2018新课标全国3卷(理数)

1、2018新课标全国3卷（理数）2018年全国统一髙考数学试卷（理科）（新课标皿）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1. （2018新课标皿）已知集合A=x|x- 10, B=0, 1,2,则 AC1B二（）A0B1C. 1, 2D0, 1, 22. （5 分）（2018-新课标III） （1+i） （2 i）=（）A-3- i B. -3+i C 3- iD 3+i3. （2018*新课标III）中国古建筑借助樺卯将木构件连接起 来.构件的凸出部分叫禅头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是樺头.若如图摆放的木 构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件

2、的俯视图可以是（）DA. A B. 1 C. -1D99995. (2018-新课标ni)(x2+l)5的展开式中x的系数为( )XA 10 B. 20 C. 40D. 806. （2018*新课标HI）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在(x-2) 2+y2=2 ,则ZABP面积的取值范围是（）A. 2, 6 B. 4, 8C. V2, 3応ABCD& （2018-新课标IB）某群体中的每位成员使用移动支付的第4页概率都为p,各成员的支付方式相互独立设 X为 该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P（ x=4 ）v P （X=6）,贝V p=（）A. 0.

3、7B. 0.6 C 0.4D. 0.39. (2018?新课标川) ABC内角A, B, C的对边分别为a,b, 6若厶ABC的面积为二二，则C=(A. 一 B . 一 C . _ D .234610.（2018?新课标川）设A B, G D是同一个半径为4 的球的球面上四点， ABC为等边三角形且面积为9-,则三棱锥D- ABC体积的最大值为（）A. 12 二B. 18 二 C . 24 二D. 5411.（2018?新课标川）设F1, F2是双曲线C:=1a b(a0. b 0）的左，右焦点，O是坐标原点. 过F2作C的一条渐近线的垂线， ）垂足为P,|PF1|= 7|OP|，则C的离心率

4、为（A.= B . 212 .（2018?新课标川）设（ ）C .乙a=log 0.2 0.3 ,D .匚b=log 20.3，则A. a+bv ab v 0B.abv a+bv 0a+bv Ov abD . abv Ov a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知向量=(1, 2) , = (2,- 2) ,= (1,入)若/(2 + ),贝 V 入=.14. 曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,贝 g a=.15 函数 f ( x) =cos ( 3x+)在0 , n 的零点个数为16. 已知点M(- 1, 1)和抛物线C: y2=4x,过C

5、的焦点且 斜率为k的直线与C交于A, B两点.若/ AMB=90，贝U k=.三、解答题：共70分。17. ( 12分)等比数列an中，a1=1, a5=4a3.(1) 求an的通项公式；(2) 记S为an的前n项和.若Sm=63,求m18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动， 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两 种生产方式的效率，选取 40名工人，将他们随机分成两 组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工 人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图:第一种生产方式第二种生产方式865 5 6 8 99 7 6 2

6、70 1 2 2 3 4 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3 2814 4 52 110 090(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理 由；(2) 求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m并将 完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%勺把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K=二詔*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ?P （心 k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819. (12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平

7、面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C, D的点.(1) 证明：平面AMD_平面BMC(2) 当三棱锥M- ABC体积最大时，求面MAB与面MCC所 成二面角的正弦值.20.已知斜率为k的直线I与椭圆C： + =1交于A, B两 点，线段AB的中点为M( 1, m (m0).(1) 证明:k v ;(2) 设F为C的右焦点，P为C上一点，且 卄 +二.证 明：丨 I , I 1 ,1 l成等差数列，并求该数列的公差.21 已知函数 f (x) = (2+x+ax ) In (1+x) - 2x.(1) 若 a=0,证明：当-1vx v 0 时，f (x)v 0;当 x 0 时，f (x) 0;(

8、2) 若x=0是f (x)的极大值点，求a.选修4-4 :坐标系与参数方程（10分）22 .在平面直角坐标系xOy中，O O的参数方程为豊JLy=siny（0为参数），过点（0,-=）且倾斜角为a的 直线I与O O交于A, B两点.（1）求a的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.选修4-5 :不等式选讲(10分)23.( 2018?新课标川)设函数 f (x) =|2x+1|+|x - 1| .(1) 画出y=f (x)的图象；(2) 当 x 0 , +x)时，f (x) 0， B=0，1, 2，则 AA B=（）A. 0 B. 1 C. 1，2 D. 0，1，2【分析】求解不等式化

