考试题库 数学分析

1、第一套 一，选择题：（每题3分，共15分） 1，已知 A：2, B：，f (x) = ( ) C： D：A：0 B：1 C：2 D：3 3，f (x) 在 x0 点连续，则下列命题不成立的是（ ）。A：f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在 B：f (x) 在 x0 点的极限存在 C：f (x) 在 x0 点的某邻域内有界 D：f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续 4， (x) 在 a 点连续， f (x) = | x - a | (x)， f(a) 存在的条件是 ( ) 。A： (a) = 0 B： (a) = 1 C： (a) = -1 D： (a) = a5，设 f (x

2、) = x (x + 1)(x + 2) (x +2004) , 则 f (0) = ( ) A：0 B：2003！ C：2004！ D：2005！， 二，填空题：（每题3分共15分） 1，数列an 收敛的柯西准则是：4，如果正方形的边长增加1 cm ，面积的微分 dS = 12 cm ，则原边长为 。x 25，方程 e = x 的根是 个。 三，计算题：（每题5分，共20分）2 五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形。 (14分) 六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？ 七，对函数 f（x）= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明：

3、（8分） 存在。 八、设 f (x) 在开区间 I 上为凸函数，证明：第二套 一，选择题：（每题3分，共15分）1，函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是（ ）A：x 0 B：x 0 C：x 1 D：x 1 2, A：奇 B：偶 C：既奇又偶 D：非奇非偶 3，f (x) 在 x0 点连续的充分条件是（ ）。A：f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在 B：f (x) 在 x0 点的极限存在 C： f- (x0 ) 、f+ (x0 ) 存在 D：f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续 4，f (x) 在 x0 点可导是 f (x) 在( x0 , f (x0) 点有切线

4、的( ) 条件。 A：充分 B：必要 C：充分必要 D：非充分亦非必要5，设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) (x +2003) , 则 f (0) = ( ) A：0 B：2002！ C：2003！ D：2004！， 二，填空题：（每题3分共15分）01，设函数 f (x) 在 x0 的某空心邻域 U (x0) 内有定义，则柯西收敛准则是：4，如果正方体各棱长增加1 cm ，体积的微分 dV = 12 cm ，则原棱长为 。 5，函数 y = x - sin x 在（- 2，2）内的拐点个数是 个。 三，计算题：（每题5分，共20分） 3五，讨论函数 f (x) = 的性态

5、并作出其图形。 (14分)六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ，要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米？（10分）七，设 f（x）、g（x）在D上有界，证明： （8分）第三套一、 单项选择（每小题3分，共18分） 1、 已知函数y?f(x)的定义域是(0,1)，则y?f(lnx)的定义域为（ ） (a) (?,0) (b) (0,1) (c) (1,e) (d) (0,?) 2、对常数函数 y = C , 下列说法中错误的是( ) (a)既是奇函数也是偶函数 (b)既有上界又有下界 (c)既单调递增也单调递减 (d)没有最小正周期的周期函数 3、f?(x)?0是f(x)严格增

6、加的( )条件 (a)充分 (b)必要 (c)充要 (d)既非充分也非必要f(?h)?f(0)lim?f(x)?tgx,h?02h4、设则( )11?(a) 2 (b) 0 (c) 2 (d) 22f(x)?ln(x?x?1)的奇偶性是（ ） 5、函数(a)奇函数 （b）偶函数 （c）既奇又偶函数 (d)非奇非偶函数1?S?(?1)n?n?的聚点是（ ） ?6、点集（a） 0 (b) 1 (c) 1 (d)1和-1 二、 计算（每小题6分，共30分）11lim(?x)lim(n?1?n)x?0xn?e?11、 2、1?cosx21xcoslim3x3、 x?0xsinx 4、y?e , 求y?

