二次函数全部课件

1、第二十六章 二次函数,26.1.1 二次函数的意义,创设情境，导入新课,2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度,1）你们喜欢打篮球吗,问题,二次函数,讨论与思考,1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系是可以表示为什么,2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系,3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示,y=6x2,即,y=20

2、(1+x)2,即,y=20 x2+40 x+20,x,y,y,d,x,x,n,观察与发现,认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数,这些函数有什么共同点,这些函数自变量的最高次项都是二次的,二次函数的定义,注意,1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数 bx是一次项，b是一次项系数 c是常数项,归纳与总结,2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项,一次函数,正比例函数,反比例函数,二次函数,这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系,1.下列函数中,哪些是二次函数,1) y=3(x-1)+1,3) s=3-2t,5)y=(

3、x+3)-x,6)v=10r,是,否,是,否,否,是,7) y=x+x+25,8)y=2+2x,否,否,2,1.下列函数中,哪些是二次函数,抓住机遇 展示自我,是,不是,是,不是,先化简后判断,下列函数中，哪些是二次函数,否,是,否,否,是,知识运用,下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x,例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值. (1) y1- (2)yx(x5) (3)y x2 x1 (4) y3x(2x) 3x2 (5)y (

4、6) y (7)y x42x21 (8)yax2bxc,例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值,解: 由题意可得,注意:二次函数的二次项系数不能为零,练习、m取何值时，函数是y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数,知识运用,练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子,练一练,1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值,2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍,展示才智,3、若函数 为二次函数，求m的值,解：因为该函数为二次函数， 则,解（1）得：m=2或-1,解（2）得,所以m=2,2)它是一次函数,3)它是正比例函数,1)它是二次函数,超级链接,如

5、果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是_,敢于创新,0,如果函数y= +kx+1是二次函数, 则k的值一定是_,0,3,知识的升华,已知函数 (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数,例2、当m为何值时，函数 y(m2)xm224x5是x的二次函数,m-20且m2-2=2 m2 m=2 m=-2,练习：y(m3)xm2m4(m2)x3，当m为何值时，y是x的二次函数,m=2,小试牛刀,圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm. （1）写出y与x之间的函数关系表达式； （2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积

6、增加多少,在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多,60375,60420,60455,60480,60495,60500,60495,60480,60455,60420,60375,问题再探究,y=-5x+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗,你发现了吗,回味无穷,定义中应该注意的几个问题,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数. y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式: (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx(a0

7、,b0,c=0). 2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数,例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积s（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积s（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系,2）由题意得 其中y是x的二次函数,3）由题意得 其中s是x的 二次函数,解: （1）由题意得 其中s是a的二次函数,例3:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数

8、值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试,待定系数法,4. 已知二次函数y=x+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式,牛刀小试,5.已知二次函数,当x=1时,函数y有最小值为4,x取任意实数,1）你能说出此函数的最小值吗,2）你能说出这里自变量能取哪些值呢,开动脑筋,注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围,其中自变量x能取哪些值呢,问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢,试一试: 要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写

9、出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少,ox10,小试牛刀,圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm. （1）写出y与x之间的函数关系表达式； （2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少,在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多,60375,60420,60455,60480,60495,60500,60495,60480,60455,60420,60375,问题再探究,y=-5x+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗,你发现了吗,回味无穷,定义中应该注意的几个问题,1.定义：一般地,形如y=ax+b

10、x+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数. y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式: (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). 2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数,知识回顾,1、二次函数的一般形式是怎样的,y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0,26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质,第26章,二次函数,二次函数的定义,注意,1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数 bx是一次项，

11、b是一次项系数 c是常数项,2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项,回顾,反比例函数的图象,一次函数的图象,二次函数的图象是什么样子的,一条直线,双曲线,画二次函数 的图象,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表,y,3,2,1,0,1,2,3,x,2）在平面直角坐标系中描点,x,y,o,4,3,2,1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,2,1,y = x2,3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象,观察 这个函数的图象，它有什么特点,画二次函数 的图象,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表,y,3,2,1,0,

