 变化年金,定义2.7 在一般等量变化年金中p=q=1，则这样的等量变化年金为n期标准递增期末年金，其年金的现值与终值计算如下： 现值： 终值,2.3 变化年金,定义2.8 若一般等量年金中p=n，q=-1，则称这种年金为n期标准递减期末年金，其现值与终值计算如下

14、： 现值： 终值,2.3 变化年金,n期标准递增/递减期初年金,2.3 变化年金,例2.12 计算以下期末年金的现值：首次付款1元，每次增加1元，直至n元，然后每次减少1元，直至降为1元。 解答： 例2.13 首次付款1元，每次增加1元，直至10元，然后固定不变直至第25次付款。 解答：（1）看作10期标准递增年金和10份递延10期的15期标准年金之和,2.3 变化年金,续例2.13 （2）25期标准递增年金扣除递延10期的15期标准递增年金 （3）10份25期标准期末年金扣除9期标准递减期末年金,2.3 变化年金,2.3.1 一般变化年金 2.比例变化年金 首次付款1个货币单位，随后每次增加

15、k倍，总共n次，其现值为,2.3 变化年金,例2.14 设有20年期末比例变化年金，首次付款1000元，每年付款1次且金额递增4%，年利率7%，计算该年金的现值。 解答：利用比例变化年金公式，可得,2.4 实例分析,2.4.1 固定养老金计划分析 例2.14 设养老金计划参加者的具体存款方式为：在2529岁时，每月存款200元，3039岁时，每月存款300元，4049岁时，每月存款500元，5059岁时，每月存款1000元。年利率10%，计算不同年龄参加者月退休金。（退休后养老金领取20年,2.4 实例分析,续例2.14 上式经过简单整理，有： （请仿照上式计算30和40岁开始加入养老金计划，

16、60岁以后的月退休金额,2.4 实例分析,2.4.2 购房分期付款分析 设p表示总房款，k表示首付款比例，i表示年利率，n表示分期付款的总年数，r表示每月底的还款金额，则有如下价值方程： 进一步有,2.4 实例分析,例2.15 已知总房款为500000元，首付款比例为30%，年利率8%，分别求下列还款方式每月底还款金额：（1）分5年付清；（2）分8年付清；（3）分10年付清。 解：已知 ， n=5时， n=8时， n=10时,2.4 实例分析,例题16 某人继承了一笔遗产：从现在开始每年得到10000元，该继承人以年利率10%将每年遗产收入存入银行。第5年底，在领取第6次遗产收入之前，他将剩余

17、的遗产领取权转卖给他人，然后将所得的转卖收入与前5年的储蓄收入合并，全部用于年收益率12%的某种投资。若每年底的投资回报是相等的，且总价30年，计算每年底的回报金额。 解：设每年底的回报金额为x，则有 x=21992.76元,2.4 实例分析,例题17 某人在退休时一次性得到退休金400000元，他将其中的一部分购买了年回报率7%的永久年金，剩余部分购买了年回报率10%的10年期债券。已知他前10年收入是后10年收入的两倍，计算用于购买年金的金额。 解：设后10年的年金收入为r, x元购买了永久年金，则 解得 r=19578.75元，x=279696.42元,2.4 实例分析,例题18 某汽车

18、商计划用如下的零售策略：以年利率4%提供4年分期付款，车款价格100000元。已知当前市场中商业消费贷款的月换算名利率为6%，分析该零售策略的当前成本。 解：购车人的月供款为 按照市场利率上述月供款的当前价格为 该零售策略的当前成本100000-96321.55=3678.45，相当于优惠了全部车款的3.68,第2章 练习题,1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用50000元，如果他们前10年每年底存款1000元，后10年每年底存款1000+x元，年利率7%，试计算x的值。 2.已知 ，试用x表示d. 3.已知 ，试计算i. 4.已知半年换算名利率6%，计算10年期末年金的现值：开始4年每

19、半年付款200元，然后减为每次100元。 5.现有价值相等的两种期末年金a和b，年金a在第110年和第2130年中每年付款1元，在第1120年中每年2元；年金b在第110年和第2130年中每年付款金额为y，在第1120年中没有， ，计算y,第2章 练习题,1.每年末付款为1的10年期年金，前6年年利率i=0.04, 后4年每年计息4次的年名义利率 ，给出该年金现值表达式。 2.从1998年起到2008年底，某人每年1月1日和7月1日在银行存入一笔款项，7月1日的款项要比1月1日的存款增加10.25%，而与其后的1月1日存款相等，每年计息两次的年名义利率10%。2008年12月31日，存款本利和