7、2?x?etcostdy?t25、?y?esint , 求dx 三、 做一无盖圆柱形容器，给定体积为V。问底半径与高的比如何取时最省材料？（8分）4四、 将函数f(x)?cos(sinx)展开到x项，并用之计算极限cos(sinx)?cosxlimx?0x4 （8分） limf(x)x五、叙述?类型函数极限的归结原则，并用之证明：limf(x)若f(x)为周期函数，且x?=0，则f(x)?0（8分）?sinx20?x?2时，x?（8分） 六、证明不等式：七、证明Weierstrass聚点定理：直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。（8分）八、 1、作函数y?lnxx的图像，并2003比较200

8、2与20032002的大小。3n1,2,3,L,n,L的最大项。2、求数列（12分）第四套五、 单项选择（每小题3分，共18分） 1、 已知函数y?ln(lnx)的定义域是（ ）(a) (?,0) (b) (0,1) (c) (1,e) (d) (1,?) 2、1、下列各组函数中相等的是( )22y?xy?(x)y?x (a)与 (b) 与y?xxy?x 与 y?1 （d）y?sin(arcsinx)与y?x (c) 3、函数y?f(x)在x?a可导是曲线y?f(x)在点?a,f(a)?处存在切线的( )条件 (a)充分 (b)必要 (c)充要 (d)既非充分也非必要f?(0)?1,f(0)?

9、0limf(h)?4、设则h?0h( )(a) ?1- (b) 0 (c) 1 (d) 不存在 5、对常数函数 y = C , 下列说法中错误的是( ) (a) 既有上界又有下界 (b)既是奇函数也是偶函数 (c)既单调递增也单调递减 (d)没有最小正周期的周期函数x?sinxlim?x?0x?sinx6、（ ）（a） 1 (b) 0 (c) 1 (d)不存在 六、 计算（每小题6分，共30分）311lim(1?)nlim(?)n?x?1x?1nlnx1、 2、 3、 x?0 4、y?ln(tgx) , 求y?2?x?2t?t2dy?325、?y?3t?t , 求dx4y?x?2写成(x?1)

10、的升幂排列（8分） 七、 试将多项式八、 在半径为R的半圆内作一矩形，如何作其面积最大？（8分）lim(x2?x?3)?3五、用极限的定义证明：x?1 (8分)3六、明方程x?3x?c?0(c为常数)在（0，1）内没有两个不同实根。（8分）lim?xx七、已知f?(a)存在，证明：f(a?h)?f(a?h)?2f(a)lim?f?(a)2h?0h (8分)xy?1?x2的图像（12分） 八、作函数第五套一、 选择题：（每题3分，共15分）lnxxf?(x)dx?1、若x为f(x)的一个原函数，则?（ ）。lnx1?lnx112lnx?C?C?C?C2xA：x B：x C：x D：x2、设?x0

11、f(t)dt?ln?5?x2?，则f(x)?（ ）。52A：5?x2x?2x B：5?x2 C：5?x2 D：5x3、下列反常积分收敛的是（ ）。?A：?11?lnx?x2dxdxcosxdxxedx?x B：?ex00 C： D：?lnn?4、级数为（ ）级数。A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散 n?2?ln(n?1)?lnn2(x?1)n?n2n的收敛域为（ ）n?15、幂级数。A：(?2,2) B：?2,2) C：?1,3) D：(?1,3)?二、 填空题：（每题3分，共15分）xf?(x)dx?1、 设f(x)的一个原函数为lnx，则 。2、 已知函数?y?tetdt0x，

12、则y?(0)? 。2y?1?x3、 曲线与x轴围成的图形的面积为 。1?(5n?4)(5n?1)4、 n?1 。5、 函数f(x)?ln(1?x)的麦克劳林级数是 。三、 计算题：（每题4分，共20分）?3sinx12dxdxx?x?0sinx?cosxe?e1、计算 2、计算3、求心脏线r?a(1?cos?),(a?0)的周长。x3x5S(x)?x?L354、已知：求： S(x)。 a0?ancosnx?bnsinnx?xa,b5、已知：2n?1， x?(?,?)求：nn。四、 设y?f(x)为a,b上严格增的 连续函数，证明：?(a,b)，使得图中两阴影的面积相等。?1?1?1?x21?e

