无穷大与无穷小极限性质.ppt

1、第二章,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,问题: 根据极限的定义,只能验证某个常数 A 是否为某个函数(x)的极限,而不能求出函数(x)的极限. 为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运算法则.,当,一、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：无穷小 是一个量，和变化过程有关.,定理1 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,利用

2、定理1 可知,二、 无穷大,定义2（直观定义）.若当 时，|f(x)|无限增大，,则称函数,当,时为无穷大,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷大又可细分为正无穷大和负无穷大.,例如：,任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,使对,正数 X ,总存在,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,定理2. 在自变量的同一变化过程中,机动 目

3、录 上页 下页 返回 结束,四、 极限的四则运算法则,则有,定理 3 . 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4 . 若,则有,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),定理 5 . 若,且 B0 , 则有,因此有：1、设 n 次多项式,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 1、因为数列是一种特殊的函数 ,因此定理3 , 4 , 5,对数列也是成立的 .,2、上述定理可推广到有限个情形.,2、设分式函数,其中,都是,多项式 ,则,若,x = 3 时分母为 0 !,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求,例5.求,解:,机动 目录 上

4、页 下页 返回 结束,例6.求,解:,分子分母同除以,则,原式,比如：,例7.,=0,其中 为,时的无穷小量 .,定理 6 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),对自变量的其它变化过程有同样结论 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 复合函数的极限运算法则,例7. 求,解: 令,已知, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小性质,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,1）对,型 , 约去公因子（有理化，因式分解等）,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3）对 ，化为 型,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什