高等代数期末卷及答案

1、 试期末考院第一学期沈阳农业大学理学 ）高等代数试卷（1 题号 一 二 三 四五 六 七 总分 得分 分）分，每题5一、 填空（共35 得分 249?4xf(x)?x?x?3)(?f . , 1设则 69_ 3?ttx(x)?x?3f , 有重因式。时 2当 . _2,-2 ： 332)(x)f(xg)?xxg(xf(1xx? 3. 令, 则整除,是两个多项式, 且被 名 姓 线 ?(1)f(1)?g . _0 0_ , 2031 26?10订 ? 4. 行列式23 。 1110 1?3?20 041? 装? 1?9?2 31?1103?1? ? 矩阵的积。5. ? ?11991120202

2、? ? ? 413? ： 1号? 00 学1? 005 ?5 ? ? ?10301?1 6. ? ? 12030?2? ? ? 02x?xx?2x? ? 4123 ? 0?2xx2?x?2x? 7. 的一般解为? 4123 ? 0?x4x?3xx? 4231 5 ? xx?2x ? 431 ?3 x,x , 任意取值。? 43 4 ?： xx?2?x 432?级3? 班 )gf(x)(x1(),(fxgx?)当且仅当分）令10二、（,是两个多项式。求证 得分(f(x)?g(x),f(x)g(x)?1。 (f(x)?g(x),f(x)g(x)?1。（设1%） 证：必要性. p(x)f(x)?g(

3、x),f(x)g(x)p(x)|f(x)g(x)知 为）则由的不可约公因式，（1%令p(x)|f(x)p(x)|g(x)。(1%) 或p(x)|f(x)p(x)|g(x)p(x)|1)(x)?gx)|(f(xp(矛盾。(2%) ，再由。故不妨设得(f(x)?g(x),f(x)g(x)?1u(x),v(x)使知存在多项式 充分性. 由 u(x)(f(x)?g(x)?v(x)f(x)g(x)?1,(2%) u(x)f(x)?g(x)(u(x)?v(x)f(x)?1,(2%) 从而(f(x),g(x)?1。故(1%) a,b取何值时，线性方程组 三、(16分) 得分 有唯一解、没有解、有无穷解？在有

4、解情况下求其解。 解：11ab2ab2?0311?10b?1a2b?2?00bbab?32b?1?12b?(5%) b?a201?010b?1?2b?1200b?2?b?22b5?201)?a(b?；?, x?，x x(4%) 时，有唯一解：当 3211b?1)a(b?b+11b?x,?axx?0,x?1 时，有无穷解：当任意取值； 11235b?a?0,k,x,?,x?x?k14(3%) 时，有无穷解：当任意取值； 312335且 ?b且a?0 b?11?b?(4%) 当或时，无解。 aa,a,., 设都是非零实数，证明)四、(10分 得分n121:证)aa?(1?D1 n 对用数学归纳法。

5、当, , n=1时结论成立(2%); 111a1 时n时成立。则n-1假设111?a.10 1.111?a111110.11?a1.11?a1122 01.?a?111D11.111?a=n33.1111.a111.11n D?aa.aa(4%) = 1nn1?21?n?1?n1?.a1D?aa有 现由归纳假设? 11n2?n?1a?1i?i?n?11?1aaa?aa.aa.DD?aaa.a= =? n1nn?112?nn11n2n?112?a?1?ii?n1? ?1a.aaa,(3%)=? n112n?a?1i?i故由归纳原理结论成立。(1%) 41x?(x)?f 证明在有理数域上不可约。五

6、、(10分) 得分1?x?y(1%) 证: 令得2432y?4y4?6g(y)?f(x)?yy(3%) 。 p=2满足取素数4,|4,2|6,22|2,2|2. (2%) 不整除1, 4且2不整除2342?6y4y?g(y)?y?4y? 再据艾茵斯坦茵判别法知在有理数域上不可约，（2%）41?)?xf(x 从而）在有理数域上不可约（2% nm?0?rFAr 得分 六、（9为数域矩阵，上秩为分）令。求证：存在秩的n?rm?rGFG?AFrr 。的的矩阵, 矩阵和秩为使得为: 证n?nm?mnm?0r?FAr 和Q, 则存在矩阵，使为数域上秩为可逆阵的可逆阵P0I?rQA?P ）.（3%?00? 进而令I? rQI0PF?,G?）4%（?r0?FGA? ）2%就得（. 得分AB?BAnn?n?22nB?AB?A?P可逆矩阵矩阵, 且, 且求, 是可逆。求证,七、（10分）设?BA?1P。 证: ABA?BBA?BB?|A?B|A?B|?0|P|， BB?0AABA?A故P可逆 （5%） XY?1?P有 令?ST?I0YBXA?n?.（1%） ?I