13、dx?1?e?02e 五、 证明不等式：2?yy=f(x)0 a?b x六、证明函数列fn(x)?x1?n2x2在(?,?)上一致收敛。2f(x)?ln1?x七、求的麦克劳林展开式。八、一个半径为20米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。第六套六、 选择题：（每题3分，共15分） 1、若f(x)可导，则?f(x)dx?（ ）。?A：f(x) B：f(x)?C C：f?(x) D：f?(x)?C2xf(x)dx?f(x)2、设的一个原函数为sinx，则0（ ）。?1?1A：0 B：2 C：2 D：23、瑕积分a收敛是a收敛的（ ）条件。A：充分 B：必要 C：充分必要 D：非充分亦非必要

14、 ?bf(x)dx?bf2(x)dx?lnn?4、级数为（ ）级数。A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散 n?2?ln(n?1)?lnn2xn?n5、幂级数n?12n的收敛域为（ ）。?A：(?2,2) B：?2,2) C：(?2,2 D：?2,2 七、 填空题：（每题3分，共15分） 6、 ?xxde? 。7、 已知?0?ekxdx?215，则k? 。28、 曲线y?x与x?y轴围成的图形的面积为 。1?9、 n?1(2n?1)(2n?1) 。xf(x)?e10、 函数的麦克劳林级数 。八、 计算题：（每题4分，共20分）?1cosx2dx?1?xdx?01?sin2x1、计算 2

15、、计算x2y2?2?12b3、求心椭圆a所围的面积。 xn?2nn?2n?14、求：的收敛半径、收敛区间、收敛域。 ?xf(x)?2，x?(0,2?)的傅里叶展开式。 5、求函数dx(x?t)f?(t)dt?ay?f(x)dx九、 设连续可微函数，求。4elnx3e?dx?6ex十、 证明不等式：?122ln1?nx?3n六、证明：在0,1上一致收敛。 1f(x)?3?x的麦克劳林展开式。 七、求八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力。第七套一、单项选择（每小题3分，共15分） 1、已知F?(x)?f(x), 则?f(x

16、)dx?( )；C2A、F(x)?sinC B、F(x)?e C、F(x)?C D、F(x)?lnC 2、?df(x)?（ ）；liman?0A、f(x) B、f?(x) C、f(x)?C D、f?(x)?C3、n?是级数收敛的（ ）条件；A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要?anxn?n的收敛域为( )；4、幂级数A、(-1,1) B、?1,1 C、?1,1) D、(?1,15、下列广义积分中，收敛的是（ ）。x C、A、 B、二、填空：（每小题3分，共12分）01?11xdx?1dx?1111dxdxx D、?0x1dx?1?x21、_;?2?2、n?1n (

17、n?1)_；?an?11nlim?a(x?1)?nn?a2，则幂级数n?1n3、已知的收敛区间为_；?4、?1_；三、计算不定积分或求定积分的值。（每小题6分，共24分）01?x2dx?x 2 lnxdx?x1 3 ecos2xdx 1 dx2e1?x0 12xsintxf(x)dxf(x)?dt1t4、设，求0111 lim(?.?)2222n?n?nn?2nn?n。(9分) 四、用定积分求极限?4?e?xn ?五、求幂级数n?1n?1的收敛域及和函数 S(x)。（10分）?x2 y?2 y?x4和 y?1所围平面区域的面积。六、求曲线、（10分）七、证明：（每小题10分，共20分） 1、设

18、f(x)是以T为周期的连续函数，证明：2、 函数列?a?Taf?f0Tfn(x)?x1?n2x2在?,?上一致收敛。第八套五、单项选择（每小题3分，共15分） 1、已知?f(x)dx?cosx?C, 则f(x)?( )；（ ）；A、sinx B、cosx C、?sinx D、?cosx 2、d?f(x)dx?A、f(x) B、f?(x) C、f(x)dx D、f?(x)dx3、连续是可积的（ ）条件；A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要xn?n!的收敛域为( )；4、幂级数A、(-1,1) B、(? , ?) C、?1,1) D、(?1,15、下列广义积分中，收敛

