材料力学第四章 弹性杆横截面上的切应力分析

1、第四章 弹性杆横截面上的切应力分析4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ，又有切应力 。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1矩形截面梁对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力FQ。现分析距中性轴z为y的横线上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力FQ的方向一致。由于对称的关系，横线中点处的剪应力也必与FQ的方向

2、相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想线上各点切应力的方向皆平行于剪力FQ。又因截面高度h大于宽度b，切应力的数值沿横线不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力FQ。图4-162）切应力沿截面宽度均匀分布。 图4-15基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16c所示，现欲求距中性轴z为y的横线处的切应力 。过用平行于中性层的纵截面自dx微段中截出一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均

3、匀分布的剪应力 。微块左右侧面上正应力的合力分别为和，其中 （4-29） (4-30)式中，为微块的侧面面积，为面积中距中性轴为 处的正应力，。由微块沿x方向的平衡条件，得 （4-31）将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得故 因，故求得横截面上距中性轴为 y处横线上各点的剪应力为 （4-32）式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，为截面上的剪力； 为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为面积对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图4-17），可取，于是这样，式（4-32）可写成 图4-17 上式表明，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化（图4-17）。

4、 在截面上、下边缘处，y=,=0；在中性轴上，y=0，切应力值最大，其值为 （4-33）式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的倍。2圆形截面梁在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力FQ，设为均匀分布，其值为最大。由式（4-32）求得 图4-18 （4-34）式中，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的倍。3工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其值为 图4-19式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