概率论试题(含解析)

1、精品文档一、单项选择题(本大题共 5小题，每小题3分，共15分)。1、事件 A、B 独立，且 P(A B) 0.8,P(A)0.4，则 P(B | A)等于(A)0；( B)1/3 ；( C) 2/3 ；( D 2/5.答：(B)2、设f x是连续型随机变量X的概率密度函数，则下列选项正确的是(A)f x 连续；(B)P(X a) f (a), a R ；(C)f x的值域为0,1 ；( D)f x非负。答：(D )3、随机变量X N( , 2)，则概率PX 1随着 的变大而(A)变小；(B)变大；(C)不变；(D)无法确定其变化趋势。答：(A )4、 已知连续型随机变量 X、丫相互独立，且具

2、有相同的概率密度函数f(x)，设随机变 量Z min X ,Y，则Z的概率密度函数为2Z2Z(A)f(z) ；( B) 2 f(u)duf(z) ； ( C)1 1 f(z) ；(D)2(1f(u)du)f (z).答：(D )5、设X1,X2, |,Xm, Xm+1,|,Xn是来自正态总体N(0,1)的容量为n的简单样本，则统计 m2(n m)X,量 宀 服从的分布是m X2i m 1(A) F (n m, m)(B) F(n m 1,m 1)(C) F (m, n m)(D) F(m 1,n m 1)答：(C )二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。26某人投篮，每次命中的概

3、率为-，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为26 27 .3(x 1)7、 已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) Ae 2 , x 1，贝q常数A=120, 其它8、二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y) (1 2 X)(1 3 V), x腐0，则概率0,其它P(Y 1) = 239、 已知随机变量 X、丫的方差分别为 DX 2,DY 1，且协方差Cov(X,Y) 0.6，则 D(X Y)=1.8.10、 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X (单位：cm)服从正态分布N( ,0.32)，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值x =1.12，贝U的置

4、信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).(已知 Zo.0251.96 ， Z0.051.65 ， to.o25(8)2.3060， 10.05(8)1.8595 )三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)。11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1,0.1.精品文档顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否 贝退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。(结果保留3个有效数字)解：设B表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；Ai表示取到的一箱中含有i个残品, i 0,1,2，则所求概率为2P(

5、B) P(B|A)P(A)(5)i 0(9)(10)0.8 1 0.1 19 18 17 16 0.1 18 17 16 1520 19 18 1720 19 18 170.94312、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)2(xV), 0 x 12(10)14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为1(1)求概率 P(0 X 1/ 2) ; (2)求 E()X解:(1)由题意 122 xP(0 X 12)0 2(x2 -)dx(4)30,其它(5)(9)16(2)由随机变量函数的数学期望的性质 111f(x)dx 2(x )dxx03(10)0,x 013、已知连续型随机

6、变量X的分布函数为F(x)Aarcsin x, 0 x 1，1,x 1(1)求常数A; (2)求P(1/2 X .3/2) ； (3)求X的概率密度函数f(x).解：(1)由分布函数的性质F(1 )F(1 ) Aarcsi n1 1(1)因此可得 A 2(3)(2)由分布函数的性质P(1/2 X .3/2) FC- 3/2) F(1/2)(5)2 - 2arcsi n(、3 / 2)arcsi n( 1/2) 13(7)(3)由密度函数的定义f(x)dF(x)dxJX2 0 X 10,其它精品文档i 10 x y其它(1)(2)解：求概率P(X Y 1)；分别求出(X,Y)关于X、丫的边缘密度

7、函数fx(x)、fY(y),并判断X,Y是否独立。 (1)由题意P(X Y 1)f(x, y)dxdy.(2)x y 11 21 x1 20 dx x e ydy0 (e x e( x)dy(4)yf(x,y)0,(5)(1 e12)2(2)由边缘密度函数的定义e ydy, x 0x e ,x 0fx (x)x0,其它0,其它e ydx, y 0ye y,y 0fY(y)00,其它0,其它(7 )(9)因为当 x 0, y 0 时，f (x, y) fx(x)fY(y)，故 X、丫 不独立。(10)15、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为别求出(X,Y)关于X、丫的边缘分布 分别求

8、出EX,EY,DX,DY, xy(X,Y)关于X的边缘密度函数为0.2 0.8(2)(X ,Y)关于Y的边缘密度函数为1 0 10.1 0.3 0.6(5)(2)由(1)可得EX又 E(XY) ( 1) 10.8, DX0.08 10.16; EY1 0.480.5, DY 0.450.40(7)(8)Cov(X,Y)XY DXDYE(XY)EXEY,DX DY已知总体X服从参数为p(0p)x1，x 1,2j| I，若 X1,X2, p的最大似然估计量。nL(p) p(1 p)xi 116、P X单样本，求参数x p(10.4 0.8 0.500.16 . 0.45p 1)的几何分布，即X的分

9、布律为,Xn为来自总体X的一个容量为n的简(10)解：似然函数为(3)精品文档n(5)对数似然函数 InL(p) nln p (xi n)1 n(1 p)n令 dl nL(p)0dpp的最大似然估计量i 1.(8)(10)四、应用题(本大题共1个小题，5分)。17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，才能使系统可以运行的 概率不低于0.95？(已知 (1.65) 0.95)解：设X表示n个部件中正常工作的部件数，则 X ”b(n,0.9)(1)近似由中心极限定理 X N(0.9n,0.09n)(2)X由题意，要求满足P( 80%)0.95的最小的n,而nP(X 0.8n)0.95(一n 3) 0.95即n至少为25P(X 0.9 n0.8 n 0.9n.(0.3、n 03. n0.95(1.65) n 3 1.65 n 24.5.(4)(5)(5)五、证明题(本大题共1个小题，5分)。18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为 的泊松分布，即X的分布律为kP(X k) e , k 0,1,2,，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为 p.证明：这只母 k!鸡后代(小鸡)的个数丫