曲面及其方程、二次曲面

1、第五节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,2,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义,曲面的实例,一、曲面方程的概念,3,以下给出几例常见的曲面,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,4,解,根据题意有,所求方程为,5,根据题意有,化简得所求方程,解,6,例4 方程 的图形是怎样的,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,7,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题,2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,讨论旋转曲面,讨论柱面、二次曲面,1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,8,二、旋转曲面,定

2、义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴,9,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,10,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,11,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,12,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转

3、一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,13,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,14,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,15,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,16,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定

4、直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,17,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,18,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,19,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,20,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴,21

5、,例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线,为母线所产生的旋转曲面S的方程为,证明,旋转曲面如图,设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点,显然，M一定是由母线C上某点M1(0, y1, z1)旋转得到,代入母线方程即得证明,即,22,注意,1. yoz平面上的母线 绕oz轴旋转得旋转曲面,2. yoz平面上的母线 绕oy轴旋转得旋转曲面,3. xoy平面上的母线 绕ox轴旋转得旋转曲面,23,例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,这两种曲面都叫做旋转双曲面,24,旋转椭球面,旋转抛物面,25,特点,26,解,圆锥面方程,27,播放,定义,三、柱面,观察

6、柱面的形成过程,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,28,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,29,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,30,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,31,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的

7、曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,32,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,33,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,34,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,35,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱

8、面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,36,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,37,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,38,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线,观察柱面的形成过程,39,柱面举例,抛物柱面,平面,40,母线平行于 z 轴的柱面方程为,一般地，在空间直角坐标下,缺z,表示母线？，准线为？

9、的柱面,缺y,表示母线？，准线为？的柱面,缺x,表示母线？，准线为？的柱面,41,问,1） 表示什么曲面,2） 表示什么曲面,回顾,1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S,2. 表示一张球面,3. 表示空间的一张平面,4. yoz平面上的母线 绕oz轴旋转得旋转曲面,42,四、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状,即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,5. xoy平面上的准线方程 母线平行于 z 轴的,柱面方程为,其基本类型有,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,43,

10、一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面x=x1和y=y1 的交线也是椭圆,44,椭球面的几种特殊情况,旋转椭球面,由椭圆 或 绕z轴旋转而成,球面,方程可写为,45,二）抛物面,p与q同号,1）椭圆抛物面,用截痕法讨论,1）用坐标面 xoy (z=0) 去截,设p与q都大于零,2）用平面 去截,3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截,4）用平面 去截,46,椭圆抛物面的图形如下,特殊地：当p=q时，方程变为,旋转抛物面,47,2）双曲抛物面（马鞍面,p与q同号,用截痕法讨论,设,48,三）双曲面,单叶双曲面,1,椭圆,时, 截痕为,实轴平行于x 轴,虚轴平行于z 轴,上的截痕情况,双曲线,虚轴平行于x 轴,时, 截痕为,时, 截痕为,实轴平行于z 轴,相交直线,双曲线,51,双叶双曲面,2,单叶双曲面,双叶双曲面,注意,四） 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上,椭圆锥面也