12、1,2,3,x,2）在平面直角坐标系中描点,x,y,o,4,3,2,1,1,2,3,4,2,4,6,8,y = - x2,3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象,10,观察 这个函数的图象，它有什么特点,观察姚明的投篮,二次函数的图象是不是跟投篮路线很像,抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 的图象叫做抛物线,抛物线,抛物线,这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴,对称轴、顶点、最低点、最高点,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点,抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无

13、限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0,当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1,当x=1时，y=1 当x=2时，y=4,y,抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y = x2,y = - x2,0，0,0，0,y轴,y轴,在x轴上方(除顶点外,在x轴下方( 除顶点外,向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着

14、x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,y = x2、y= - x2,a0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同,顶点都是原点(0,0,只是开口 大小不同,在同一坐标系中作二次函数y= x2和y=2x2的图象，会是什么样,1.列表,2.描点,3.连线,顶点坐标,y=x2,y=2x2,a0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同,只是开口 大小不同,顶点都是原点(0,0,1.列表,2.描点,3.连线,y=-x2,y=-2x2,y=x2,y=2x2,a 0，开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同,只是开口 大小不同,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,

15、最值,y=ax2 (a0,y= ax2 (a0,0，0,0，0,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外,在x轴的下方( 除顶点外,向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,y = ax2,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_,y,原点,最低点,上,小,

16、下,高,大,形如 （a、b、c是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项,1. 二次函数,2、抛物线,二次函数的图象都是抛物线,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,3、抛物线 y=ax2 的图象,4、抛物线 y=ax2 的图象 中a决定开口方向和形状。 a相同开口方向相同、形状相同，|a|越大，开口越小,再见,只有不断的思考,才会

17、有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步,结束寄语,二次函数的图象和性质,勤奋学习 踏实求知,九年级数学(下)第二十六章 二次函数,二次函数y=ax2与y=ax2+c图象和性质,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大,二次函数y=ax2的性质,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的

18、下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展,4. 越大,开口越小, 越小,开口越大,二次函数y=ax2的性质,顶点坐标与对称轴,位置与开口方向,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0,y= ax2 (a0,0，0,0，0,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外,在x轴的下方( 除顶点外,向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,根据图形填表,我思，我进步,在同一坐标系

19、中作出二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象,驶向胜利的彼岸,二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1,二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线,二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么,位置不同; 最小值不同: 分别是1和0,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=

20、-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样,二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1,二次函数y= -2x2+1的 图象形状与y= -2x2 一样,仍是抛物线,二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么,位置不同; 最大值不同: 分别是1和0,想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=3x-1的图象与二次函数y=3x的图象,驶向胜利的彼岸,二次函数y=3x一l的图象与二

21、次函数y=3x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么,二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1,二次函数y=3x2-1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线,二次函数y=3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么,位置不同; 最大值不同: 分别是 -1和0,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样,二次项系数为负数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是

22、y轴;增减性与也相同,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1,二次函数y= -3x21的 图象形状与y= -3x2 一样,仍是抛物线,二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么,位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1,请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质,二次函数y=ax2+c的图象和性质,顶点坐标与对称轴,位置与开口方向,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0,y=ax2 +c(a0,0，c,0，c,y轴,y轴,当c0时抛物线,与y轴交于

23、正半轴 当c0时,抛物线与y轴交于负半轴,当c0时,.抛物线,与y轴交于正半轴,向上,向下,当x=0时,最小值为c,当x=0时,最大值为c,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,根据图形填表,二次函数y=ax+c与=ax的关系,1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)a0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下

24、,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小,2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0. 3.联系: y=ax+c(a0) 的图象可以看成y=ax的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c0时向上平移;当c0时,向下平移,驶向胜利的彼岸,回味无穷,y=3x2-1是由y=3x2 向下平移 一个单位得到的,二次函数y=3x2-1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线,二次函数y=3x2-1的图象与二次函数y=3x2的图象有什么联系，它们之间有怎样的转化关系,结论： y=3x2-1是由y=3x2向下平移一个单位得到的,

