集合典型例题

1、1. 集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1. 已知，则集合中元素x所应满足的条件为 变式：已知集合，若，则实数的值为_2. 中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等腰三角形（二）集合的表示方法1. 用列举法表示下列集合（1）_变式：已知a,b,c为非零实数,则的值组成的集合为 _（2） _变式1：变式2：（3）集合用列举法表示集合B（4）已知集合M=，则集合M中的元素为 变式：已知集合M=，则集合M中的元素为 2. 用描述法表示下列集合（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点_（2）能被3整除的

2、整数 _ . 3. 已知集合，（1）用列举法写出集合；（2）研究集合之间的包含或属于关系4. 命题 (1) ；(2)；(3)；(4)表述正确的是 .5. 使用和和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数” （2）“2的平方根不是有理数”（3）“3.1416是正有理数” （4）“-1是整数”（5）“不是实数”6. 用列举法表示下列集合：（1）不超过30的素数 （2）五边形的对角线（3）左右对称的大写英文字母 （4）60的正约数7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合，（1）平面上以为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_ （2）说明下列集合的几何意义：；8. 当满足什么条件时，集合是

3、有限集？无限集？空集？9. 元素0、空集、三者的区别？10. 请用描述法写出一些集合，使它满足：（i）集合为单元素集，即中只含有一个元素；（ii）集合只含有两个元素；（iii）集合为空集11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合，孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合，要确定的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是

4、先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。（三）空集的性质1. 若 x|x2a，aR，则实数a的取值范围是_2. 已知a是实数，若集合x| ax1是任何集合的子集，则a的值是 _ .03. 下列三个集合中表示空集的是 (1) 0； (2) (x, y)|y2=-x2,xR，yR；(3) xN|2x2+3x-2=0.变式1：若集合= _ 变式2：若集合，则_（四）集合相等1. 已知集合A=，B= ，若A=B，则_2. 已知集合，集合，且，求实数和的值.3. 已知，则x的值为_4. 已知Ax，xy，lg(xy)，B0，|x|，y，且AB，试求x，y

5、的值5. 已知集合,且，则6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：（1）用列举法分别写出下列集合：；（2）请你判断两集合和集合是否相等？2. 集合方程问题1. 若集合（1）若，求的值；（2）若，求的值2. 若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合为 .3. 设，求.4. 已知集合，为实数.（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A是单元素集，求的值；（3）若A中至多只有一个元素，求的取值范围5. 已知集合，用列举法表示集合A为 .变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？3. 子集、全集、补集1. 集合，集合，若，的取值集合为_ 2. 设集合U=(x，

6、y)|y=3x1，A=(x，y)|=3，则A= .3. M=x| -2x5, N=x| a+1x2a-1.若MN，实数a的取值范围为 .4. 若，B=x|x2-4x=0，C=x|x2-8x+16=0，若C,求实数a的取值范围5. 或，当时，实数的取值范围为_6. 已知集合，满足，则实数的取值范围为_变式：已知集合，集合（1）若，求实数a的取值范围（2）若，求实数a的取值范围（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由7. 已知集合，若，实数的取值范围为_8. 已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，则 , .9. 设，集合，, 若，= _10. 已知全集，若，则a的值为_

7、11. 若集合.分别求出当全集为下列集合时的. (1)； (2)；(3).12. 若集合，且，则实数的值为 _13. 已知集合，是否存在集合C，使C中的每个元素加上2就变成了A的一个子集，且C中的每个元素减去2就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，说明理由14. ，则 _15. 写出满足条件aMa，b，c，d的集合M16. 已知A=0，2，4，UA=-1，1，UB=-1，0，2，求B= 17. 设集合,则满足且的集合的个数为_ 5618. 已知集合同时满足：，求实数的值.解：两式相减，得19. 已知集合，分别根据下列条件，求实数的取值范围.（1）；（2） （1）；（2）20. ，

8、（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围. （4）若，求的取值范围21. 有限集中有一个特殊的集合，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循： 规定的必要性； 规定的合理性。（1）必要性：从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；（2）合理性：由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。22. 请问

9、是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。 ,等等；【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，可以只含有这两个元素吗？；可以，集合23. 元素和相等的子集（i）设集合,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？（ii）在这9个数字中任取6个不同的数组成集合，请问符合条件（1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？【拓展思考】若将集合的元素个数变为79种的任一个，结论如何？24. 与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？【拓展思考】

10、请你写出几个符合条件的无限集25. 约数集的个数设非空集合，且满足条件“如果，那么”（i）请你写出一个只含有一个元素的集合；（ii）只含有三个元素的集合只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合？（iii）满足题设的集合共有几个？（iV）对非空集合，若使集合所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为_4. 交集、并集运算1. 已知，则_变式1：若集合，则MP= :2. 设集合或（1）若，则实数的取值范围为_（2）若，则实数的取值范围为_3. 已知集合=,则= 4. 已知集合，全集（1）若,求实数a的取值范围（2）若，求实数a的取值范围5. 集合，满足，实数的值为 6. 已知全集，若非空集

11、合，则实数的取值范围是_7. 若集合或，且，则_，_8. 已知集合，且，则实数的取值范围是 9. 已知非空集合Ax2a1x3a5，Bx3x22，则能使A(AB)成立的所有a值的集合是 10. 已知A=a1，a2，a3 ，a4，B=，其中a1a2a3a4 ，a1，a2，a3 ，a4N，若AB=a1，a4 ，a1+a4=10，且AB所有元素和为124，则集合A= B= 11. 设集合，则的元素个数为_12. 设集合，（1）若，求实数a的值（2）求,.13. 如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 14. 若全集都为二次函数，则不等式的解集可用表示为_15. 已知集合，则

