2021年中考数学复习难题训练：《锐角三角函数》

1、一、选择题1. 如图，在ABC中，AB=AC，MN是边BC上一条运动的线段(点M不与点B重合，点N不与点C重合)，且MN=12BC，MDBC交AB于点D，NEBC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM=x，BMD的面积减去CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是() A. B. C. D. 2. 一个正方体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示：B=90，正方形DEFH的边长为1m，BC=4m，AC=8m.当正方形DEFH运动到某位置，使得DC2=AE2+BC2，此时AE的长为( )mA. 4916B. 4C. 17D. 233. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于

2、这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若RtABC是“好玩三角形”，且C=90度，BCAC，则tanB=()A. 22B. 32C. 23D. 334. 缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D处水平向前走14米到点A处，再沿着坡度为0.75的斜坡A走一段距离到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B点观察到观景塔顶端的仰角为再往前沿水平方向走27米到C处，观察到观景塔顶端的仰角是，则观景塔的高度DE为()(参考数据：， A. 21米B. 24米C. 36米D. 45米5. 如图，在反比例函数y=32x的图象上有一动点A，连接

3、AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动，若tanCAB=2，则k的值为A. B. C. D. -126. 如图，在等腰直角三角形ABC中，C=90，AC=6，D为AC上一点，若tanDBA=15，则AD的长为( ) A. 2B. 2C. 1D. 227. 如图，直线y=12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3,0)向以P为圆心，12AB为半径的P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为()A. 543B. 5C. 25D. 523二、填空题8. 如图，在矩形A

4、BCD中，AD=6，以点C为圆心，以CB的长为半径画弧交AD于E，点E恰好是AD中点，则图中阴影部分的面积为_.(结果保留) 9. 如图RtABC中，ACB=90，O是ABC的外接圆，E为O上一点，连结CE，过C作CDCE，交BE于点D，已知tanA=，AB=2，DE=5，则tanACE=_10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=kx(x0)的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tanDOE=12，则BN的长

5、为_11. 如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为60，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且AED=ACD，则cosAEC=_12. 如图，在正方形ABCD中，AD=23，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则PCE的面积为 13. 如图，在ABC中，ACB=60，D是边AB的中点，E是边BC上一点若DE平分ABC的周长，且DE=3，则AC的长是_ 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限将矩形OABC绕点

6、O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=kx(x0)的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tanDOE=12，则BN的长为_15. 如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=25cm，BC=54cm，CD=30cm，且tanB=tanC=43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为_三、解答题16. 如图，已知AB是O的直径，点M在BA的延长线上，MD切O于点D，过点B作BNMD于点C，连接AD并延长，交BN于点N (1)求证：AB=BN；(2)若O半径的长为3，cosB

7、=25，求MA的长17. 已知，如图，在ABC中，ACB=90，B=60，BC=2，MON=30(1)如图1，MON的边MOAB，边ON过点C，求AO的长；(2)如图2，将图1中的MON向右平移，MON的两边分别与ABC的边AC、BC相交于点E、F，连接EF，若OEF是直角三角形，求AO的长；(3)在(2)的条件下，MON与ABC重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由18. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得POl，PO=100

8、米，PBO=45.这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得APO=60.此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由(参考数据：2=1.41，3=1.73)19. 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的RtEFG的两边EF，EG分别过点B，C，F=30 (1)求证：BE=CE；(2)如图2，将EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N求证：BEMCEN；若AB=kCN，求当BMN面积最大时，k的值；当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图3)，求sinE

9、BG的值20. 如图，A(5,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CD/AB，CDA=90.点P从点Q(-4,0)出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间t秒(1)求点C的坐标；(2)当BCP=15时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值21. 【探索发现】如图，在锐角ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，过A作ADBC于D。求证：bsinB=csinC。【类比引申】同理可证：csinC=asinA,asinA=bsinB，所以asinA=bsinB=csinC即：在一

10、个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素 如图，ABC中，B=45，C=75，BC=60，则A=_；AC=_。【理解应用】如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里求乙船每小时航行多少海里？ 图答案和解析1.A解：过点A作AHBC，交BC于点H，AB=AC，BH=HC=12BC，B=C，设a=1