9、简集合A,再由交集的运算性质得答 案.【解答】解：J A=x|x - 1 0=x|x 1，B=0，1，2， AH B=x|x 1 n 0，1，2=1，2.故选：C.2. （ 5 分）（2018?新课标皿）（1+i） （2 - i ）=（）A. 3 - i B.- 3+i C. 3 - i D. 3+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：（1+i ） （2 -i ） =3+i .故选：D.3. （ 5分）（2018?新课标皿）中国古建筑借助榫卯将木构 件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼， 图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件

10、咬合成长方体，则咬合时带卯眼的 木构件的俯视图可以是（ ）A. 1 B .【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项 的正误即可.【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯 眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形 看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重第14页合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是 A.故选：A.4. （5 分）（2018?新课标川）若 sin a =，贝V cos2 a =（A. ； B. CD-_89【分析】cos2 a =1 - 2sin 2 a ,由此能求出结果.【解答】解：Tsin a =,2二 cos2 a =1 - 2sin

11、 a =1 2X =.h?J故选：B5.( 5分)(2018?新课标川)(x2+ ) 5的展开式中x4的系X数为()A. 10 B. 20 C 40 D. 80【分析】由二项式定理得(X2+ )5的展开式的通项为：Tr+1 = V耳(x2) 5 r ()=一，由 10 3r=4，解得 r=2 ,由此能 求出(X2+ ) 5的展开式中X4的系数.耳【解答】解：由二项式定理得(X2+ ) 5的展开式的通项为：Tr+1=七(X2) S () =一，由 10 - 3r=4，解得 r=2 ,（x2+ ） 5的展开式中x4的系数为=40.X故选：C.6.（5分）（2018?新课标川）直线x+y+2=0分别

12、与x轴，y 轴交于A, B两点，点P在圆（x - 2）2+y2=2上，则 ABP 面积的取值范围是（）A. 2，6 B. 4，8 C. ，3 刁 D. 2 ，3 【分析】求出 A （- 2，0），B （0，- 2），|AB|=2，设 P（2+ _山，二），点 P到直线 x+y+2=0的距离：d= _ 1I1 -，由此能求出ABP面积的取值范围.【解答】解：直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B 两点，令 x=0，得 y=- 2，令 y=0，得 x=- 2， A （- 2，0），B （0，- 2），|AB|=二=2点 P在圆（x- 2） 2+y2=2上，设 P（2+，-），点P到直线x+y

13、+2=0的距离：d= . -I= = ，仃12sin（ +-）+41 sin （_） - 1, 1， d=1， ABF面积的取值范围是：二，_ =2 , 6.故选：A.7.(5分)(2018?新课标川)函数y=-x4+x2+2的图象大致C .【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的 单调性进行判断即可.【解答】解：函数过定点(0, 2)，排除A B. 函数的导数 f( x) =- 4x3+2x= - 2x (2x2 - 1), 由 f (x) 0 得 2x (2x2- 1)v 0, 得xv-孚或0vxv*,此时函数单调递增，排除 C故选：D.8( 5分)(2018?新课标川)某群体中

14、的每位成员使用移 动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立设 X为 该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4, P(x=4 ) P (X=6),贝U p=()A. 0.7 B. 0.6 C 0.4 D. 0.3【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化 求解即可.【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P,看做是独立重复事件，满足 XB (10, p),P (x=4) P (X=6),可得叮w ：”； _/,可得 1 - 2p0. b0）的左，右焦点，O是坐标原点.过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P,若|PF1|= |OP|，则C的 离心率为（A.三

15、 B. 2 C.二 D.二【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得 IPF112=|PF2| 2+冋 2 - 2|PF2| ?|F1F2|cos Z PEO,代值化简 整理可得 P=c,问题得以解决.【解答】解：双曲线C: =1 （a0. b0）的一条渐a b近线方程为y=x，点F2到渐近线的距离d=b，即|PF2|=b，|OP|=I 二冋 u-=a，cos Z PEO=，.|PF1|= 7|OP|， |PF1|= :a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|FF2|2 -2|PF2| ?|F1F2|C