25、y= -3x21是由y= -3x2 向下平移一个单位得到的,二次函数y= -3x21的 图象形状与y= -3x2 一样,仍是抛物线,二次函数y=-3x2-1的图象与二次函数y=-3x2的图象呢,结论：y= -3x21是由y= -3x2向下平移一个单位得到的,y=ax2,y=ax2+k,k0,k0,上移,下移,小结,二次函数y=ax2+c的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,c0,c0,c0,c0,0,c,课堂小结,1、抛物线 向上平移3个单位,得到抛物线,2、抛物线

26、 向 平移 个 单位，得到抛物线,练习,九年级数学(下)第二十六章 二次函数,二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象和性质,探究,在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 和 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴 和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系,先列表,0,2,2,0,2,2,0,2,2,0,2,2,0,2,2,y,x,o,1,可以看出，抛物线 的开口方向_、对称轴是经 过点(1，0)且与x轴垂直的直 线，我们把它记作 ，顶点 是_,向下,1，0,1，0,向下,1，0,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,8,6,4,2,2,4,6,8,y,x,0,2）抛物线 与抛物线 有什么位置

27、关系,把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线,3）它们的 位置由什么 决定的,用平移观点看函数,抛物线 可以看作是由 抛物线 平移得到,1)当h0时，向右平移 个单位,2)当h0时，向左平移 个单位,归纳,4、二次函数 是由二次函 数 向 平移 个单位得到的,5、二次函数 是由二次函 数 向左平移3个单位得到的,巩固,观察三条抛物线,4)顶点各是什么,1)开口方向是什么,2)开口大小有没有 变化,3)对称轴是什么,5)增减性怎么样,探 究,1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h,3.当a0时,在对称轴(x=h)

28、的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0). 当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0,二次函数y=a(x-h)2的性质,2.当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展; 当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展,x=h,x=h,4. 越大,开口越小, 越小,开口越大,二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2的图象形状 相同,可以看作是抛

29、 物线y=ax2整体沿x轴 平移了 个单位(当h0时,向右移 个单位;当h0时,向左移 个单位)得到的,二次函数y=a（x-）2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,直线,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,h0,h0,h0,h0,0,说出下列二次 函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性 (1) y=2(x+3)2 (2) y=-3(x -1)2 (3) y=5(x+2)2 (4) y= -(x-6)2 (5) y=7(x-8)2,向上, x= - 3, ( - 3, 0,向下, x= 1, ( 1, 0,向上,

30、 x= - 2, ( - 2, 0,向下, x= 6, ( 6, 0,向上, x= 8, ( 8, 0,1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为,2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴 对称后，所形成的二次函数的解析式为,3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ，h=,4、把抛物线y=(x+1)2向 平移 个 单位后，得到抛物线y=(x-3)2,5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛物线y=(x-1)2,则m= ,n=,二次函数y=a(x-h)2的性质,顶点坐

31、标与对称轴,位置与开口方向,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2 (a0,y=a(x-h)2 (a0,h，0,h，0,直线x=h,直线x=h,在x轴的上方(除顶点外,在x轴的下方( 除顶点外,向上,向下,当x=h时,最小值为0,当x=h时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,根据图形填表,小结,知识回顾,向上,直线x=h,h，0,y随x的增大而减小,最小值是0,y随x的增大而增大,向下,直线x=h,h，0,最

32、大值是0,y随x的增大而增大,y随x的增大而减小,九年级数学(下)第二十六章 二次函数,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,复习二次函数y=ax2的性质,开口向上,开口向下,a|越大，开口越小,关于y轴对称,顶点坐标是原点（0，0,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,o,o,复习二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴 （x=o）对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大,k0,k0,k0,k0,0,k,在对称轴左侧，y随