19、的是（ ）。 A、1六、填空：（每小题3分，共12分）?1?1111dxdx?x C、?1xdx D、?0xdxx2 B、11、?111?xn?102dx?_;_； x2n2n的收敛半径为_；2、n?1?nx?3、幂级数n?1lnxdx?x4、_。10?七、计算不定积分或求定积分的值。（每小题8分，共24分） 1 ?x(x?1)dx 2 ?(x2?1)lnxdxn?八、用定积分求极限 五、求幂级数 lim(111?.?)n?1n?2n?n。(9分) 3 ?12dxxx?1 ?nxnn?1?的收敛域及和函数 S(x)。（10分）x2y2 2? 2?1b六、求椭圆a绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体

20、积。（10分）七、证明：（每小题10分，共20分）1、 设f(x)在 a , a 上连续，证明：当f(x)为偶函数时，当f(x)为奇函数时，?a?af?2?f0a?a?af?0x?1?n4x2?,?3、 函数项级数在上一致收敛。第九套22E? (x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 的内点、外点、聚点集和边界。一、确定集（8分） .xy?22 , x?y?0 ,?22f(x,y)?x?y?220 , x?y?0 在原点的可微性（8分） . . ?二、考查函数lim(x2?xy?y2)?7三、用定义,验证极限 (x,y)?(2,1).（8分）?z?z22v?xsiny. 求?x和?y（8分）

21、 四、z?uv?uv, u?xcosy , 1F(x,y)?y?x?siny?02五、验证方程在点( 0 , 0 )满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数（10分） . 六、要做一个无盖的圆柱形容器，其容量为V，问如何截取容器的高和底面半径，所用材料最省？（10分） 七、八、?zdxdydz,VV22z?x?y,z?1,z?2所围成；由曲面（12分）?(xS2?y2)dS，其中S是立体x?y?z?1的边界曲面；（12分），L为以A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1)为顶点的正方形22九、L沿逆时针方向（12分） 十、S?(x2?y2)dx?(x2?y2)dy333

22、xdydz?ydzdx?zdxdy?2222x?y?z?aS，为球面的外测。（12分）第十套一、确定集E? (x,y)|xy?0 的内点、外点、聚点集和边界（8分） . 二、叙述x?x0y?y0limf?x,y?的定义（6分）x?yx2?y2. 求fx( 2 , ?1 ).（8分） x2y2lim(x,y)?(0,0)x2?y2四、求极限 .的值。（8分）三、已知f(x,y)?z?z22v?xsiny. 求?x和?y.（10分） 五、已知z?u?v, u?xcosy , 32u?xyz为最大。 x, y, z六、 将数12分成三个正数之和， 使得七、求方程lnx2?y2?arctg2222yx

23、所确定的隐函数的导数 . （12分） 22八、求球体x?y?z?R被圆柱面x?y?Rx所割下立体的体积 （12分）. 九、十、?zdxdydz,VV22222z?x?y,x?y?(z?1)?1所围成；由曲面（12分）?L(x2?y2)ds，其中L是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形（12分）；第十一套一，选择题：（每题3分，共15分）2, 函数 f (x, y) = 的全微分为( ) 。 A： B： C： D： 二，填空题：（每题3分共15分）3，设 z = f (x, y) , x = r cos t , y = r sin t , 则4，曲线 x = t - sin t ，

24、 y = 1 + cos t ，z = 1 - cos t 在点 ( ，0，2 ) 的法平面方程为 。三，计算题：（每题5分，共计20分）21，求 u = ln ( x + y ) 在 (4, 3 ) 点处的全微分。 2 2 22、求曲面 9 x + y - z = 9 在点（1，1，1）处的切平面方程。4、计算二重积分 ，D：0 y x，0 x 1 。2 2四、求圆 (x - 3) + y = 1 与抛物线 y = x2 之间的最短距离。(10分) 五、设 u = f (x - y)，证明： 2 2 （ 10分） (10分)第十二套一，选择题：（每题4分，共20分）21、设f(x,y)?x?

