四川省德阳市高三数学第一次诊断考试试题 文含解析

1、四川省德阳市2015届高三数学第一次诊断考试试题 文（含解析） 本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 一、选择题本题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的 2?bi(其中i i?21如果复数为虚数单位,b1为实数）的实部和虚部互为相反数， 【题文】那么b= 22? 233 D.2 B. A. C

2、. 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】C (2?bi)(1?2i)bi2? (1?2i)(1?2i)i1?2=2-2b+（=-4-b）i，它的实部和虚部互为相反数，【解析】复数 2? 3 b=-4-b）=0，。2-2b+（2?bi 1?2i 为2-2b+（-4-b）i，由题意可得 2-2b+（-4-b【思路点拨】化简复数） =0，解得 b 的值 【题文】2下列命题中，真命题是 ?R,且x+y2,则x,yA.若x,y至少有一个大于1 x2x2?R?x? B. ，a?1 b a+b=0的充要条件是Cx?e0?xR,00 D. 【知识点】命题及其关系A2 【答案】A 【解析】A，假设x，y

3、都小于1，则x1，y1，所以x+y2与x+y2矛盾，所以假设不1 2(-1)2=1，所以B错误C若时，当正确成立，所以A Bx=-12-1= a=b=0时，满足a+b=0， - 1 - ab 错误=-1，不成立，所以但C错误D根据指数函数的性质可知ex0恒成立，所以D利用充要条件和必要条件的定义判，【思路点拨】利用全称命题和特称命题的定义判断BD 断C利用反证法证明A 【题文】时，则输出的数等于3如图，若N=555466545 A. B. C. D. L1 【知识点】算法与程序框图D 【答案】 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下；11211?2? k=1，S=0，S=0+；= ，输入N=51

4、132?21? k=2，S= +；kN，是，1114?33?22?1 +S=kN，是，k=3，+；1111532?3?4?421? ；，S=+k，是，Nk=41111165?2?433?4?52?1 k=5kN，是，+S=，+111116?5532?3?4421? +，否，输出S=+kN51111111116655433224 = +（=1- ）（-）（-）（- ）（- ） 【思路点拨】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的结果是什么- 2 - 120?a?a?aa?a?aa?2a 【题文】4在等差数列中，若的值为则12641081210n28 24 D22 A20 BC D

5、2 【知识点】等差数列C 【答案】数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120a1+7d=24an解【析】为等差 2a10-a12=2a1+18-a1-11d=a1+7d=24 的关a1与da1【思路点拨】有已知an为等差数列，设首项为和公差为d，则已知等式就为 d来表示系等式，所求式子也可用a1和?3 -2x)的图象，可以将函数的图象y=sin(2x-【题文】5要得到函数y=sin()?63 向左平移向左平移 个单位个单位 AB?63 个单位个单位 D向右平移C向右平移 ?)sin(?xy?A的图象与性质C4 【知识点】函数【答案】B ?36个单位左平移】由y=sin(-2

6、x)=sin2x, y=sin(2x-为)向析【解?66)=sin2x y=sin2(x-+【思路点拨】根据三角函数平移的性质求出结果。 【题文】6某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为 11216332 B. D. C. A. 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案】D 【解析】由题设可得其直观图如图，由三视图知，PA，PB，PC两两垂直 6，AB=b，PA=1BC= AC=a - 3 - 如图 2211?ba? PC=，PB=有a2+b2=8 ，即a2-1+b2-1=6，即在直角三角形BPC中有PC2+PB2=BC2=62 2）a=20cos，b=2si

7、n，（，可设?2244 =cos+2）4，最大值当则sin=4sin（+a+b=2 时取到22331b1a? 此时a=b=2，验证知符合题意由此知，PC=PB=331132223 =故底面三角形APB，棱锥的体积为的面积为 的直角三角【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，底面一边长为16，由于本题中含有两个参数，且需求满足两者和最大时的体积，故本题第形，一条棱长为的表达式，先求其和最大时两参数的值，再由体积公式求体积，观察发一步是找到关于a，bbBPC中用勾股定理建立关于，ab现，可以先用参数a，表示出PC，PB的值，在直角三角形 的方程，研究此方程求出满足条件的参数的值再求

