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文档简介
1、椭圆,椭圆的定义,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距,记:平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(即|MF1|+|MF2|=2a),两焦点的距离为2c,1)当2a=2c时, 点M的轨迹为线段F1F2,2)当2a2c时,点M的轨迹不存在,3)当2a2c时,点M的轨迹是为椭圆,图 形,方 程,焦 点,F(c,0)在轴上,F(0,c)在轴上,a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0,定 义,注,哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上,椭圆
2、的标准方程,例1.已知ABC的一边BC固定,长为6,周长为16, 求顶点A的轨迹方程,解:以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆,且焦点在x轴上,所以可设椭圆的标准方程为,2a=10, 2c=6 a=5, c=3 b2=a2c2=5232=16,顶点A的轨迹方程为,思考:焦点建在 Y轴上的椭圆的标准方程呢,应用1,例题,AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8, |AB|+|AC|=12|BC|, 点A的轨迹是以BC为焦点的椭圆(除去与x轴的交点). 且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方
3、程是 (y0,练习:已知ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程,解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则BC两点的坐标分别为(-4,0)(4,0,定义法,变式1:在三角形ABC 中 ,B(-3,0),C(3,0),且三边长 |AC|, |BC| , |AB|成等差数列,求顶点 A的轨迹方程,变式2:在三角形ABC中,B(0,-3),C(0,3)且 sinB+sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程,变式3:在三角形ABC中,BC=24,AC,AB边上的中线 长之和等于39,求三角形ABC的中心的轨迹方程,例2. 已知经过椭圆 的右焦点F2作垂直
4、于 x轴的直线AB交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点。 (1)求三角形AF1B的周长 (2)如果AB不垂直于x轴,三角形AF1B的周长 有变化吗?为什么,B,解(1)三角形AF1B的周长为 |AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| 又A,B两点在椭圆上 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a(椭圆定义,例题,应用2,椭圆方程为 a2=25 a=5 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=10 三角形的周长为20,2)三角形AF1B的周长不会发生变化。 三角形AF1B的周长= |AF1|+|BF1|+|AB|= |AF
5、1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| A,B两点在椭圆上, |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=20始终成立 所以三角形的周长不会发生变化,变式:已知椭圆的焦点F1,F2在x轴上,且a=2c,过 F1的直线l脚椭圆于AB两点,且三角形ABF2 的周长为16,那么椭圆的标准方程是,例3.已知椭圆 的左右焦点为F1,F2。 点P是椭圆上任意一点,求|PF1|.|PF2|的最大值,解:由椭圆方程可知,a=5, |PF1|.|PF2| (|PF1|+|PF2|)24=25 当且仅当|PF1|=|PF2| =5时等号成立。 所以|PF1|.|PF2| 的最大值为25,应用3,例题
6、,P,变式,应用4,例:已知点A(-2,0),B 是圆F(x-2)2+y2=64 上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动 点P的 轨迹方程,例题,变式:习题2.1A组第7题,变式:已知点A(-1/2,0),B 是圆F(x-1/2)2+y2=4 上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动 点P的 轨迹方程是什么,相关点法求椭圆方程,例、在圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么,例题,应用5,变式:已知点M在椭圆x2+4y2=36上,MP0垂直于椭圆焦点所在直线,垂足为P0,且M为线段PP0的中点,求点P的轨迹方程,变式:习题2.1B组第1题,x2+y2=36,A,B,M,x,y,o,交轨法求椭圆方程,变式:36页练习第四题,例题,应用6,解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,因此, 所求椭圆的标准方程为,应用7,给定条件求椭圆方程,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,联立,因此, 所求椭圆的
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