25、(y?1)arccosx?y，则fx?(x,1)?( )。 2A：x B：arcsinx?y C：1 D：y4422f(x,y)?x?y?4xy在(1,1)的全微分为 ( )。 2、函数A：2dx?2dy B：4dx?4dyC：?4dx?4dy D：?2dx?2dy dy?xy?3xy?1?0dx3、已知，则( )。2422xy?12x3y212x2y2?2y243A：x?6xy B：x?6xy 12x2y2?2y6x2y2?y33C：x?6xy D：x?3xy4，设A：B：?Df(x,y)dxdy?dx?022xxf(x,y)dy，则交换积分次序后为 ( )。 ?202dy?yf(x,y)d

26、x?dy?yf(x,y)dx222y4202dy?yf(x,y)dx?dy?yf(x,y)dx22224yC：?0D：dy?22yf(x,y)dx?dy?24y2yf(x,y)dx?ydy?f(x,y)dx?ydy?f(x,y)dx202222y45，锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所截部分的面积是( )。A：2? B：2? C：22? D：32? 二，填空题：（每题4分共20分）2所围成的空间几何体在xoy平面上的1、抛物柱面y?x与平面投影是： 。222、由方程x?2xy?2y?1所确定的隐函数的极小值是 。?2z?22z?f(xy,y)?y3、已知，则 。y?0,z?0,x?z?4点切

27、线方程为 。dy?dx?2?Lx?yy?x?4B(2,0)A(0,?4)5，设L是抛物线从到的一段，则 。4，曲线x?asint,y?bsintcost,z?ccost在22t?三、计算题：(每题5分，共20分)z2x2y2u?2?2?2gradu|(a,b,c)。 cab，求(1)、 设22 (2)、 求函数f(x,y)?2x?xy?y?6x?3y?5在(1,?2)处的泰勒展式。22 (3)、 求f(x,y)?x?y在条件x?y?1下的极值。 (4)、计算曲线积分?23L2y2?z2ds2222，其中L是x?y?z?a与x?y相交的圆周。四、证明函数f(x,y)?x2?y2在(0,0)连续，

28、但偏导数不存在。(10分)2323五，证明平面曲线x?y?a(a?0)上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。 ( 10分)?22六，设D?(x,y):x?y?y,x?0，请给出二重积分D下的两个累次积分。( 10分) 七，对于全微分式函数u(x,y)。( 10分)yxyex?e(x?y?2)?y?dx?e?e(x?y)?1?dyf(x,y)dxdy在极坐标变换，验证原函数存在，并求原22x?y?1，其中S是球面八、计算y的上半部分并取外侧。 x?y?1?yzdzdxS0 参考答案 第一套 一，选择题：（每题3分，共15分）1，C； 2，A； 3，D； 4，A； 5，C。 二，填空题：（每题3

29、分共15分） 1，2，a = 1，b = -1； 3， 2 f (a) ； 4 ，6 ； 5， 2 。 三，计算题：（每题5分，共20分） 解： 解： 解：证： ，故结论成立。五，讨论函数 f (x) = 解：1 定义域：R ； 2 f (x) = 3 f(x) = 4 列表： 的性态并作出其图形。 (14分) , 令 f (x) = 0 得：x = 1 ； ，令 f(x) = 0 得：x = 2 ；? ? x y y y5渐近线：(-，1) 1 极大(1，2) 2 拐点(2，+) ， y = 0 为水平渐近线； 6 特殊点：(0，0)，(1，1)，(2, 2e -2) 7作图：y 101 x

30、 2六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？ 解：设底面半径为 r ，高为 h ，则目标函数为：S = 2r h + r 2约束条件为：V = r 2h， 代入目标函数得： , 令 S= 0 得：, 代入约束条件中得：所以 当高等于半径时，窗容器表面积最小。 七，对函数 f（x）= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明： （8分）证：由拉格朗日定理得：即 八、设 f (x) 在开区间 I 上为凸函数，证明：证：作函数 f (x) 在开区间 I 上为凸函数， F(x) 在 x = 0 的右邻域内单调上升，而 I 是一开区间，所以 I 中能找到一点 x