8、体积即可ruuuruuu?BC27631818ABC?ABC?AB则,2cos(cos ,sin (2cos ), 在7【题文】)中， 面积为3222224 C. A. B. D. 【知识点】平面向量的数量积及应用F3 【答案】B - 4 - 2csi14co6co1?=2, 【解析】=1, |BC|= |AB|= ruruuuuuBC?BA ruuuuuru22BCBA 22。 ABC= =2sin45/2=面积为ABC=45，cos 【思路点拨】先求出向量的模，再根据面积公式求出。 2?,x?0(x?a)?1x?a,x?0? x?f(0)则a的取值范围为（x8【题文】设）f(x)= ,若f

9、A.-1,2 B.-1,0 C.1,2 D.0,2 【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案】D 【解析】当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值， 1 x+a，）=a2 ，由题意得：a2x+当a0时，f（0解不等式：a2-a-20，得-1a2，0a2， 【思路点拨】当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2-a-20，得-1a2，问题解决 【题文】9.从集合A=-1，1，2中随机选取一个数记为k，从集合中B=-2，1，2随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第二象限的概率为 1254 9993 B. C. D. A. 【知识点】古典概型K2 【答案】B 【

10、解析】题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件kA=-1，1，2，bB=-2，1，2 得到（k，b）的取值所有可能的结果有： （-1，-2）；（-1，1）；（-1，2）；（1，-2）；（1，1）；（1，2）； （2，-2）；（2，1）；（2，2）共9种结果 k?0?b?0?而当 2种结果，k，b）有时，直线不经过第二象限，符合条件的（2 9 P=直线不过第四象限的概率【思路点拨】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第二象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果 1?1,3? ,31x? 3?x在f

11、(x)=lnx,时数知10.文【函内，数题】已函f(x)=2f(),当，若- 5 - g(x)=f(x)-ax有三个零点，那么实数a的取值范围是 ln3111ln31?0,0,? e3e2e3e2?A. C. D B. 【知识点】导数的应用B12 【答案】A 1 3，3内，函数g（x）=f【解析】在区间（x）-ax，有三个不同的零点， 11?ax 2xx，=-a= ，（x0）g（x）（x1，3时，fx）=lnx，可得g（x）=lnx-ax若a01 a，g（x）为减函数，可得g（x）0x 若1 a，g（x）为增函数，x）0，可得x 若g（此时g（x）必须在1，3上有两个交点， 1?g()?0?

12、a?ln31?g(3)?0 ?e3 ，解得a11 x33，1，可得1设 x112?ax xxx，=-，g（x）=2ln ，此时g（xf（x）=2f（） ）=-2lnx-ax2 a0，g（x-x）为增函数 g（若x）0，可得2 a，g（x-）为减函数， ，可得若g（x）0x1?g()?0? 3?1?0(1)?g ?3，解得0 a6ln3，1上有一个交点，则 在ln31 e3；a综上可得 1 3，3，没有零点，不满足在区间）（时，对于若a0x13gx=lnx-ax0内，函- 6 - 数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点， ln31 e3. a=0，显然只有一解，舍去.a综上：11 3x ，

13、1x在上的解析式，（x）=2f( ），求出【思路点拨】可以根据函数f（x）满足f1 3，3内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，对g（x已知在区间）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围 【题文】第II卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11? 10025?lg?lg2? 4?= 计算【题文】11【知识点】对数与对数函数B7 【答案】-20 11?1? lg?lg25?10021lg? 4? ?1001002=-20 【解析】=【思路点拨】根据对数的运算性质求结果。 22yx?12 0)(p?y?2px16m的右焦点F，【题文】12已知抛物线的焦点是

14、双曲线且双曲线的右顶点A到点F的距离为1，则p m = 。 【知识点】双曲线及抛物线几何性质H7 H6 【答案】1 22yx?1 16m的右顶点A到点F的距离为1【解析】双曲线，c-4=1， 22yxp?1 m162=5，）的焦点是双曲线， 的右焦点0c=5，m=9,抛物线y2=2px（pFp=10，p m =1. 22yx?1 16m的右顶点A到点F的距离为1，求出【思路点拨】利用双曲线c，再利用抛物线22yx?1 m16）的焦点是双曲线的右焦点F，求出0p,m的值 py2=2px（x?2y?1?0? 01?yx?，z=2x+y的最大值为x,y13【题文】已知实数 满足。 - 7 - E5