33、x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小,复习二次函数y=a（x-）2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,直线,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,h0,h0,h0,h0,0,0,3,0,-3,如何由,的图象得到,的图象,上下 平移,x= - 2,2,0,2,0,x= 2,如何由,的图象得到,的图象,左右 平移,y=ax2,y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=ax2,k0,k0,上移,下移,左加,右减,说出平移方式，并指出其顶点与对称轴,上正下负,左加右减,探究,例3.画出函数 的图像.指出它的开口方

34、向、顶点与对称轴,解: 先列表,再描点 后连线,5.5,3,1.5,1,1.5,3,5.5,直线x=1,解: 先列表,再描点、连线,5.5,3,1.5,1,1.5,3,5.5,讨论,抛物线 的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点是(1, 1,抛物线 的开口方向、对称轴、顶点,向左平移1个单位,向下平移1个单位,向左平移1个单位,向下平移1个单位,平移方法1,平移方法2,二次函数图像平移,x=1,2)抛物线 有什么关系,y=2x2,y=2(x1)2,y=2(x1)2+1,在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象,联系：将函数 y=2x的图象向右平移1个 单

35、位, 就得 到 函数y=2(x-1)的图象; 再向上平移1个单位, 就得到函数y=2(x-1)+1的图象,相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形. (3)顶点都是最低点. (4)在对称轴左侧,y值都随 x 值的增大而减小, 在对称轴右侧,y值都随 x值 的增大而增大,不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同,的图像可以由,向上平移一个单位,向右平移一个单位,向右平移一个单位,向上平移 一个单位,先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到,归纳,一般地,抛物线y=a(xh)2k与y=

36、ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(xh)2k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定,向左(右)平移|h|个单位,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2,y=a(xh)2,y=a(xh)2+k,y=ax2,y=a(xh)2+k,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2+k,向左(右)平移|h|个单位,抛物线y=a(xh)2+k有如下特点,1)当a0时, 开口向上,当a0时，开口向下,2)对称轴是直线x=h,3)顶点是(h,k,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+

37、k(a0,y=a(x-h)2+k(a0,h，k,h，k,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为k,当x=h时,最大值为k,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,练习,向上,1 , 2,向下,向下,3 , 7,2 , 6,向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,3, 5,y=3(x1)22,y = 4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格,2.请回答抛物线y = 4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到,3.抛物线y =4(x3

38、)27能够由抛物线y=4x2平移得到吗,如何平移,1抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像,考考你学的怎么样,y=(x+1)2+3,y=x2+3,2抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像,y=(x+4)2,y=(x+2)2+1,3抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移个单位， 再沿y轴向下

39、平移2个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 22的图像,y=3(x+3)2-2,y=-3(x+6)2,二次函数,y=a(x+h)2+k的图像和性质,1.填表,复习回顾,0, 0,1, 0,1, 0,0, 0,0, 1,0, - 1,向下,向下,向下,向上,向上,向上,x=0,x=0,x=0,x=0,x=1,x= - 1,0,3,0,-3,如何由,的图象得到,的图象,2.上下 平移,x= - 2,2,0,2,0,x= 2,如何由,的图象得到,的图象,3.左右 平移,y=ax2,当h0时,向左平移h个单

40、位,当h0时,向右平移 个单位,y=a(x+h)2,y=ax2,当c0时,向上平移c个单位,当c0时,向下平移 个单位,4.上下平移规律,左右平移规律,5.二次函数y=ax2 的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=ax2(a0,y=ax2(a0,0，0,0，0,直线x=0,直线x=0,向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,6.二次函数y=a(x+h)2 的图象和性质,抛物线,顶点坐标,

41、对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x+h)2 (a0,y=a(x+h)2 (a0,h，0,h，0,直线x=-h,直线x=-h,向上,向下,当x=-h时,最小值为0,当x=-h时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,y=2x2,y=2(x1)2,y=2(x1)2+1,在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象,的图像可以由,向上平移一个单位,向右平移一个单位,向右平移一个单位,向上平移 一个单位,先向上平移一个单位,

