201X_202x学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球北师大版必修2

1、7.3球,1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆,2.球的切线 (1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,其中它们的交点称为直线与球的切点. (2)过球外一点的所有切线的长度都相等,这切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥,3.球的表面积和体积,做一做】 直径为6的球的表面积和体积分别是 () A.144,144B.144,36 C.36,144D.36,36,答案:D,名师点拨1.球的表面积与体积由它的半径唯一确定,因此求球的表面积、体积的关键是求出球的半径. 2.球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,即

2、使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的表面没有展开图,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)过球外一点有且只有一条切线与球相切. () (2)球面上的任意三点确定一个平面. () (3)如果一个球的体积变为原来的27倍,那么对应的球的表面积变为原来的3倍. (,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一球的表面积与体积 【例1】 (1)平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为 ,则此球的体积为. (2)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA平面ABC,SBBC,SA=1,AB=BC=2,则球O的表面积为,解析:(1)如

3、图所示,设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点,探究一,探究二,探究三,易错辨析,2)由题知SAC,SAB,SBC均为直角三角形,O是SC的中点,如图所示,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.计算球的表面积和体积关键是计算球的半径,而计算半径的关键是寻找球心的位置. 2.当球的半径增加为原来的2倍时,球的表面积增加为原来的4倍,球的体积增加为原来的8倍. 3.注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时,也可以求出球的半径,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1(1)球的表面积扩大到原来的2倍,球的体积扩大到原来的(,2)如图所示的是一个几何体的三视图,根据图中的数

4、据可得该几何体的表面积为,探究一,探究二,探究三,易错辨析,2)由三视图可知该几何体是由圆锥和半球组成的组合体.球半径和圆锥底面半径都等于3,圆锥的母线长等于5,高为4,所以该几何体的表面积S=232+35=33. 答案:(1)C(2)33,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究二球的表面积与体积的应用 【例2】一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在此容器内注入水并且放入一个半径为 的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少? 分析:设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,则水面下降,减少的体积就是球的体积,建立一个关系式来解决,探究一,探究二,探究三,

5、易错辨析,解:设PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面高PC=h,球取出后水面高PH=x,球的半径为r= ,如图所示,故球取出后水面的高为15,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中,要分清是涉及体积还是涉及表面积问题,然后再利用等量关系进行计算. 2.涉及球的应用问题画出截面图是解题的关键.有关球的截面的性质:(1)用一个平面去截一个球,截面是圆面;(2)球心和截面圆圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足勾股定理,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2圆柱形烧杯内壁半径为5

6、cm,两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降(,解析:设烧杯内的水面将下降h cm,答案:A,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究三球的切、接问题 【例3】 正方体的内切球和外接球的表面积之比为(,解析:正方体的棱长等于内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设正方体的棱长是a,内切球半径为r,外接球半径为R,内切球的表面积为S,外接球的表面积为S,答案:C,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.有关球的常见切接问题 球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出截面图. 2

7、.球与正方体的切接问题 若正方体的棱长为a,则: (1)正方体的内切球的直径为a,如图所示,变式训练3一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 ,底面周长为3,则这个球的体积为,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,因考虑不全面而致误 【典例】 已知球的两个平行截面的面积分别为5和8,且距离为3,求这个球的表面积. 错解如图所示,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正解:当两截面在球心的同侧时,解法同上. 当两截面在球心的异

8、侧时,d1+d2=3, 由以上解法可知(d1-d2)(d1+d2)=3,纠错心得1.由于球是一个很特殊的对称体,满足条件的两截面可能出现在球心同侧或异侧. 2.本例中错解显然遗漏了截面在球心异侧的情况,1,2,3,4,5,1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,2.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是(,解析:设正方体的棱长为a,球的半径为R,由6a2=4R2,答案:A,1,2,3,4,5,3.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为() A.3a2B.6a2C.12a2D.24a2,解析:由于长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,因此长方体的体对角,所以S球=4R2=6a2. 答案:B,1,2,3,4,5,4.已