曲线的参数方程

1、14.03.2021,郑平正 制作,一.曲线的参数方程,高二数学 选修4-4,高二数学 选修4-4 第二讲 参数方程,1.参数方程的概念,1、参数方程的概念,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢,提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资,1、参数方程的概念,设飞机在点A将物资投出机舱,记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资 的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100

2、m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢,在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立 平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线， y轴经过点A,由于水平位移量x与高度y 是两种不 同的运动得到的，因此直接建立x,y 所要满足的关系式并不容易,1、参数方程的概念,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成,1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机

3、呢,2）沿oy反方向作自由落体运动,1、参数方程的概念,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢,一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数,二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹,三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系,并且对于t的每一

4、个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程,关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,1、参数方程的概念,一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数,1.参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义,2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样,3.在实际问题中要确定参数的取值范围,一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标10

5、00m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m,变式,例1: 已知曲线C的参数方程是 （1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值,解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,因此M1在曲线C上,把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解,因此M2不在曲线C上,2）因为M3 （6，a)在曲线C上,解得：t=2,a=9,a=9,2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是 （,1、曲线 与x轴的交点坐标是( ) A、（1，4）；B、 C、 D,B,D,训练1,已知曲

6、线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. （1）求常数a; （2）求曲线C的普通方程,解,1)由题意可知,1+2t=5,at2=4,解得,a=1,t=2,a=1,2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为,x=1+2t,y=t2,由第一个方程得,代入第二个方程得,训练2,思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参数方程,解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得,所以，点M的轨迹参数方程为,参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y) （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和

7、图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程,小结,并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数,2.圆的参数方程,y,x,o,r,M(x,y,y,x,o,r,M(x,y,5,o,思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程,我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程,a,b,r,圆的参数方程的一般形式,圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程,由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的

8、变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围,注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系,2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系,例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程,例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速

9、圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程,思考,这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线,如果定点Q在圆O上，轨迹是什么曲线,如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么,3.参数方程和普通方程的互化,3.参数方程和普通方程的互化,1）普通方程化为参数方程需要引入参数,如：直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程,在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程,2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,如：参数方程,消去参数,可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2,可得普通方程：y=2x-4,通过代入消元法消去参数t,x0,注意： 在参数方程与普通方程的互

10、化中，必须使x，y的取值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的,1,1,类型一：参数方程化为普通方程,代入消元法,类型一：参数方程化为普通方程,三角变换消元法,步骤： 1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元) 2、写出定义域（x的范围,参数方程化为普通方程的步骤,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致,注意,练习：参数方程,表示,A）双曲线的一支，这支过点（1,B）抛物线的一部分，这部分过,1,C）双曲线的一支，这支过点（1,D）抛物线的一部分，这部分过（1,B,分析,一般思路是：化参数方程为普通方程,求出范围、判断,解,x2,1+sin=2y,普通方程是x2=2

11、y，为抛物线,又02,故应选（B,说明,这里切不可轻易去绝对值讨论， 平方法是最好的方法,类型二：普通方程化为参数方程,1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？ 2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分,请同学们自学课本例4，思考并讨论,注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程,1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？ 2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分,两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取,无限个,思考并讨论,1.已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程,解： x2

12、+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1,参数方程为,为参数,练习,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程,2、曲线y=x2的一种参数方程是（,注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的,在y=x2中，xR, y0,分析,发生了变化，因而与 y=x2不等价,在A、B、C中，x,y的范围都,而在中,且以,将下列参数方程化为普通方程,1）（x-2）2+y2=9,2）y=1- 2x2（- 1x1,3）x2- y=2（X2或x- 2,步骤：（1）消参； （2）

13、求定义域,练习,练习,将下列参数方程化为普通方程,D,练习,2，1,A.36 B.6 C.26 D.25,A,练习,练习,2,0),(0,2,D,6,练习,a-2,例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值,解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为,由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin,例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值,练习： 1.填空：已知圆O的参数方程是,如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是,A,的圆，化为标准方程为,2，-2,