高考数学复习-概率与统计中的综合问题（附答案）

概率与统计中的综合问题

一、单项选择题

1.已知随机变量X服从二项分布3（4,p）,其期望E（X）=3,随机变量y服从正态分布

Ml,2）,若尸（丫>0）=〃,则P（0vy<2）=（）

2.设一个正三棱柱A8C-DEE每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点

出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点算一次爬行，若它选择三个方向爬行的

概率相等，若蚂蚁爬行10次,仍然在.上底面的概率为Po,则Po为（）

A.超）叼B.史吗

C©坞D怜丐

3.设随机变量M服从正态分布，且函数-61+M没有零点的概率为去函数

g（x）=2/-4x+2M有两个零点的概率为三若则in=（）

A.17B.10

C.9D.不能确定

二、填空题

4.（2024•江西高三开学考试）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一

人赢得三H时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概

率都是且各局比赛结果相互独立.若甲以3：1获胜的概率不高于日以

3:2获胜的概率，则p的取值范围为.

5.设随机变量<;服从二项分布8（59,则函数2+4X+。存在零点的概率

是.

6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为〃，得2分的概率为匕,得0分的概率

为以4Ec£（O』））,已知他投篮一次得分的数学期望为2,则工+点的最小值

a2b

为.

三、解答题

7.（13分）（2025・八省联考,15）为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物

（单位:只）试验，得到如下列联表：

疾病

药物合计

未患病患病

未服用10080S

服用15070220

合计250t400

(1)求S,Z；

（2）记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值;

⑶根据小概率值«=0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效?

n(ad-bc)2

附:72

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

U.0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

8.（15分）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位:cm）介于［15,25］,

现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量,所得数据统计如右图所示.

⑴求。的值；

（2）若从高度在［15,17）和［17,19）中分层随机抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3

株，记高度在［15,17）内的株数为X,求X的分布列及数学期望夙X）;

（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在［21,25］的

条件下，至多1株高度低于23cm的概率.

9.（15分）随着网络技术的迅速发展,各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销

售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数

量（都在100箱至U600箱之间汁青况如下：

丑橘数量速菖[100,[200,[300,[400,[500,

20()1300)400)500)600]

购物群数量/个a18。+8。+2018

⑴求实数。的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）.

（2）假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布M〃,『）淇中〃为⑴中的平

均数,/=12100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2（）00个，销售丑橘的数量

在［266,596）（单位:箱）内的群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级

群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”

奖励100（）元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要

准备多少元？

附:若X服从正态分布则尸减.683,心-

2cr<X<〃+2b）y0.954,q（4-3cr<X<"+3亦0.997.

10.（15分）（2024•福建三明模拟）2023年,中国新能源汽车销售火爆,A省相关部门

调查了该省2023年1月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据

（居V）（i=l,2,…,10）,其中H表示第i个月表示第i个月A省新能源汽车的销量

（单位:万辆），由样本数据的散点图可知,y与x具有线性相关关系,并将这10个月

的数据作了初步处理，得到下面•些统计量的值：

101010

y£疗XV

1=1i=li=l

1.589.138515

⑴建立》关于x的线性回归方程,并估计A省12月份新能源汽车的销量.

（2）为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查,A省汽车行业协会针对新能源汽车销

售商开展抽奖活动，所有费用由某新能源汽车厂商赞助.奖项共设一、二、三等奖

三个奖项,其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元，抽中

一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为现有甲、乙两家汽车销售商参加了

抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立,求这两家汽车销售商所获奖金总额X（单

位:万元）的分布列及数学期望.

附:对于一组数据51,0）,（〃2,也）「・,（〃〃,口“）淇回归直线〃=a+的斜率和截距的

n

AXUiVi-nuvAA

最小二乘估计分别为夕=鼻——7,a=v-pu.

E谱疝

i=l

11.（17分）每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.某公司组织全员每

天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云''的系列纪念币奖励员工,该系列纪念币

有4AA,A4四种.每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼锻

炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币.

⑴某员工活动前两天获得4,A%则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的

概率是多少？

（2）通过抽样调查发现:活动首日有:的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”;在

4

前一天选择“球类”的员工中，次日会有强员工继续选择“球类”，其余的选择“田

径”;在前一天选择“田径”的员工中,次日会有软勺员工继续选择“田径”，其余的选择

"球类''.用频率估计概率，记某员工第〃天选择“球类”的概率为Pn.

①计算升求Pn.

②该集团公司共有员工1400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有

多少员工参加“球类”和“田径”运动.

12.（17分）（2024•浙江台州二模）某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大

广告投入.该公司近5年的年广告费双单位:百万元）和年销售量双单位:百万辆）

关系如图所示.

4t年销售量/百万辆

2

0

8

6

4

2

123456

年广告费/百万元

令s=lnr（i=l,2,・・・,5）,数据经过初步处理得:

55

55555£89)e-

22

2vSv/£(-V/-X)£(»歹)£(V/-V)i=li=l

i=li=li=li=li=l

y)v)

444.81040.31.61219.58.06

现有①产和②x+〃2两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归

分析模型，其中。血〃2,〃均为常数.

（1）请从相关系数的角度，分析哪•个模型拟合程度更好?

(2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出,，关于x的

回归方程，并预测年广告费为6百万元时，产品的年销售量是多少？

(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在

加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电

动车的年净利润除受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量4影响,设随机

变量4服从正态分布M600〃),且满足。(。800)二03在⑵的条件下，求该公司年

净利润的最大值大于1000(百万元)的概率.(年净利润二毛利润x年销售量.年广告

费-年研发经费.随机变量)

£(%i-x)(yi-y)

附:①相关系数r=i=1

L(卬幻2X(打歹)2

Qi=lyji=l

n

AAAAE(Xi-x)(yt-y)AA

归直线y=a+bx中公式分别为b=%.........-,a=y-bx:

£(阳友)z

i=i

②参考数据W40.3x1.612=8.06,同永^20.1,In5-1.6,In6力.8.