20、11000元，计算第一次存款额。 3.某人每年初存款100元，共存20年，利率i,若按单利20年末积累值2840元，若按复利，20年末积累值多少,第3章 投资收益分析,主要内容 各种金融投资活动的收支，借贷等在时间金额上的不一致会产生一定的收益和亏损。本章主要通过现金流的分析，计算出某项资金活动的收益状况，从而评价某项投资项目的可行性,第1节 投资收益分析基本方法,投资者在t时刻的资金流出表示为 ，资金流入表示为 ，则 表示t时的投资支出； 在某时刻t的资金流入和流出之差，称为资金净流入，记为 ，显然有 各时刻资金净流入的现值之和简称为资金净流入现值，记为npv(i): 收益率就是如下关于i的

21、方程的根,第1节 投资收益分析基本方法,收益率 上面分析表明，收益率就是使资金净流入现值为0的利率。收益率常被用作一项指标去度量某项特定业务受欢迎的程度。从贷方的观点看，收益率越高越好；从借方的观点看，收益率越低越好。 评价收益率的注意事项 （1）注意收益率的计算期限 （2）关于收益率解的唯一性,第1节 投资收益分析基本方法,例3.1 考虑一个10年的投资项目，第1年初投资者投入10000元，第2年初投入5000元，然后每年只需1000元的维护费用。该项目期望从第6年底开始收益，最初8000元，然后每年增加1000元，试分析该项目的投资价值。 解：资金净流入现值函数为 令其为0，解得i=12.

22、96%.但如果我们只考虑前9年收益率就降为9%，如果只考虑前8年，则降为4,第1节 投资收益分析基本方法,例3.2 考虑这样一笔投资业务，现在投资10000元，并在第2年末投入11872元，以换取第1年末得到21800元，试求该业务的投资收益率。 解： i=6%或 i=12% 多重收益率的出现，使得项目选择的判断标准无效，收益率唯一的最常见情形是：在项目中所有的现金流动只改变一次方向，根据descartes符合法则，投资收益率的个数至多为现金流改变方向的次数,第2节 收益率计算,币值加权收益率 假设期初的本金为 ，在时刻t,新增投资额度为 （ ），投资收益率i,在投资在期末的累积值： 如果用单

23、利代替复利，则有,第2节 收益率计算,币值加权收益率 如果假设新增投资平均发生在期中，即t=0.5，则上式进一步化为,第2节 收益率计算,例题3.3 某投资账户资金余额及新增投资情况如下，计算账户在当年的收益率。 解:由 得i=10.54% 近似计算得,第2节 收益率计算,时间加权收益率 排除资金增减变化影响后计算的收益率，也就是在本金恒定基础上计算的收益率。 假设投资账户期初的本金为a(0)，期末t时的累积值a(t)，期间共有n次新增投资，分别为 ，第k个区间末累积值 ，则有 （1） （2,第2节 收益率计算,例3.4 一个养老金账户在2007年1月1日的余额40000元，该账户现金流及余额

24、变化如下，计算2007年的时间加权收益率,第2节 收益率计算,续上例 解：应用前述公式我们可以得到 故该账户的时间加权收益率为11.96,第2节 收益率计算,例题3.5 基金在1月1日的余额为a，在6月30日的余额为b，在12月31日的余额为c.(1)如果没有资金的存入与退出，证明比值加权和时间加权收益率都等于(c-a)/a.(2)在6月30日计算余额之后存入资金d,试求两种收益率。(3)如果在6月30日计算余额之前存入资金d，求两种收益率 解：（1）币值加权法：利息 故 时间加权法,第2节 收益率计算,例题3.6 a和b均为基金经理人。在2006年1月1日，两人的基金余额均为1000元。当年