31、 0 上有下界， 由单调有界定理知：x?0故 存在 ，同理可证 存在。 存在。lim?f(x0?x)?f(x0)x存在，第二套 一，选择题：（每题3分，共15分）1，C；2, A；3，C；4，A；5，C。 二，填空题：（每题3分共15分）2，a = 4 ；b = - 12； 3，f (x) ； 4，2； 5，3。 三，计算题：（每题5分，共20分）解：设 u = x ，v = ( 1 - x )- 1 , 则 u(k) = n (n - 1) (n - k + 1) xn-kn= 而 v(k) = k! ( 1 - x)- k - 1 , 由莱布尼兹公式得： 五，讨论函数 f (x) = 解：

32、1，定义域：x 1； 的性态并作出其图形。 (14分) y 3，列表： x y 屹 y(- , -1-1) + - 0 - -2 极大(-1, 1) (1, 3)- - - + 3 0 + 0 极小(3, +)+ + 4，与坐标轴的交点：（3，0）、（0，- ）；6，作图： x 0 1 六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ，要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米？（10分）解：七，设 f（x）、g（x）在D上有界，证明： （8分） 第三套一、 n?1?n二、1、 原式=xxex?1?xe?1e1lim?lim?lim?x?0x(ex?1)x?0ex?1?xx?0ex?12 =

33、n?lim1?0 2、原式x2x222sin2()122lim3?lim?x?02 x3x 3、原式=x?0xsinx24、y?excos1x(cos111dysint?cost?sin)?xxx 5、dxcost?sint,d2y(cost?sint)2?(sint?cost)22?dx2et(cost?sint)3et(cost?sint)3V3R?3?k,表面积三、 底半径为R,高为kR,则V?kR,即VS(k)?R?2?kR?()3(1?2k)k,令22132四、12?3?2?V?V?V?3?1?2k?2?0,?k?1S?(k)?23kk?k?13x32x34(x?)(x?)sin2x

34、sin4x43!3!?o(x4)cos(sinx)?1?o(sinx)?1?2!4!224x25x41?o(x4)224x25x4x2x4(1?)?(1?)?o(x4)cos(sinx)?cosx1224224lim?lim?x?0x?06 x4x4 五、x?limf(x)?A?xn?,limxn?,n?都有n?limf(xn)?A证明：设周期为T。反证：若?x0,?f(x0)?0,则令xn?x0?nT?，limf(xn)?f(x0)?0,但n?矛盾?20?x?sinx?2时，?（8分） 六、22f(x)?sinx?x,f?(x)?cosx? 设2sinx20?x?arccosf?(x)?0,

35、f(x)?,f(x)?f(0)?0,?x? 当时，2?sinx2arccos?x?f?(x)?0,f(x)?,f(x)?f()?0,?2时，2x?综上，当命题得证。七、见书P219八、略第四套九、 3lim(1?)n二、1、 原式=n?n(?3)3 ?11?12lnx?x?11xxlim?lim?lim?x?1(x?1)lnxx?11x?1112lnx?1?2xxx2、原式=?e?31lnxlim?xlnx?lim?lim?x?0,?lim?xx?e0?1x?0x?0x?0?1x?01xx23、 sec2x2y?tgxsin2x 4、3dy3?3t3?3tdy2?3?2, dx22?2t4?4

36、t 5、dx2?2t2232(4)?y?4x,y?12x,y?24x,y?24 三、y?x4?2?1?4(x?1)?6(x?1)2?4(x?1)3?(x?1)4 四、如图：矩形的面积为S?2Rcos?Rsin?R2sin2?,S?2R2cos2?0?45?(0?90?) 令?O五、证明： 限制x?1?1,即0?x?2,?f0,?f0,?x,0px?1p?,x2?x?3?3?xx?1p2?min?1,?2?即可只需取3f(x)?x?3x?c,若?x1,x2?(0,1),?f(x1)?f(x2)?0,则可由罗六、反证：设?(0,1),?f?(?1)?0尔中值定理，2然而方程f?(x)?3x?3?0