答案:

1.D由E(X)=4〃=3=〃=三，则P(y>0)=2,贝IP(0</<!)=---=3则

44424

p(o<y<2)=2P(o<y<i)=-.

2

2.D由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为Pn.

①若上一步在上面，再天一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为gp〃/(〃22);

②若上一步在下面，则第〃“步不在上面的概率是如果爬上来，其概

率是十-P")(心2),两种事件又是互斥的,・・・匕=|尸,*+为-几/),即P“=2+g,

OADDA

・,・唱=2"-%•,数列NT是以！为公比的等比数列，而小|4,86今吗

・•・当〃=10时,•《严故选D.

3.A因为函数fix)=x2-6x+M没有零点，所以36-4M<0,解得M>9,又因为随机变

量M服从正态分布，且P(A/、9)三,所以正态曲线关于工=9对称，因为函数

g(x)=2P-4x+2M有两个零点，所以16-16M20,解得MW1,则又因为

P(M>m)W，所以1与"?关于x=9对称，所以"『17.

4.(0白由题意可知，甲以3：1获胜的概率为〃产优p2(l-p)p=3p3(l-〃),甲以3：2

获胜的概率为〃2二C；p2a-p)2p=6p3(l-p)2,因为piW/22,所以pi-p2=3p\l-p)[1-2(1-

解得p</故〃的取值范闱为(0$.

5.|i因为函数«x)=f+4x+4存在零点，所以/二不-转》。,即4W4,又因为随机变

量4服从二项分布8(5*),所以P(y4)=l-P《=5)=H=葛

6.2+V3•・•一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为。，得2分的概率为瓦得0

分的概率为。,〃力1*0,1),他投篮一次得分的期望为2,・・・3〃+2n2,

・W+以=照+款3"2切4管+符+4”会展+4)=2+疯当且仅当

效=9时等号成立，

a2b

••-+2的最小值为2+>/5.

a2b

7.解(1)由列联表知5=100+80=1807=80+70=150.

(2)由列联表知，未服用药物A的动物有18()只，未服用药物A且患疾病B的动物

有80只，所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为黑=［，即未服用药物A的

1809

动物患疾病B的概率的估计值为

(3)零假设为Ho：药物A对预防疾病B无效,由列联表得到

"鲁霭黑雷=甯"6.734>6.635,根据小概率值«=0.01的独立性检验,

推断Ho不成立，即认为药物A对预防疾病B有效.该推断犯错误的概率不超过

0.01.

8.解(1)依题意可得(0.05+0.075+。+0.15+0.1)x2=1,解得〃=0.125.

(2)由(1)可得高度在［15,17)和［17,19)的频率分别为0.1和0.15,所以分层抽取的5

株中滴度在［15,17)和［17,19)的株数分别为2和3,所以X可取0,1,2.

所以P(X=())=|=*P(X=1)=警=誉=|,P(X=2)=等=答=*

所以X的分布列为

X012

133

P

10510

所以印O=OXalx》2xV.

(3)从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在［21,25］为事件M,至多1株

2

高度低于23cm为事件N,则P(M)=C)3+C2(0x二禺x|x

(—+髭/)气旨(丁=栽,

13

所以P(N“二需=竽=急

9解⑴由题意得。+18+〃+8+。+20+18=100,解得。=12.故平均数为

击x(l50x12+250xI8+350X20+450X32+550X18)=376(箱).

(2)由题意,〃=376,户110,且266=376-11()=〃-G596=376+220="+2G故

产(X>596)=P(X>〃+2b)Wx(l-0.954)=0.023,所以“优质群”约有2

000x0.023=46(^),P(266^X<596)=P(//-67<X<zz+2a)=1x0.683+1x0.954=0.8185,

所以“一级群”约有2000x0.8185=1637(个)，所以需要资金为46x1000+1

637x200=373400(元)，故至少需要准备373400元.

10.解(I)由题意得±="2+3+.+9+10=5.5,歹=55,3=89J/°x5.5x；5=0.08,a=i.5-

10385-10x5.5^

().08x5.5=1.06,y=1.06+0.()8x,当x=12时;=2.()2,故A省12月份新能源汽车的销

量约为2.02万辆.

(2)这两家汽车销售商所获得的奖金总额X(单位:万元)可取4,3,2.521.5,1.

P(X=4)=]xi=辅(X=3)=2x|x1=i?(X=2.5)=2xix1=i?(X=2)=1x1=

ip(X=1.5)=2xixi=lp(X=l)4xi=i

分布列如下：

X432.521.51

111111

P

3696934

数学期望为

E(X)=xipi+x2/?2+,*,+xnpn=4x2+3x；+2.5x,+2x；+1.5x：+lx；=£.

11.解⑴设事件E为“他恰好能集齐这四枚纪念币”,由题意，基本事件总数是

N=4x4=16个，事件E包含基本事件的个数有“=2x1=2,所以他恰好能集齐这四枚

纪念币的概率P(E尸己=/

(2)①由题可知尸］=：/2=扔+幻・尸1)=；一步，所以P2卜当〃22时/〃=汜/+31-

43226832

所以又因为PLM=条即｛4-,｝是以4为首项,以1为

公比的等比数列，

所以「孩=噂x(4)“