25、的12月31日，a的基金价值是2000元。2007年1月1日，a收到一笔20000元的新增投资。到2007年12月31日，a的余额为22000元。在2006年12月31日，b的基金价值为1200元，2007年1月1日，一笔1000元的资金从b基金撤出。到2007年12月31日，b的余额为180元。 请计算a、b两人在这两年的币值加权收益和时间加权收益率，并比较其收益的高低,第2节 收益率计算,解】a的币值加权收益率满足： 故a的币值加权收益率为4.54% a的时间加权收益率满足： 故a的时间加权收益率为41.42,第2节 收益率计算,解】b的币值加权收益率满足： 故b的币值加权收益率为15.5

26、7% b的时间加权收益率满足: 故b的时间加权收益率为3.92,第3节 再投资收益率,例题3.7 假设债券a的期限是5年，利率为8%；债券b的期限是8年，利率为7%。如果两种债券的面值和售价相等，风险相当，都是在到期时一次支付本息，投资者应该选择哪种债券？ 【解】假设后3年的再投资利率为i，如果两种债券无区别，则应有 可见，只有当后3年的再投资利率大于5.354%时，债券a才优于债券b，否则投资者应该选择b,第3节 再投资收益率,例题3.8 期初投资1元，投资期n年，年实际利率i，每年产生的利息按照年实际利率j进行再投资，计算n年末的累积值和该项投资的年平均收益率。 【解】n年末的累积值为：

27、该项投资的年平均收益,第3节 再投资收益率,例题3.9 某年金在每年末支付1元，一共支付n次。假设年金的实际利率为i，每期产生的利息按照利率j进行再投资，计算该年金的终值。 【解】该年金的终值为： （请解释之） 如果该年金改为每年初支付1元，则终值,第3节 再投资收益率,例题3.10 债券a的面值1000元，收益率6%，期限5年，到期一次性还本付息；债券b面值1000元，息票率6.1%，期限5年，每年末支付利息，利息只能按照5%利率投资。试比较两者的收益率。 【解】设债券b的收益率为i，则有 解得i=5.98%，小于a的6,第3节 再投资收益率,例题3.11 某投资者每年初投资1000元，投资

28、5年。假设原始投资的利率6%，利息再投资利率5%。计算投资者5年末的积累值和该项投资的收益率。 【解】5年末的累积值为 设收益率为i，则 解得收益率5.93,第4章 债务偿还方法,分期偿还法 在分期偿还法中，借款人分期清偿债务，在每次偿还的金额中，即包含当期应该支付的利息，也包括一部分本金。 偿债基金法 在偿债基金法中，借款人在贷款期间分期偿还贷款利息，并要积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。 如果偿债基金利率和贷款利率相等，则两种方法等价,第1节 等额分期偿还,在等额分期偿还中需要解决的问题： （1）每次偿还的金额是多少？ （2）未偿还本金余额是多少？ （3）每次偿还的金额中

29、，利息和本金分别是多少,第1节 等额分期偿还,每次偿还金额 假设贷款本金是 ，期限是n年，每年末等额偿还，则每次偿还金额r可以表述如下： 未偿还本金余额（过去法） 所谓过去法是指从原始贷款本金中减去过去已经偿还的本金，即未偿还本金余额,第1节 等额分期偿还,例4.1 现有一笔100000元的死亡保险金，受益人每月末领取，年利率3%，25年领完。在受益人领取10年后，实际利率提高到5%，请计算15年后，受益人每月可以增加领取多少保险金？ 【解】前十年的月实际利率 ，后15年的月实际利率 ，25年可以领完保险金，每月可领取金额为 未偿还本金为,第1节 等额分期偿还,例4.1续 因此后15年中每月领

30、取的金额为 每月增加的保险金为,第1节 等额分期偿还,未偿还本金余额（未来法） 所谓将来法就是把将来需要偿还的总金额折算成计算日的现值即得到未偿还本金余额，即 例4.2 应用未来法重新计算上例。 两种方法的计算结果一致，但由于未来的付款金额和付款次数都是已知的，故应用将来法较简便,第1节 等额分期偿还,每期偿还的本金和利息 整理得到 每期偿还的本金之和为,第1节 等额分期偿还,第1节 等额分期偿还,例4.3 一笔10000元的贷款，期限5年，年实际利率6%，每年末等额偿还。试计算下列各项： （1）每年末应该偿还的金额 （2）每年末未偿还的本金余额 （3）每年偿还的金额中，利息和本金分别是多少,