16、OSZ pho, 6a2=b2+4c2 - 2X bx 2c X =4c2 3b2=4c2 3 （c2- a2）,c即 3a2=c2,即 Ta=c,二 e=二，a故选：c.12. （5 分）（2018?新课标川）设 a=log 0.20.3 , b=log 20.3 ,则（ ）A. a+bv abv 0 B. abv a+bv 0 C. a+bv 0v ab D . abv 0v a+b【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.【解答】 解：T a=log 0.20.3= -, b=log20.3=-二,ls0 31 eIg21g5lg21g5UP. 3 1农.3 _理6罟 比一1= Ig

17、21g5 ?n迁，十 ,ab v a+bv 0.故选：B.1、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. （5分）（2018?新课标川）已知向量 匸（1, 2）=（2,2),= (1,入).右 /(2 i+ ),贝I入=.【分析】禾U用向量坐标运算法则求出 J山=(4, 2),再由 向量平行的性质能求出入的值.【解答】解：向量尸(1, 2), = (2,- 2),(4, 2),/ = (1,入)，/( 2 +： ),一-,解得入=.故答案为：1 .14.(5 分)(2018?新课标皿)曲线 y= (ax+1) ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= - 3.【分析】球心函数的导数

18、，利用切线的斜率列出方程求解 即可.【解答】解：曲线y= (ax+1) ex,可得y =aex+ (ax+1)xe ,曲线y= (ax+1) ex在点(0, 1)处的切线的斜率为-2, 可得：a+仁-2,解得a=- 3.故答案为：-3.15.( 5 分)(2018?新课标川)函数 f (x) =cos (3x+ )在0 , n 的零点个数为3 .【分析】由题意可得f ( x) =cos ( 3x+ 一)=0 ,可得 63x+=+kn, k Z,即卩 x=+k n,即可求出.e 2?93?【解答】解：I f (x) =cos (3x+ ) =0,6. 3x+=+kn , k Z, x= _+ k

19、 n , k Z,当k=0时，x=,当 k=1 时，x= n ,9当 k=2 时，x= n ,当 k=3 时，x= n ,JT x 0 , n , x=，或 x= n，或 x= n ,故零点的个数为3,故答案为：316.( 5分)(2018?新课标皿)已知点 M(- 1,1)和抛物 线C: y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A, B 两点.若/ AMB=90，贝V k=_2.【分析】由已知可求过A, B两点的直线方程为y=k(x- 1), 然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2 - 2 ( 2+k2) x+k2=0,可表示 X1+X2, X1X2,屮+y, yiy2,由/AMB=

20、90 , 向量的数量积为0,代入整理可求k.【解答】解：抛物线C: y2=4x的焦点F (1, 0),过A, B两点的直线方程为y=k (x - 1),联立/皿 可得，k2x2 - 2 (2+k2) x+k2=0,I 尸设 A (xi, yi), B (X2, y2),则 X i+X2= , XiX2=1 ,k222 yi+y2=k (X1+X2 - 2) = , yiy2=k (Xi - 1) (X2 - 1) =k x 1X2 -(X1+X2) +1= - 4, M(- 1, 1), t = (Xi+1, yi - 1), n = (X2+I, y2 - 1),T/ AMB=90 =0,

21、1=0(Xi+1)(X2+I)+ (yi 1)(y2 1)=0,整理可得，X1X2+ (X1+X2) +yiy2 -(yi+y2) +2=0, 1+2+ - 4 - +2=0,即 k2 - 4k+4=0, k=2.故答案为：2 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 仃21题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必 考题：共60分。17.( 12分)(2018?新课标皿)等比数列an中，ai=1, a5=4as.(1) 求an的通项公式；(2) 记S为an的前n项和.若Sm=63，求m【分析】(1)利用等比数列通项公式列出