11、2BC，B=C=，则MN=a，CN=BC-MN-x=2a-a-x=a-x，DM=BMtanB=xtan，AH=BHtanB=atan，EN=CNtanC=(a-x)tan，S=SBMD-SCNE=(2x-a)=atanx-均为常数，故上述函数为一次函数，2.A解：如图，连接CD，设AE=x，可得EC=8-x正方形DEFH的边长为1米，即DE=1米，DC2=DE2+EC2=1+8-x2，AE2+BC2=x2+16，DC2=AE2+BC2，1+(8-x)2=x2+16，解得：x=4916，所以，当AE=4916米时，有DC2=AE2+BC23.B解：如图，BCAC，只有BC边上的中线，满足条件，A

12、D=BC，设CD=BD=a则AD=2a，CD=a，AD=2CD，C=90，DAC=30，AC=3a，tanB=ACBC=324.A解：作BGDE于G，AFBG于F，设AF=3x，AB坡的坡度为0.75，BF=4x，BG=4x+14，CG=4x+41，ABG=45，GE=BG=4x+14，在RtEGC中，tanC=EGCG，即4x+144x+41=0.4，解得，x=1，DE=3x+4x+14=21(米)，5.B解：如图，连接OC，过点A作AEx轴于点E，过点C作CFy轴于点F，由直线AB与反比例函数y=32x的对称性可知A、B点关于O点对称，AO=BO又AC=BC，COABAOE+AOF=90，

13、AOF+COF=90，AOE=COF，又AEO=90，CFO=90，AOECOF，AECF=OEOF=AOCO，tanCAB=OCOA=2，CF=2AE，OF=2OE又AEOE=32，CFOF=|k|，k=6点C在第二象限，k=-6，6.A解：作DEAB于E点，如图，tanDBA=15=DEBE，BE=5DE，ABC为等腰直角三角形，A=45，AE=DEBE=5AE，又AC=6，AB=6AE+BE=5AE+AE=6，AE=2，在等腰直角ADE中，由勾股定理，得AD=2AE=27.A解：如图，连接DP，直线y=12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-2，

14、A(-2,0)，B(0,1)，AB=22+12=5，过点D(3,0)向以P为圆心，12AB为半径的P作两条切线，切点分别为E、F，DE=DF，PEDE，PE=PF，PD=PD，PEDPFD(SSS)，P的半径为52，DE=PD2-(52)2，当DPAP时，DP最小，此时DP=ADsinBAO=555=5，四边形PEDF面积=2SPED=212PEDE=52DE，四边形PEDF面积的最小值为52(5)2-(52)2=5348.6+932解：如图，连接EC在RtECD中，D=90，EC=BC=2DE，ECD=30，DCB=90，ECB=60，AD=EC=6，DE=3，DC=33，9.13解：连接A

15、E，tanBAC=12，设AC=2m，BC=m，AB=5m=210，m=22，AC=42，BC=22，BEC=BAC，tanBEC=12，DE=5，同理求得CD=5，CE=25，CED+EDC=CAB+ABC=90，EDC=ABC，EDC+BDC=ABC+AEC=180，AEC=BDC，DBC=EAC，AECBDC，AEBD=ACBC=2，设BD=x，AE=2x，AB是O的直径，AEB=90，AE2+BE2=AB2，(2x)2+(5+x)2=(210)2，x=1(负值舍去)，AE=2，BE=6，tanACE=tanABE=AEBE=26=1310.3解：S矩形OABC=32，ABBC=32，矩

16、形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，AB=DE，OD=OA，在RtODE中，tanDOE=DEOD=12，即OD=2DE，DE2DE=32，解得DE=4，AB=4，OA=8，在RtOCM中，tanCOM=MCOC=12，而OC=AB=4，MC=2，M(-2,4)，把M(-2,4)代入y=kx得k=-24=-8，反比例函数解析式为y=-8x，当x=-8时，y=-8-8=1，则N(-8,1)，BN=4-1=311.12解：在图中标上点M、E，连接BM，四边形AMCB为菱形，BMAC，BM平分ACBAM=60，ABM为等边三角形，BM=AM，点M为圆弧的圆心MC=ME，以

17、点M为圆心AM长度为半径补充完整圆，点E即是所求，如图所示AD所对的圆周角为ACD、AEC，图中所标点E符合题意四边形CMEN为菱形，且CME=60，CME为等边三角形，cosAEC=cos60=1212.9-53解：四边形ABCD是正方形，ABC=90，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，PB=BC=AB，PBC=30，ABP=60，ABP是等边三角形BAP=60，AP=AB=23，在RtADE中，AD=23，DAE=30，AE=4，DE=2，CE=23-2，PE=4-23如图，过点P作PFCD于点F，PF=32PE=23-3，PCE的面积为12CEPF=1223-223-3=9-53