31、第1节 等额分期偿还,例4.4 a向某基金投资20000元，希望在今后5年内每年末获得5000元收入。计算基金的实际利率是多少？如果从第3年开始，基金的年实际利率上升100个基点，计算投资者在今后的3年中，每年末可以获得多少收入,第1节 等额分期偿还,例4.5 一笔10000元的贷款，为期10年。如果年实际利率6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息总额最多？（1）10年末一次偿还所有本息。（2）每年末支付当年利息，第10年末偿还本金。（3）10年内每年末偿还相等的金额，在第10年末刚好付清,第2节 等额偿债基金,在某些贷款项目中，贷款人可能要求借款人在贷款期间分期偿还贷款利息，同时积累一笔

32、偿债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。这就是所谓偿债基金方法。 偿债基金的利率不等于贷款利率的情形 偿债基金的利率等于贷款利率的情形,第2节 等额偿债基金,偿债基金的利率不等于贷款利率的情形 每期支付的利息为： 每期储蓄的金额为： 每期的总付款为： 第k期末的贷款净额,第2节 等额偿债基金,例4.6 100000元的借款分10年偿还，年实际利率10%。借款人即可以每年末支付p元来分期偿还，也，也可以用偿债基金方法，在偿债基金中每年末存入的金额为p减去100000元的利息，偿债基金的年利率14%，计算借款人在还清债券后偿债基金的余额是多少？ 【解】每年末还款额为 元，偿债基金法每年末的存款

33、为16275-10000=6275元，第10年末的累积值为： 还清债务后，偿债基金的余额为： 121314-100000=21314元,第2节 等额偿债基金,偿债基金的利率等于贷款利率的情形 每期支付的总金额： 每期末的储蓄金额： k期末贷款净额,第2节 等额偿债基金,例4.7 一笔10000元的贷款，期限为5年，年实际利率6%。借款人必须在每年末偿还600元利息，并建立一笔偿债基金用于清偿贷款本金，偿债基金的利率和贷款利率相同。计算下列各项的值： （1）借款人每年向偿债基金储蓄的金额； （2）偿债基金每年所得利息； （3）偿债基金每年末的余额； （4）每年末的贷款净额,第2节 等额偿债基金,

34、续上例（学生完成下列表格,第2节 等额偿债基金,例4.8 两笔贷款本金均为10000元，期限均为5年，但偿还方式不同，第一笔用偿债基金方法，贷款利率6%，偿债基金利率5%。第二笔等额分期偿还，计算第二笔贷款利率多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的？ 【解】第一笔每年末支付金额： 第二笔贷款每年末支付的金额： 令上面两式相等，得r=0.065,第2节 等额偿债基金,例4.9 假设偿债基金的实际利率为5.5%，重新计算例题4.7,第3节 变额分期偿还,在分期偿还贷款时，借款人可以按照每期不等的金额偿还，这就是所谓的变额分期偿还，不防假设原始贷款金额为 ，每期末偿还金额为 ，则有,第3节 变额分期偿

35、还,例题4.10 假设某人从银行获得一笔贷款，期限为5年，年实际利率6%。借款人在每年末分期偿还，每年末的偿还金额依次为2000元、1800元、1600元和1200元。试计算：（1）贷款本金；（2）第3年末偿还的利息和本金。 【解】每年末偿还金额形成一个变额年金序列，如下表,第3节 变额分期偿还,续上例 贷款本金应该等于上述年金的现值，因此有 第三年初未偿还本金额为（将来法计算） 因此第三年支付的利息为 第三年末的本金为,第3节 变额分期偿还,例4.11 一笔10000元的贷款，期限5年，年实际利率5%，每年末偿还2000元本金。试构造分期偿还表,第3节 变额分期偿还,例4.12 一笔1000

36、0元的贷款，年实际利率10%，期限6年，每年末还款一次，每次偿还金额以50%的速度增加，试构造分期偿还表,第6章 债券价值分析,本章主要介绍债券及其定价原理 债券可以分为零息债券和附息债券 零息债券 附息债券 影响债券价格的因素 市场利率 发行人信誉 债券的特定条款 税收待遇等,第1节 债券定价原理,债券定价基本符号 p债券价格 n息票的支付次数 i投资者要求的收益率 k偿还值的现值，有 f债券面值 c债券的偿还值 g债券的基价，有 r债券的偿还值 rf每期息票收入 g债券的修正息票率，有g=rf/c,第1节 债券定价原理,衡量债券收益率水平的四个指标 息票率（r）=息票收入/面值（f） 修正