37、在（0，1）内无实根，故原命题成立。 (8分)f?(a)2f(a?h)?f(a)?f?(a)h?h?o(h2)2!七、证明： f?(a)2f(a?h)?f(a)?f?(a)h?h?o(h2)2!以上两式相加得：f(a?h)?f(a?h)?2f(a)?f?(a)h2?o(h2)f(a?h)?f(a?h)?2f(a)f?(a)h2?o(h2)lim?lim?f?(a)22h?0h?0hh所以八、略九、第五套十一、 选择题：（每题3分，共15分）1、D：2、C；3、D；4、B；5、C。十二、 填空题：（每题3分，共15分） 11、 十三、41111x?x2?x3?L?(?1)n?1xn?L?lnx?

38、C；2、1；3、3；4、5；5、23n计算题：（每题4分，共20分）?sin3x12dxdxx?x?0sinx?cosxe?e1、计算 2、计算1?dxx?tx?x?2解：e?e 解：作变换得：ex1?2xdx?dex2e?11?ex?3 sinxcosx2dx?sinx?cosx?0sinx?cosxdx?arctanex?C 所以 ?3sinx1?02sinx?cosxdx?2?02?1?sin2x?dx20?3 x?4x3x5S(x)?x?Lr?a(1?cos?),(a?0)353、求心脏线 4、已知：的周长。 求： S(x)。24?S(x)?1?x?x?L 解： 解：1?2?2?2a(

39、1?cos?)d?20 1?x ?x?1?4a?cosd?8aS(x)?dt20021?t 所以 s?2?0r2?r?2d? 11?xln21?xa0?ancosnx?bnsinnx?xa,b2n?15、已知：， x?(?,?)求：nn。解：an?xcosnxdx?0?1?bn?1?xsinnxdx?2?yn?10xsinnxdx2(?1)2?2(?1)?cosnxdx?nn?0n十四、 设y?f(x)为a,b上严格增的 连续函数，证明：?(a,b)，使得图中两?阴影的面积相等。 证：设n?1y=F(t)?f(x)?f(a)?dx?atbt?f(b)?f(x)?dx0a?bx则F(a)?ba?

40、f(b)?f(x)?dx?0b而，F(b)?f(x)?f(a)?dx?0，所以?(a,b)，?“F(?)?0”atb即?f(x)?f(a)?dx?f(b)?f(x)?dx，故结论成立。a?1?1?1?x21?edx?1?02e2e ?十五、 证明不等式：证：?0e?x2dx?e01?x2dx?e1?x2dx?e01?x2dx?xe?xdx?01211?x22ed?x?2?0?1?12e?0?1?e?x2dx?e01?x2dx?e1?x2dx?1?0xe?x2dx?1?1?x22ed?x?2?1故结论成立。12ex1?n2x2在(?,?)上一致收敛。 六、证明函数列x12nx1fn(x)?1?n

41、2x22n1?n2x22n 证：因为1xlim?0fn(x)?1?n2x2在(?,?)上一致收敛。 而n?2n 所以fn(x)?七、求f(x)?ln1?x的麦克劳林展开式。21f(x)?ln1?x2?ln(1?x2)2解：因为?(?1)n?1n(?1)n?12n2ln(1?x)?xln(1?x)?xnnn?1n?1而，所以 故?(?1)n?12nf(x)?x2nn?1 x?1,1?八、一个半径为20 米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。解：如图建立坐标系，在0,20中取微元dx，则体积微元?dx，dM?g?20?x?dxdW?g?20?x?xdx质量微元，微功 ，W?g?20?x?xdx?g?400?x?xdx求积分得总功为： 0dV?20?x2222222222022220200= (千焦). 此即所求。 y 第六套一、选择题：（每题3分，共15分）1、A；2、D；3、D；4、B；5、B。 二、填空题：（每题3分，共15分）y?202?x2xx2xn11xe?1?x?L?L?x?xxe?e?C2!n!1、；2、5；3、3；4、2；5、三、计算题：（每题4分，共20分）?1cosx2dx?1?xdx?01?sin2x1、计算 2、计算?12tdtcosx2dx?dx?1?x?1?t?01?sin2x解： 解：1dsinx