18、13.2解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CNAM于N，DE平分ABC的周长，ME=EB，又AD=DB，DE=12AM，DE/AM，AM=23，ACB=60，ACM=120，CM=CA，ACN=60，AN=MN=3，sinACN=AVAC，14.3解：S矩形OABC=32，ABBC=32，矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，AB=DE，OD=OA，在RtODE中，tanDOE=DEOD=12，即OD=2DE，DE2DE=32，解得DE=4，AB=4，OA=8，在RtOCM中，tanCOM=MCOC=12，而OC=AB=4，MC=2，M(-2,4)，把M(

19、-2,4)代入y=kx得k=-24=-8，反比例函数解析式为y=-8x，当x=-8时，y=-8-8=1，则N(-8,1)，BN=4-1=315.486cm2解：如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，tanB=tanC=43，B=C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH=12BC=27cm，tanB=EHBH=43，EH=43BH=4327=36cm，在RtBHE中，BE=EH2+BH2=45cm，AB=25cm，AE=20cm，BE的中点Q在线段AB上，CD=30cm，ED=15cm，CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，PQ/BC，

20、EPQEBC，PQBC=EJEH，即PQ54=EH-QMEH，PQ=54-2PQ，设MQ=x，则S矩形PQMN=PQMQ=x(54-2x)=-2x2+ax=-2(x-272)2+7292，当PQ=272时，S矩形PQMN最大值为，矩形PQMN的最大面积为14BCEH=486cm2，答：该矩形的面积为486cm216.(1)证明：连接OD，MD切O于点D，ODMD，BNMC，OD/BN，ADO=N，OA=OD，OAD=ADO，OAD=N，AB=BN；(2)解：由(1)OD/BN，MOD=B，cosMOD=cosB=25，在RtMOD中，cosMOD=ODOM，OD=OA，MO=MA+OA=3+M

21、A，33+AM=25，MA=4.517.解：(1)MON=30，MOAB，COB=60，B=60，BOC是等边三角形，BC=2，BO=2，在ABC中，ACB=90，B=60，BC=2，AB=4，AO=AB-BO=2；(2)OEF=90，设AO=x，根据题意得OB=4-x，OE=3x3，OF=4-x，OEOF=32，x=125，OFE=90，设AO=x，根据题意得OB=4-x，OE=3x3，OF=4-x，OFOE=32，x=83，OEF是直角三角形时，AO长为125或83；(3)设AO=x，根据题意得OB=4-x，OE=33，设重叠部分的面积为S，根据题意得：S=SABC-SAOE-SOBF，S

22、=23-12x3x3-34(4-x)2，整理得：S=-5312x2+23x-23，a=-531280千米/小时，此车超速19.(1)证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，AB=DC，A=D=90，E是AD中点，AE=DE，BAECDE，BE=CE(2)解：如图2中，由(1)可知，EBC是等腰直角三角形，EBC=ECB=45，ABC=BCD=90，EBM=ECN=45，MEN=BEC=90，BEM=CEN，EB=EC，BEMCEN；EMN为等腰直角三角形SEMN=12ME2作EHBC于点H易证：EHNEAM(AAS)S四边形EMBN=S四边形ABHE 当SEMN最小时SMBN最大当ME最小时即M

23、B=AB，即k=1；解：如图3中，作EHBG于H.设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m.EG=m+3m=(1+3)m，SBEG=12EGBN=12BGEH，EH=3m(1+3)m2m=3+32m，在RtEBH中，sinEBH=EHEB=3+32m6m=6+2420.解：(1)A(5,0)，B(3,0)，OA=5，OB=3，CBO=45，OC=OB=3，点C的坐标(0,3)；(2)当P在点B的左侧时，CBO=45，BCP=15OCP=OCB-BCP=45-15=30，CO=3，OP=33CO=3，Q(-4,0)，QP=3+4，点P沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，t=3+42，当P在点B的右侧时，CBO=45，BCP=15，OCP=OCB+BCP=45+15=60，CO=3，OP=3CO=33，Q(-4,0)，QP=33+4，点P沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，t=33+42，综上所述当BCP=15时，t的值为3+4