37、息票率（g）=息票收入/偿还值（c） 到期收益率（i）=息票收入/基价（g） 当期收益率=息票收入/债券定价 债券定价的四个公式,第1节 债券定价原理,基本公式 债券价格与利率的关系,第1节 债券定价原理,溢价公式 基价公式,第1节 债券定价原理,makeham公式,第1节 债券定价原理,例6.1 假设债券的面值为1000元，期限5年，每年末支付一次利息，年息票率8%。到期时按1100偿还。如果投资者要求的收益率为9%，计算债券的价格。 【解】（1）基本公式： =1026.09 （2）溢价公式： =1026.09 （3）基价公式： =1026.09 （4）makeham公式： =1026.09

38、 (具体过程学生完成,第1节 债券定价原理,例6.2】 债券面值1000元，年息票率6%，期限3年，到期按照面值偿还。投资者所要求的收益率为5%，试计算债券价格及投资者在年末的账面值。 【解】：用溢价公式容易求得债券价格为,第1节 债券定价原理,续【例6.2】，账面值与溢价分摊金额,第1节 债券定价原理,例6.3】债券面值1000元，息票率6%，期限为3年，到期按照面值偿还。投资者所要求的收益率为8%，计算债券价格及投资者在各年末的账面值。 【解】债券价格,第1节 债券定价原理,例6.4】 三种债券的面值均为100，年息票了均为6%，期限分别为1、2和3年，每种债券的偿还值都是100.在200

39、7年1月1日价格表如下 假设07、08和09年的实际利率为i,j和k,请计算j和k,第1节 债券定价原理,续【例6.4】 【解】第一种债券有 解得i=0.04 第二种债券有 解得j=0.05 同理解得k=0.03,第2节 债券在任意时点上的价格和账面值,2.1 债券的价格 不同时点债券价格间具有如下关系,第2节 债券在任意时点上的价格和账面值,不同时点债券价格间具有如下关系,第2节 债券在任意时点上的价格和账面值,2.2 债券的账面值 债券的账面值表示债券持有人的实际投资余额，等于价格扣除应计息票收入。在息票支付日，应计息票等于0，因此，账面值等于债券价格；在其他时点上，账面值等于债券价格减去

40、应计息票收入。t时的账面值为 其中， 表示从0到t时间的应计息票收入,第2节 债券在任意时点上的价格和账面值,2.2 债券的账面值 （1）按复利计算应计息票收入 （2）按单利计算应计息票收入,第2节 债券在任意时点上的价格和账面值,2.2 债券的账面值的计算 （1）理论方法 （2）半理论方法 （3）实践方法,第2节 债券在任意时点上的价格和账面值,例6-5】债券的面值为1000元，年息票率6%，期限3年，到期按照面值偿还。投资者所要求的收益率为8%，计算债券在购买6个月的价格和账面值。 【解】债券在购买日的价格为 因此，6个月后的价格等于 按照理论、半理论和实践方法计算的账面值分别为； 956

41、.25元、955.67元和956.40元,第2节 债券在任意时点上的价格和账面值,第2节 分期偿还债券价格,例6.7】 假设某债券面值1000元，年息票率5%，从第6年末开始，发行人每年偿还205元，直至第10年还清。试计算该债券的价格。 【解】分期偿还表如下,第2节 分期偿还债券价格,续例6.7 债券偿还值的现值： 未来息票收入现值： 债券价格为： 645.28+308.71=953.99,第3节 可赎回债券价格,例6.8】 一种8年期的可赎回债券的息票率12%，按面值1000元发行，如果到期偿还，则按照面值偿还为1000元。赎回保护期为5年。如果发行人在第5年末赎回，则赎回价格1050元，

42、第6年末赎回价为1030元，第7年赎回价为1010元。假设发行人在第5年末开始可以在任何一年末行使赎回权，投资者要求的收益率10%，计算投资者愿意支付的最高价格 【解】发行人行使赎回权的日期是使得债券在未来付款现值最小的日期,第3节 可赎回债券价格,续上例。利用溢价公式有 当n=5，6，7，8时，债券价格分别为1106.86，1104.40,1102.50,1106.7元。可见在第7年末时行使赎回权时最低，所以投资者可以给出的最高价格是1102.5元。投资者实际收益率是 的解，i=9.92,第3节 可赎回债券价格,例6.9】 可赎回债券的面值为1000元，年息票率8%，每季度末支付一次利息，期

