高二数学基本不等式的证明

1、高二数学(必修五)多媒体课件,3.4.1 基本不等式的证明,一、问题情境,问题1,把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果天平制造得不准确,天平的两臂长略有不同(其它因素不计),那么并非实际质量.不过,我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一盘上,此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢,1.猜测,2.讨论,物体的实际质量应为,3.提示,应用力学原理求解,4.求解,问题一：把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果天平制造得不准确,天平的两臂长略有不同(其它因素不计),那么并非实际质量

2、.不过,我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一盘上,此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢,5.结论,物体的实际质量应为,二、猜测讨论,三、建构数学,一)定义新概念,1.算术平均数,2.几何平均数,二)提出新问题,问题2,两个非负数的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢,对于正数a,b,我们把叫做a,b的算术平均数,对于正数a,b,我们把叫做a,b的算术平均数,问题2,两个非负数的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢,1.试验,2.猜测,3.证明,三、建构数学,证法一,三、建构数学,证明：如果a,b是正数，那么,证明不等式的方法一：比较法,2.比较法（作

3、差法）的解题步骤： 作差变形判断结论,归纳(一,1. 依据,证法二,三、建构数学,证明：如果a,b是正数，那么,证明不等式的方法二：分折法,归纳(二,筒单地说就是“执果索因,证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法,说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法,分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B真,只需要证明命题B1为真，从而有 只需要证明命题B2为真，从而又有 只

4、需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真,归纳(二,证法三,三、建构数学,证明：如果a,b是正数，那么,证明不等式的方法三：综合法,归纳(三,利用某些已经证明过的不等式（如基本不等式）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通 常叫做综合法,筒单地说就是“由因导果,证明不等式的方法,一）比较法,作差变形判号结论,二）综合法,结合已知条件，再利用熟知的事实或已经证明过的不等式作为基础推导出所要求证的不等式,三）分析法,从求证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件，直至这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立,三、建构数学,三)定理：如果a,b是正数，那么,两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数,三、建构数学,定理的变形公式,半径不小于半弦,四)定理的几何解释,三、建构数学,三个非负数的算术平均数 不小于它们的几何平均数,三、建构数学,五)定理的拓广,1.如果a,b,c是非负数，那么,2.如果,都是非负数,那么,四、数学运用,一)证明不等式,例1.证明,变式1】已知a,b.c是不全相等的实数,证明,变式2】已知a,b.c,d都是正数,证明,四、数学运用,一)证明不等式,例2.证明：若0 x2,则,变式1】若0 x2,证明,变式2】若x0,y0且2x+y=1,证明,四、数学运用,一)证明不等式,例3.已知a,b,c都是正数,且a