08年高考数学江西卷最后一题研究

1、 08年高考数学江西卷（理）最后一题有点难 22（本小题满分14分）ax11xfx )， 已知函数()(0，8ax?a?x1?1xaf 8时，求1）当)(的单调区间； （xfa ()，证明：l （2）对任意正数28?b?x,c 若,令则第(2)等价于:a,b,c0,abc=8求证: ax111?1?(1)?2 a1c1?b?1 年西部奥林匹克最后一题：上式不等式(1)与2004abc32?1? a,b,c是正数，求证：设 2222222a?bca?bc类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。 另外，2003年中国数学奥林匹克第三题： ? 求最小正数

2、,使得对于任何给定正数n,),.ni?1,2,?(0)( i2? ?2?.tan只要tan?tan?cos?cos.cos不大于 ,就有2n12n12答案:当n3,=n-1 222?tan,b?tanca?tan?即得(1)n=3当时,令右边的等式。 321江西的宋庆老师说:今天阅卷结束。该题第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。 由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。所以第（2）小题不宜作高考题。 此题也引起了张景中院士的兴趣，在 “张景中院士解江西高考压轴题”一贴中 命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003年

3、中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。 x1?1?x1?18?a?fx?xf ， 解：22、当，求得时， 31?x3?x?1x2?0xx?f0f)1,?(0,1?x?x时，时， 于是当；而当 f(x)(0,11,?)中单调递减在即 中单调递增，而在111 ?(x)?f0x?0?a，由， （2）.对任意给定的 8?x1?a1?1ax8111?fx?b8?abx ，则 若令 ，而 ax1?x1?a1?b111111?1xf；因为 （一）、先证， ba1?1?x1?b?1?1?ax1 42abx?bx?48xb?22a?22?a?a?b?x?6所以 又由，得 1111113?2(a?b?x)?(ab

4、?ax?bx)?fx? 1?x1?a)(1?b)1?b(1?x)(1?aba1?1?x1?9?(a?b?x)?(ab?ax?bx)1?(a?b?x)?(ab?ax?bx)?abx?1? a)(1?b)(1?x)(1?a(1?x)(1?)(1?b)?f2xx,a,bx?a?b0?b?2 （二）、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则1?15?5x?a7a?b?a， ，所以，因为，则（）、当 1?b112111?f?x2?1 ，此时 1?x1?a1?51?x1?a1?b 81ab?x7?a?b? ，由得 , （）、当， abab?81?x2bbb11b2?1?1?1?因为 所以 22(1?)b)1?

5、b4(1?b1?b2(1?b)1?b?abab11?1?22fx? 同理得 ，于是? 2(1?a)21?a1?bab?81?a? abbaabba2?2? 今证明, 因为 ， 81?bab1?a)b)(1?1?a1b(1?aabab?ab?8?(1?a)(1?b)a?b?7，据，此为显然，即 只要证 ，即 (1?a)(1?b)ab?8?2?1fxxa,2?)(fx ，皆有综上所述，对任何正数 因此得证故由得 说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。 平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。 2008-07-12 21:03 scpajmb 的发言