22、方程，求出公比 q= 2,由此能求出an的通项公式.由Sm=63，得S=2n- 1，由a5=4a.(2 )当 a1=1， q= - 2 时，-F”当 ai=1, q=2 时，S= =2n- 1,?l-q1-2?由 Sm=63，得 S=2m-仁63, m N,解得m=618. （ 12分）（2018?新课标皿）某工厂为提高生产效率， 开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的 生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人,将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生 产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生 产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：第一种生

23、产方式第二种生产方式865 5 6 8 99 7 6 270 1 2 2 3 4 5 6 6 89 S 7 7 6 5 4 3 3 2814 4 52 110 090（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理 由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m并将 完成生产任务所需时间超过 m和不超过m的工人数填入下 面的列联表：超不过超m过m第一种 生产方 式第二种 生产方 式(3) 根据(2)中的列联表，能否有99%勺把握认为两种生 产方式的效率有差异？附-M*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ?P (Q k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.

24、828【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的 工作时间较少些，效率更高；(2) 根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联 表；(3) 列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论. 【解答】解：(1)根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 7092之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 6590之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺 序排列后，排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m=二二=80;2 ?由此填写列联表如下；超过m不超过m总计第一种生 产方式15520第二种生

25、产方式51520总计202040(3)根据(2)中的列联表，计算/= n(ad-bu) =40X (15X15-5X 5)=10 6 635 G+b)(c+d)+c) (b+d)一-20X20X 20X 20?能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19. ( 12分)(2018?新课标川)如图，边长为 2的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是“上异于C, D的点.(1) 证明：平面AMD_平面BMC(2) 当三棱锥M- ABC体积最大时，求面MAB与面MCC所 成二面角的正弦值.【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明 MCL平面ADM 即可.(2)根据三棱锥的体积最大

26、，确定 M的位置，建立空间直 角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可.【解答】解：(1)证明：在半圆中，DMLMC正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直， AD丄平面 BCM 贝U ADL MC ADA DM=D MCL平面 ADM/ MC?平面 MBC平面AMDL平面BMC(2厂.仏ABC的面积为定值，要使三棱锥M- ABC体积最大，则三棱锥的高最大， 此时M为圆弧的中点，建立以0为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD勺边长为2， A (2,-1, 0)，B (2, 1, 0)，M(0，0,1), 则平面MCD勺法向量=(1, 0, 0),设平面MAB勺法向量为

27、=(x, y, z)第29页则“ (0, 2, 0), r= (- 2, 1 , 1),由 I? i=2y=0, i? i= 2x+y+z=0,令 x=1,则 y=0, z=2，即 i= (1, 0, 2),贝y cos v , =，=,Imllnl lXl+4 V5则面MAB与面MC断成二面角的正弦值sin a =了 .20.( 12分)(2018?新课标川)已知斜率为 k的直线I与 椭圆C： + =1交于A, B两点，线段AB的中点为(1, m(m 0).(1) 证明:kv；(2) 设F为C的右焦点，P为C上一点，且“+ +=.证 明：| “| h|i.|成等差数列，并求该数列的公差.【分

28、析】(1)设A (X1, yj, B (X2, y2)，利用点差法得6 (X1 X2) +8m(y1 y2)=0, k= 1= =、 - 2又点M( 1, m在椭圆内，即-斗、,解得m的取值范围，即可得kv-,(2)设 A(xi, yi) , B(X2, y2), C(X3,汩，可得 xi+x?=2 由：+.：.,+ ：=,可得X3 - 1=0，由椭圆的焦半径公式得则 |FA|=a - exi=2 - Xi, |FB|=2 - X2, |FP|=2 - 1 X3= 即可2 2 2 2证明|FA|+|FB|=2|FP| ，求得A, B坐标再求公差.【解答】解：(1)设 A (Xi, yi), B

29、 (X2, y2),线段ab的中点为m(i, m ,Xi+X2=2, yi+y2=2m将A, B代入椭圆C： +=i中，可得( 2 23x|+4yf=123 町十 二 12两式相减可得，3 (Xi+X2)(Xi - X2) +4(yi+y2)(屮y2) =0, 即 6 (Xi X2) +8m(yi y2) =0,k= r = =x j8id 4m点 M(i, m)在椭圆内，即-.f-：. r.-.：,解得Ov m /(2)证明：设 A (Xi, yi), B (X2, y2), C (X3, y3), 可得 Xi+X2=2,_+,+ i = I, f ( i , 0),/. Xi i+X2 i

