2025年大学二年级（金融数学）数学应用综合测试题及答案

2025年大学二年级（金融数学）数学应用综合测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题，共30分）答题要求：每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内。(总共6题，每题5分)1.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，若P(X≤μ+σ)=0.8413，则P(X≤μ-σ)=（）A.0.1587B.0.3413C.0.6826D.0.84132.设某股票的价格S(t)满足几何布朗运动dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)，其中μ为漂移率，σ为波动率，W(t)为标准布朗运动。则股票价格在时间区间[t₁,t₂]内的增长率的期望为（）A.μ(t₂-t₁)B.σ(t₂-t₁)C.μ²(t₂-t₁)D.σ²(t₂-t₁)3.对于两个随机变量X和Y，若它们的协方差Cov(X,Y)=0，则以下说法正确的是（）A.X和Y相互独立B.X和Y不相关C.X和Y的方差相等D.X和Y的期望相等4.已知某投资组合的收益率R服从正态分布N(0.1,0.04)，则该投资组合收益率大于15%的概率约为（）（参考标准正态分布表）A.0.0668B.0.1587C.0.3085D.0.69155.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/√(2π)e^(-x²/2)，则X服从（）A.均匀分布B.指数分布C.正态分布N(0,1)D.泊松分布6.设市场无风险利率为r，股票的预期收益率为E(R)，股票收益率的标准差为σ，根据资本资产定价模型（CAPM），该股票的风险溢价为（）A.rB.E(R)-rC.σD.E(R)第II卷（非选择题，共70分）7.（10分）简述正态分布的性质。8.（15分）已知随机变量X的概率分布为P(X=k)=C(5,k)(0.2)^k(0.8)^(5-k)，k=0,1,2,3,4,5，求：（1）常数C的值；（2）P(X≤3)；（3）E(X)和D(X)。9.（15分）设某投资者有一笔资金用于投资两种股票A和B，股票A的预期收益率为12%，标准差为20%；股票B的预期收益率为8%，标准差为15%。两种股票的相关系数为0.3。投资者将40%的资金投资于股票A，60%的资金投资于股票B。求该投资组合的预期收益率和标准差。10.（20分）材料：某公司计划投资一项新业务，预计在未来3年内每年年末产生现金流入分别为300万元、400万元和500万元。假设市场无风险利率为5%，该投资项目的风险调整贴现率为10%。问题：（1）计算该投资项目的净现值；（2）判断该投资项目是否可行。11.（20分）材料：假设某股票当前价格为50元，其波动率为30%，无风险利率为5%。该股票预计在1年后支付每股2元的股息。问题：（1）运用布莱克-斯科尔斯期权定价模型计算该股票6个月期的欧式看涨期权的价格，期权执行价格为55元；（2）解释布莱克-斯科尔斯期权定价模型中各个参数的含义。答案：1.A2.A3.B4.A5.C6.B7.正态分布的性质：①正态曲线关于直线x=μ对称；②在x=μ处达到峰值1/(σ√(2π))；③正态分布的均值为μ，方差为σ²；④正态分布的概率密度函数在x轴上方，且与x轴所围成的面积为1；⑤若X服从正态分布N(μ,σ²)，则aX+b服从正态分布N(aμ+b,a²σ²)。8.（1）由二项分布概率之和为可得C(5,k)(0.2)^k(0.8)^(5-k)=1，解得C=1。（2）P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=C(5,0)(0.2)^0(0.8)^5+C(5,1)(0.2)^1(0.8)^4+C(5,2)(0.2)^2(0.8)^3+C(5,3)(0.2)^3(0.8)^2=0.9932。（3）E(X)=np=5×0.2=1，D(X)=np(1-p)=5×0.2×0.8=0.8。9.投资组合的预期收益率E(Rp)=40%×12%+60%×8%=9.6%。投资组合的方差σ²p=(0.4×0.2)²+(0.6×0.15)²+2×0.4×0.2×0.6×0.15×0.3=0.01486，标准差σp=√0.01486≈12.2%。10.（1）第1年现金流入的现值PV1=300/(1+0.1)=272.73万元；第2年现金流入的现值PV2=400/(1+0.1)²=330.58万元；第3年现金流入的现值PV3=500/(1+0.1)³=375.66万元。净现值NPV=272.73+330.58+375.66-初始投资（题目未给出，假设为0）=978.97万元。（2）因为净现值大于0，所以该投资项目可行。（这里假设初始投资为0，实际应根据具体初始投资情况判断）11.（1）d1=[ln(50/(55-2))+(0.05+0.3²/2)×0.5]/(0.3√0.5)≈0.134，d2=d1-0.3√0.5≈-0.078。N(d1)≈0.5531,N(d2)≈0.46８1。欧式看涨期权价格C=50×0.5531-(55-2)×0.46８1×e^(-0.05×0.5)≈3.77元。（2）布莱克-斯科尔斯期权定价模型中