11平面直角坐标系

1、一、平面直角坐标系,第一讲 坐标系,1.平面直角坐标系,教学目标】 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,平面直角坐标系中的坐标变换。 过程与方法：体会坐标系的作用,体会坐标变换的作用。 情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 【重点与难点】 重点：理解平面直角坐标系中的伸缩变换。 难点：建立适当的直角坐标系, 用伸缩变换解决实际问题,1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明,坐标法解决问题的步骤,声响定位问题,某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一

2、声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上,B,A,C,思考,怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题,以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则 A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020,设P（x, y）为巨响的声点,因A点比B点晚4s听到爆炸声,故|PA| |PB|=3404=1360,由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， 故P在BC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=

3、x,由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 上,a=680, c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402,所以双曲线的方程为,用y=x代入上式，得,思考,答:巨响发生在信息中心的西偏北450, 距中心,我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置。这种方法与用坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便,例1.已知ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系,A(0, 0) , B(c, 0) , F( , 0,解：以ABC的顶点为原点,边AB所在的直线x轴，

4、建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为,所以2x2+2y2+2c2-5cx=0,由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即x2+y2+c2=5(x-c)2+y2,因此，BE与CF互相垂直,1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点,2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴,3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上,你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么,探究,练习1. 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分

5、别为切点),使得PM= PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程,解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系,则两圆的圆心坐标分别为O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y,则PM2=PO12-MO12,同理，PN2,练习2. 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知BC=4，点A到直线 l 的距离为3，求ABC的外心的轨迹方程,练习3. 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点,练习3. 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点,2. 平面直角坐标系中的 伸缩变换,思考,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x,

6、在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y),保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x,上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P(x, y)，坐标对应关系为,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx,在正弦曲线上任取一点P(x, y),保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx,上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换,即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,设P(x, y)是平面直

7、角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P(x, y),坐标对应关系为,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x,在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x,即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P(x, y)，坐标对应关系为,把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换,设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换,定义,的作用下，点P

8、(x, y) 对应P(x, y,称 为平面直角坐标系中的伸缩变换,上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩,在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换,把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到,例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换,后的图形,1) 2x+3y=0,2) x2+y2=1,代入 2x+3y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆,结论,可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线,练习,3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（,6 设M1是A1(x1, y1)与B1(x2, y2)的中点，经过伸缩变换后, 它们分别为M2, A2, B2，求证：M2是A2B2的中点,7 在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