15、【知识点】简单的线性规划问题8 【答案】 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=-2x+z， 时，Cy=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点平移直线 最大，直线y=-2x+z的截距最大，此时z01?2y?x?3x?0?y?1x?2y?，解得由， z=23+2=8，）即C（3，2，此时 的几何意义，进行平移即可得到结论【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z3CS?sinABC?31?3ABC?8cosC= sinC，【题文】14已知且则sinA+sinB=的周长是 C8 【知识点】解三角形13 【答案】1?31?3 ，可得ABC【解析】由；的周长为A

16、B+BC+AC=33 sinC，利用正弦定理可得BC+AC=AB根据sinA+sinB=，两式相减，求得AB=133134882 sin C，可得，可得BC?AC?sin 由ABCC=的面积为sinCBC?AC=22222AB?2AC?BCAC?BCAB?(ACBC)?3BC2AC?2AC?BC =cos 而C=BC+AC=，由余弦定理得13 =33348，再结合，根据AB=1【思路点拨】由条件求得，ABC的面积为sinC求得BC?AC=，BC+AC=- 8 - 利用余弦定理求得cosC的值. ?,? )fx( 34?M上=2sinax是a增文】15在函【题x?n x-1?b?1?0有实数解，

17、设D?M?N?b方程3N ?M2x?m是,a函数数f(x)=定义在R上的奇函数，则下列命题中正确的是 （填出所有正确命题的序号） 33?M?,1,? 0,2?N22?R(5)如果）(3)D=f(x)在D(4)n=0,m1(2) （上没有最小值，3 2?）+ 的取值范围是（ 那么m，【知识点】函数的单调性与最值函数与方程B9 B3 【答案】(3) (5) ?2T 3234 -上是增函数，可得,【解析】：M=a|函数y=2sinax在?3232 2322a ，解得a且0M=a|，即aa，故N=b|方程3-|x-1|-b+1=0有实数解，所以可得N=b|1b2 3 2 1，D=MN=（x?n 2x?

18、m是定义在f(x)= R上的奇函数 xx?n 22x?mmx在D，又内没有最小值（0）=0可得n=0f（x）f(x)= = f1 xm?x 2xm?x=x， f（）3 2处取到最小值，不合题意D 上是减函数，函数在右端点）在若m0，可得函数f（xx?nm 2x?mx ），令m0h（xf(x)= =x+，则若在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究： - 9 - m mm2x，可解得x，令h（x=1-），令h（x）0，可解得x0由于h（x） mm，+）上是增函数， x）在（0）是减函数，在（，由此知，函数h（39 m42时，函数h（xm）在当D上是减函

19、数，不存在最大值，符合题意时，即 3 m2），不符合题意（）在D上是增函数，存在最大值h当,1时，即m1时，函数h（x393 mmm224），时，函数h（当1x）在（1时，即1m）是减函数，在（3 2）成立，才能满足函数h（x）在Dh（1）h上没有最大值，即有（1+m上是增函数，必有m 333 222. ，解得m+x?n 2x?m在f(x)=D【思路点拨】先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围再根据内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）1 xmm?x 2xmx?x

20、=，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函）=x+=，构造新函数h（x数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围 三、解答题：本大题共6个小题，共75分。 urrrrun?1a?1aa2,?*m?n?nmnN?n2?（， ）【题文】16，已知向量，）且1?n1na的通项公式；1）求数列 （n1 1?logbabSbb的前n= ）若数列满足，求数列项和 （2n2nnn1nn?【知识点】数列求和D4 n1n?2?a n?1n 2）（【答案】（1）urrrurn?1aa,2?*m?n?nmnNn?2?（，）1，【解析】 （）（），1n?n- 10 - n?1na

21、?10a?a?a?2a?2?0与矛盾，若 1nn?11?nnan?1?2 aa所以即数列是首项为1，公比为2的等比数列 nnn?12a? 所以n1111? 1logQb?a?bbn(n?1)nn?1? （2）=n, =nn21nn?111111nS?1?.? n1n?n1?1223nn? =1-=【思路点拨】根据等比数列求出通项公式，利用裂项求和求出结果。 ? 66x,过两点A（t，fxcos（t）17【题文】已知函数,B(t+1,f(t+1)f(x)=2sin的直线的斜率记为g(t). （1）求g(t)的解析式及其单增区间。 41?(?,1)ttt 25+1）的值。 （2）若g（g()=,且