12、 _16. 若集合， ，且，则满足条件的整数对的个数为 _变式：已知集合A,且只有5个整数解，则的取值范围是 _ . 17. 设A2, 1, a2a +1，Bb, 7, a + 1 ，M1, 7，ABM（1）设全集，求； （2）若,求a和b的值18. 集合，如果，则 19. 集合，若时的取值范围是，则=_ 20. 已知全集UR，则正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的韦恩(Venn)图是_21. 已知集合M0,1,2，Nx|x2a，aM，则集合MN_.22. (2009年高考江西卷改编)已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素. 若AB非空，则AB的元素个数为_23.

13、已知函数f(x) 的定义域为集合A，函数g(x)lg(x22xm)的定义域为集合B.（1）当m3时，求A(RB)；（2）若ABx|1x4，求实数m的值24. 已知集合AxR|ax23x20（1）若A，求实数a的取值范围；（2）若A是单元素集，求a的值及集合A；（3）求集合MaR|A25. 设集合（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围解：（1）；（2）（3）或或或26. 集合,若则的子集个数最多为_ 1627. 则28. 已知,则29. 设方程的全体解组成集合，方程的全体解组成集合，则分别如何用集合表示？则30. 设，若直线交于点，则；若，则；还有其它情况吗

14、？31. 方程的解集为，方程的解集为。则是方程的解集。所以对于右端为零的方程，如果能将其左端分解为几个因式的乘积，就能使求解的问题简化，这也是数学里常常把方程化成一端为零的形式的原因。32. 如果集合各有12个元素，它们的并集有20个元素，那么，这两个集合有多少个共同的元素？33. 如果集合中有3个元素，集合中有2个元素，试问：（1）中最多有几个元素？最少有几个元素？（2）中最多有几个元素？最少有几个元素？34. 设方程组的解集为方程与的解集分别是和，则例：若全集都为二次函数，则不等式的解集可用表示为_35. 设全集非空集合，若含的一个集合运算表达式运算结果为空集，则这个表达式可以是_. 已知

15、集合，则 5. 简单的数论问题1. 设均为整数，把形如的一切数构成的集合记作M，设，试判断是否属于集合M，并说明理由.2. 已知集合，求证：(1) ；(2) (3) 偶数不属于A.3. 以某些整数为元素的集合具有下列性质： 中的元素有正数，有负数； 中的元素有奇数，有偶数； ；若，则试判断实数0和2与集合的关系4. 设集合A=，B=，C=，若，则 （填集合A或B或C）变式1: 若，则 （填集合A或B或C）变式2: 已知A=，若，则下列元素属于集合A的为 （填序号）；变式3: ，集合A=，点，求a与b的值5. 已知mA，nB，且集合Ax|x2a，aZ，Bx|x2a1，aZ，又Cx|x4a1，aZ

16、，判断mn属于哪一个集合？6. 已知集合Ax|xa，aZ，Bx|x，bZ，Cx|x，cZ，则A、B、C之间的关系是_6. 新定义集合问题1. 给定集合A、B，定义一种新运算：A*B=，又已知A=0，1，2，B=1，2，3，用列举法写出 2. 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个3. 整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k=5n+k丨nZ，k=0,1,2,3,4. 给出如下四个结论： 20111； -33； Z=01234 ;“整数a，b属于同一“类”，则“a-b0”其

17、中正确结论的序号是_（填写所有满足条件的序号）4. 设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数：； 若，则； 若，则，=_5. 设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）.记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是_（填满足条件的字母）A=1且=0 B C=2且=2 D =2且=36. 如图所示的韦恩图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，即.若，,则_7. 集合,，其中,我们把集合,记作，若集合中的最大元素是，则的取值范围是 .8.（2010四川）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集下列命题： 集合Sab|为整数为封闭集； 若S为封闭集，则一定

18、有； 封闭集一定是无限集； 若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）9. 已知点集,，点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为，若点在点集所表示的平面区域内（不在边界上），则的面积的最大值为_10. 设集合，则集合（用列举法表示）变：设集合，则集合变：对任意两个集合和,定义,设,则11. 集合的“差”运算设是两个非空集合，定义与的差集（i）设集合，请你分别用列举法和描述法写出一个集合，使得，试问满足条件的集合共有多少个？（ii）请写出两组集合，使得；（iii）从（ii）中选出一组，计算，在此基础上，请你写出有关集合的其他表达式，使其结果与

19、集合相等。12. 市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两样都订的有150人.（1）只订日报不订晚报的有多少人？（2）只订晚报不订日报的有多少人？（3）至少订一种报纸的有多少人？（4）有多少人不订报纸？13. 某文化补习学校在学期末统计了参加补习的198名学生的成绩，统计结果表明，179人语文及格，153人数学及格，其中两门都及格的有130人.（1）这个统计数字是否正确？请说明理由；（2）经查实，却有7人两门都不及格，而原来统计中语文和数学的及格人数是对的，那么，到底有多少人两门都及格？14. 某社区学院一个月30天课程安排情形如下：有15天有数学课，有14天有语文课，有14天有英语课. 有数学又有语文的有7天，有数学又有英语的有6天，有语文又有英语的有6天，三门课都有的有3天. 那么，有几天不上课？有几天只上一门课？有几