42、再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到,平移的规律总结,y=ax2,y=a(x+h)2,y=a(x+h)2+k,当h0时,向左平移h个单位,当h0时,向右平移 个单位,当k0时,向上平移k个单位,当k0时,向下平移 个单位,观察 的图像,x=-2,2,2,2,-3,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口 方向,增减性,最值,2，2,2，-3,直线x=-2,直线x=2,向上,向下,当x=-2时, 最小值为2,当x=2时, 最大值为-3,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随

43、着x的增大而减小,二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x+h)2+k(a0,y=a(x+h)2+k(a0,h，k,h，k,直线x=-h,直线x=-h,向上,向下,当x=-h时,最小值为k,当x=-h时,最大值为k,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标,开口 对称轴 顶点坐标,向上,直线x=3,3,5,向下,直线x= 1,1,0,向下,直线x=0,0,1,向上,直线

44、x=2,2, 5,向上,直线x= 4,4,2,向下,直线x=3,3,0,1抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像,考考你学的怎么样,y=(x+1)2+3,y=x2+3,2抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像,y=(x+4)2,y=(x+2)2+1,3抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移

45、个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 22的图像,y=3(x+3)2-2,y=-3(x+6)2,1,0,1,3,x=-1,7把二次函数y=4(x1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移_个单位，得到图像的对称轴是直线x=3. 8把抛物线y=3(x+2) 2，先沿x轴向右 平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位， 得到_的图像 9把二次函数y=2x 2的图像，先沿x轴 向左平移个单位，再沿y轴向下平移2 个单位，得到图像的顶点坐标是_,右,2,y=-3x2-1,3,-2,10.

46、如图所示的抛物线： 当x=_时，y=0； 当x0时， y_0； 当x在 _ 范围内时，y0； 当x=_时，y有最大值_,3,0或-2,2 x0,1,3,11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象： (1) y=(x-3)2+2 ； (2)y=(x+4)25,12.与抛物线y=4x 2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为,先向左平移3个单位，再向下平移2个单位,先向右平移4个单位，再向上平移5个单位,y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3,13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 （1）求解析式,1,-1,0,0,2,0,当x 时，y0,当

47、x 时，y=0,2）根据图象回答： 当x 时，y0,解：二次函数图象的顶点是(1,-1)， 设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， 其图象过点(0,0)， 0= a(0-1)2-1， a=1 y= (x-1)2-1,x2,0 x2,x=0或2,26.1.4 二次函数图象和性质,1 的顶点坐标是_，对称轴是_,2怎样把 的图象移动，便可得到 的图象,h，k,复习提问,直线xh,3 的顶点坐标是 ，对称轴是,2，5,直线 x2,4在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化,有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状,我们复习了将抛物线

48、 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为 ，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢,新课,的图象怎样平移就得到,那么一般地，函数,的图象呢,解,顶点坐标为（3，2），对称轴为x3,答案： ，顶点坐标是(1，5)， 对称轴是直线 x1,的形式，求出顶点坐标和对称轴,练习1 用配方法把,化为,的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似具体演算如下,化为,的形式,2用公式法把抛物线,把,变形为,所以抛物线,的顶点坐标是,对称轴是直线,的形式，求出对称轴和顶点坐标,例2 用公式法把,化为,解：在,中,顶点为（1，2），对称轴为直线 x1,的形式，并求出顶点坐

49、标和对称轴,答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x2,练习2 用公式法把,化成,3,图象的画法,步骤：1利用配方法或公式法把,化为,的形式,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图,的图像，利用函数图像回答,例3 画出,1)x取什么值时，y0？ (2)x取什么值时，y0？ (3)x取什么值时，y0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值,分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像,1)用顶点坐标公

50、式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x2,2) 当x1时，y0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) 又当x0时，y6，即图象与y轴交于点(0，6)，根据轴对称，很容易知道(0，6)的轴对称点是点(4，6)用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)连结起来，就是,的图象,解：列表,2,2,1,0,0,6,3,0,4,6,2,2,x=2,0,6,1,0,3,0,4,6,由图像知,当x1或x3时， y0,2)当1x3时， y0,3)当x1或x3时， y0,4)当x2时， y有最大值2,x,y,练习3 画出,的图像