22、，求000【知识点】三角函数的图象与性质C3 ?x71 2236Z? )，单调递增区间）1,6k-g(t)=cos(6k-+,k【答案】（ 334? 10 2）（?x 366 ）xcosf(x)=2sinx=sin【解析】（1 ?3xx1xxx 233323363) )-sin. =cos.=cos(- sing(t)=f(t+1)+f(t)=sin(+71 22?Z ,k单调递增区间6k-,6k-?t40t 563,则g(）)=cos()=+（20 ?ttt31000t 223633366) g(cos(+)-)+1)=cos(+=sin(+0- 11 - ?tt1300)?,1)(0,t5

23、226633由)=+，所以，sin( 03?334341t102552? =g(+1)=- 所以0 【思路点拨】化简求出解析式根据三角函数的单调性求出最值。为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动为了【题文】18分）了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100，8090）90，60，70），70，80）作为样本（样本容量为n）进行统计按照6050，），），60100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50 100的数据）90， 的值；、y（）求样本容量n和频率分布直方图中的x名学生参分）的学生中随机抽取

24、380（）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含?80,90内的学生人数，3名学生中得分在加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的 的分布列及数学期望。求随机变量X 【知识点】离散型随机变量及其分布列K6 157 y=0.004, x=0.030（）【答案】（）80.016?10=50， （）由题意可知，样本容量【解析】n=250?10=0.004，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030y=； （）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人， 分数在90，100内的学生有2人，共7人。 抽取的3名学生中得分在80，90）的人数X的可能取值为1,2,

25、3 301212CCCCCC241252552?3337CCC77P(X=1)= =, P(X=3)=, P(X=2)= =777所以X的分布列 X 1 2 3 - 12 - 214P 777 15242?7777 EX=1+2=+3所以 （）由样本容量和频数频率的关系易得答案；【思路点拨】人，内的学生有2人，分数在590，100（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有 列分布列求出结果。2x 的导函数的图像如图所示f(x)=a+bx+c(c0)【题文】19.已知二次函数 1）求a,b的值。（)fx(?,21x ）令2g(x)=上的最大值。,求y=g(x)（在 B12 【知识点】导数的应用

26、1?23,0?c?c?1a?2?2?2,cc1?b? 【答案】（12）g(x)max=（） ）=2x+1，）f（x=2ax+b，由图可知，f（x【解析】（1）因为2a?21a?1?b1?b? ，解得由2cx?x?)cc)(x?(xc)(xfc22xxxxx +1，则g（，=x+）=1-=xx2（）g（）=c 2x时，g（）0，g（x）在1，上递增，若1，即0c112 c+32）=；）故g（xmax=g（cc ）单调递减；x0，此时g（x，当，即若121c41x时，g（c x当x2时，g（）xg，此时0（）单调递增；- 13 - 12 =）c+3，）=c+2，g（2又g（112 2）c+3=；）

27、1）g（2，即g（所以当x1c2）时，max=gg（ ；）=c+2）max=g（1）g（2），即g（x当2x4时，g（1c 上单调递减，2（x）在若12，即c4时，g（x）0，g =c+2；1）max=g（）故g（x1?c?3,0?c?2?2?c?2,c?2? 综上所述，g(x)max=【思路点拨】（1）先求出f（x）=2ax+b，根据图象可得f（x）=2x+1，由此可得a，b的方程组； (x?c)(x?c)cc2x 1，g（x）=，分1）先求出（2）由（1g（x），从而可得c2三种情况进行讨论，根据导数符号与单调性的关系可得最大值；2， na,a?6,a4a?a1,?aa?p?3*N?n，

28、满足,p为常数【题文】20已知数列n?n11231n 成等差数列。 1（）求P的值及数列的通项公式；2nbbbna?（2）设数列满足=，求数列的最大项。 nnnn【知识点】单元综合D5 49 （）（）an=3n+n【答案】【解析】（）解：因为a1=4，an+1=an+p?3n+1， 所以a2=a1+p?31+1=3p+5；a3=a2+p?32+1=12p+6 因为a1，a2+6，a3成等差数列，所以2（a2+6）=a1+a3， 即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2 依题意，an+1=an+2?3n+1， 所以当n2时，a2-a1=2?31+1，a3-a2=2?32+1， an-1-an-2=2?3n-2+1，an-an-1=2?3n-1+1 相加得an-a1=2(3n-1+3n-2+32+3)+n-1， n?1)3(1?31?3+(n-1)，所以所以an-a1=2an=3n+n 当n=1时，a1=31+1=4成立，所以an=3n+n - 14 - 2n2n n nn)?(3?n3bn=，所以 =（）证明：因为an=3n+n222?2n?2n(n?1)1n 1?1nn?n333=，（nN*）因为