43、限10年，到期按照面值偿还。债券发行人在第5年可以行使赎回权。如果债券不被赎回，则可以获得每季度复利一次的年名义收益率6%。假设投资者购买此债券需要确保6%的年收益率（每季度复利一次）。计算债券5年末的偿还值。 【解】该债券价格为 如果债券第5年末被赎回，且要求0.015的实际季度收益率，则有 解得c=1085.8485,第3节 可赎回债券价格,例6.10】 一份10年期可赎回债券的年息票率为6%，每半年支付一次息票收入。债券面值1000元，赎回保护期5年，赎回价格1020元。如果投资者要求半年复利一次，年收益率5%。计算债券价格。 【解】rf=0.031000=30，g=30/1020=2.

44、94%,i=2.5%，gi，因此n越小，债券价格越低。由于赎回保护期为5年，所以最小的n=10，由此可得债券价格,第3节 可赎回债券价格,练习题 投资者购买了一种面值为1000元的10年期债券，息票率8%，每半年末支付一次息票。如果债券在到期时按面值偿还，将产生7%的名义收益率（每半年复利一次）。如果债券在第5年末被赎回，为了保证产生相同的收益率，最小的赎回值为x.求x,第7章 利率风险管理,本章将讨论当收益率发生变化时，资产价格是如何发生变化的，并通过久期和凸度来衡量资产价格对利率的敏感程度，从而进行利率风险管理。 7.1 马考勒久期 7.2 修正久期 7.3 有效久期 7.4 凸度 7.5

45、 久期和凸度在债券价值分析中的应用 7.6 免疫策略,第1节 马考勒久期,概念 假设资产未来的一系列现金流为 ，则资产价格就是其未来现金流的现值，可以表述如下： 则马考勒久期定义为,例7.1】一笔贷款的本金为l，期限n年，年实际利率y，按年等额分期偿还，每年末偿还金额为r。求该笔贷款的马考勒久期。 【解】由定义得到 从本例可以看出，分期偿还贷款的马考勒久期与贷款本金和分期偿还金额无关，只受贷款期限和贷款利率的影响。这也是n年期等额年金的马考勒久期,第1节 马考勒久期,例7-2】一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年名义利率为24%，计算该贷款的马考勒久期。 【解】由马考勒久期定义得到

46、,第1节 马考勒久期,可以证明，马考勒久期是利息力的减函数。如果用 表示未来现金流到期时间t的方差，则有 即马考勒久期是利息力和收益率的减函数。即收益率越高，马考勒久期越短，债券利率风险越小,第1节 马考勒久期,例7-3】假设债券面值为f，期限n，到期按面值偿还，年息票率r，债券收益率为y，求该债券的马考勒久期。 【解】 可见，如果对平价债券，r=y，则马考勒久期简化为,第1节 马考勒久期,第2节 修正久期,修正久期的定义 若用d表示修正久期，则 表示名义收益率变化时资产价格的变化速率。 可见,第2节 修正久期,修正久期与马考勒久期的关系 当 ，名义收益率y等于利息力 。而 但修正久期不再是时

47、间概念，而是一个强度概念，反映了收益率变化对资产价格的影响程度,第2节 修正久期,例7-4】年实际利率y，计算每年末支付r的永续年金的马考勒久期和修正久期。 【解】马考勒久期为 修正久期为,第2节 修正久期,练习题 1.某15年零息债券到期支付1000元，该债券没月复利一次的年名义收益率为12%。试计算其修正久期。 2.年实际收益率10%，计算5年期零息债券的修正久期。 3.年息票率5%的10年期债券的年收益率为6%，计算该债券的修正久期。 4.已知年息票率6%的4年期债券的年实际收益率为3%，计算该债券的修正久期。 5.某20年零息债券到期支付1000元，其年名义收益为12%，每年复利2次，计算其修正久期,第2节 修正久期,修正久期与资产价格之间的关系 因为 从而有 即修正久期与资产价格变化之间是一种近似线性关系,第2节 修正久期,例7-5】已知某债券的价格为115.92元，收益率为7%，修正