51、,x=1,y=x22x2,3）开口方向：当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下,1）顶点坐标,2）对称轴是直线,如果a0，当,时，函数有最小值,如果a0，当,时，函数有最大值,4）最值,若a0，当,时，y随x的增大而增大,当,时，y随x的增大而减小,若a0，当,时，y随x的增大而减小,当,时，y随x的增大而增大,5）增减性,与y轴的交点坐标为（0，c,6)抛物线,与坐标轴的交点,抛物线,抛物线,与x轴的交点坐标为,其中,为方程,的两实数根,与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程,7)抛物线,的根的判别式判定,0有两个交点抛物线与x轴相交,0有一个交点抛物线与x轴相切,0没有交点

52、抛物线与x轴相离,例4 已知抛物线,k取何值时，抛物线经过原点； k取何值时，抛物线顶点在y轴上； k取何值时，抛物线顶点在x轴上； k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上,所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上,所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点,抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即,解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以,所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,整理得,解得,由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上,所以当x2时，,解法一（配方法,例5 当x取何值时，二次函数 有最

53、大值或最小值，最大值或最小值是多少,因为 所以当x2时，,因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值,总结：求二次函数最值，有两个方法 (1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法,又,例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小,解法一：,抛物线开口向下,对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小,解法二,抛物线开口向下,对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小,例7 已知二次函数,的最大值是0，求此函数的解析式,解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组,由解方程得,所求函数解析式为,相等，则形状相同,1)a决定抛物线形状及开口

54、方向，若,a0开口向上,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用,a0开口向下,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用,2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线,若a，b异号对称轴在y轴右侧,故,若b0对称轴为y轴,若a，b同号对称轴在y轴左侧,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用,3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置,当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c,c0抛物线经过原点,c0与y轴交于正半轴,c0与y轴交于负半轴,例8 已知如图是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值 (1)a；

55、(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab； (6)abc；(7)abc,分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,解： (1)因为抛物线开口向下，所以a0,判断a的符号,2)因为对称轴在y轴右侧，所以,而a0，故b0,判断b的符号,3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0,判断c的符号,4)因为顶点在第一象限，其纵坐标,且a0，所以,故,判断b24ac的符号,且a0，所以b2a，故2ab0,5)因为顶点横坐标小于1，即,判断2ab的符号,6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正

56、值，即a12b1c0，故abc0,判断abc的符号,7)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故abc0,判断abc的符号,二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质,一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同,2,2,知识回顾,形状,位置,y=ax,2,y=a(x-h) +k,2,上加下减,左加右减,知识回顾,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点,1.当a0时，开口 ， 当a0时，开口,向上,向下,2.对称轴是,3.顶点坐标是,直线x=h,h,k,直线x=3,直线x=1,直线x=2,直线x=3,向上,向上,向下,向下,3，5,1，2,

57、3，7,2，6,你能说出二次函数y=x 6x21图像的特征吗,2,1,2,探究,如何画出 的图象呢,我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗,配方,y= (x6) +3,2,1,2,你知道是怎样配方的吗,1)“提”：提出二次项系数,2 )“配”：括号内配成完全平方,3）“化”：化成顶点式,归纳,二次函数 y= x 6x +21图象的 画法,1)“化” ：化成顶点式,2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标,3)“画”：列表、描点、连线,2,1,2,画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同数量的点

58、，一般取57个点即可,注意,求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点是,配方,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,这个结果通常称为求顶点坐标公式,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么,1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么,对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象,方法归纳,二次函数y=ax2+bx+

59、c(a0)的图象和性质,顶点坐标与对称轴,位置与开口方向,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0,y=ax2+bx+c(a0,由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,根据图形填表,图象的画法,步骤：1利用配方法或公式法把,化为,的形式,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图,所以当x2时，,解法一（配方法,例 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少,因为