30、+X3 i=0,yi+y2+y3=0,I X3=1 , m0,可得P在第一象限，故，m= , k=- 1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a - exi=2- 1 Xi, |FB|=2 -二X2, |FP|=2 - 1 X3=.2 2 2则|FA|+|FB|=4 - 、.；， |FA|+|FB|=2|FP|,联立严，可得|x i- X2|=Q7孑石応芈L3x2-4y =12所以该数列的公差d满足2d=|xi - X2|= I打-,该数列的公差为土二.21.(12 分)(2018?新课标皿)已知函数 f (x) =( 2+x+ax2)In (1+x)- 2x.(1) 若 a=0,证明：当-1vxv

31、0 时，f (x)v0;当 x0 时，f (x)0;(2) 若x=0是f (x)的极大值点，求a.【分析】(1)对函数f (x)两次求导数，分别判断f(x) 和f (x)的单调性，结合f (0) =0即可得出结论；(2)令h (x)为f( x)的分子，令h(0)计算a， 讨论a的范围，得出f (x)的单调性，从额得出a的值.【解答】(1)证明：当 a=0 时，f (x) = (2+x) In (1+x) 2x，(x - 1).可得 x ( - 1, 0)时，ff ( x ) 0(x) f( 0) =0,/. f (x) = (2+x) In (1+x)- 2x 在(-1, +x)上单调递 增，

32、又 f (0) =0.当1vxv 0 时，f (x)v 0;当 x0 时，f (x) 0.(2)解：由 f (x) = (2+x+ax2) In (1+x) 2x,得9f (x)=( 1+2ax) In (1+x) +* 二:2= 1 - : 111 :z+lx+1令 h (x) =ax2 x+ (1+2ax) (1+x) In (x+1), h( x) =4ax+ (4ax+2a+1) In (x+1).当 a0, x 0 时，h( x) 0, h (x)单调递增，. h (x) h (0 ) =0,即 f( x) 0, f (x)在(0, +8 )上单调递增，故x=0不是f (x)的 极大

33、值点，不符合题意.当 av 0 时，h( x ) =8a+4aln (x+1) +,A * A显然h( x)单调递减，令h( 0 ) =0,解得a=.当1 vxv0 时，h（x） 0,当 x0 时，h（x） v h( x)在(-1, 0)上单调递增，在(0, +8)上单 调递减， h( x) 0, 即卩 f(x) 0,当 x0 时，h (x) v 0,即 f (x) v 0, f (x)在(-1, 0) 上单调递增，在(0, +8)上单调 递减， x=0是f (x)的极大值点，符合题意； 若1 vav0,贝g h( 0) =1+6a0, h(e 一誓1)=6(2a - 1) (1 e)v 0,

34、 h( x) =0在(0, +8)上有唯个零点，设为 X。，当 0vxvxo时，h(x) 0, h( x)单调递增， h( x) h( 0 ) =0, 即 卩 f( x) 0, f (x)在(0, X0 )上单调递增，不符合题意； 若 av 1，贝V h(0 ) =1+6av0, h( 1) = (1 oe2a) e2 0, h( x ) =0在(-1, 0)上有唯一一个零点，设为X1, 当 X1 vxv0 时，h(x) v 0, h( x)单调递减， h( x) h( 0 ) =0, h (x)单调递增， h (x) v h (0 ) =0,即 f( x) v 0,f （ x）在（Xi ,

35、0） 上单调递减，不符合题意. 综上，a=.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一 题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4 : 坐标系与参数方程（10分）22. （10分）（2018?新课标川）在平面直角坐标系xOy中， OO的参数方程为,:.,（0为参数），过点（0,-二）（y=sin f且倾斜角为a的直线I与O O交于A, B两点.（1）求a的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.【分析】（1） OO的普通方程为x2+y2=1，圆心为0（0, 0）, 半径r=1，当a =,时，直线I的方程为X=0，成立；当a 工时，过点（0,-=）且倾斜角为a的直线I的方程为 y=tan a ?x+二从而圆心 0（0, 0）到直线I