中考数学专题复习专题一动点探究测试题

1、动点探究一、单动点1（2015?成都）如图，在半径为5 的o 中，弦 ab=8，p 是弦 ab所对的优弧上的动点，连接 ap，过点 a 作 ap的垂线交射线pb 于点 c，当 pab是等腰三角形时，线段bc的长为8，或解：当ba=bp时，易得ab=bp=bc=8，即线段 bc的长为 8当 ab=ap时，如图 1，延长 ao交 pb于点 d，过点 o作 oeab 于点 e，则 adpb，ae=ab=4，bd=dp，在 rtaeo中，ae=4，ao=5，oe=3，易得 aoe abd，即 pb=，ab=ap=8， abd=p， pac=adb=90， abd cpa， cp=，bc=cp bp=；

2、当 pa=pb时如图 2，连接 po并延长，交ab于点 f，过点 c 作 cgab，交 ab 的延长线于点 g，连接 ob，则 pfab， af=fb=4，在 rtofb中， ob=5， fb=4， of=3， fp=8，易得 pfb cgb，设 bg=t，则 cg=2t，易得 paf=acg， afp=agc=90， apf cag， ，解得 t= ，在 rtbcg中， bc=t=，答案为：8，2（2015?连云港）已知如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线y=x 2与 x 轴、 y 轴分别交于a， b 两点， p 是直线 ab上一动点，p 的半径为1（ 1）判断原点 o与p 的位置关系，并

3、说明理由；（ 2）当p 过点 b 时，求p 被 y 轴所截得的劣弧的长；（ 3）当p 与 x 轴相切时，求出切点的坐标1 / 16解：（ 1）原点 o在p外理由：直线 y= x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 a， b 两点，点 a（ 2， 0），点 b（ 0， 2 ），在 rtoab 中， tan oba=， oba=30，如图1，过点 o作 ohab 于点 h，在 rtobh中， oh=ob?sinoba=， 1，原点o在p外；（ 2）如图 2，当p 过点 b 时，点 p 在 y 轴右侧时， pb=pc， pcb=oba=30，p被 y 轴所截的劣弧所对的圆心角为： 180 30 30=

4、120，弧长为：=；同理：当p 过点 b 时，点 p 在 y 轴左侧时，弧长同样为：；当p 过点 b 时，p 被 y 轴所截得的劣弧的长为：；（ 3）如图 3，当p 与 x 轴相切时，且位于 x 轴下方时，设切点为 d，在 pdx轴， pdy 轴， apd=abo=30，在 rtdap中， ad=dp?tandpa=1tan30 =， od=oa ad=2，此时点d 的坐标为：（ 2，0）；当p与 x 轴相切时， 且位于 x 轴上方时， 根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（ 2+，0）；综上可得：当p 与 x 轴相切时，切点的坐标为： （ 2， 0）或（ 2+， 0）3（2015?潍坊）如图

5、，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2 8mx+4m+2（ m 0）与 y 轴的交点为 a，与 x 轴的交点分别为 b（ x1，0）， c（ x2，0），且 x2 x1=4，直线 adx轴，在 x 轴上有一动点 e（ t ， 0）过点 e 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 ad的交点分别为p、 q（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）当 0t 8时，求 apc 面积的最大值；（ 3）当 t 2 时，是否存在点 p，使以 a、 p、q为顶点的三角形与 aob 相似？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由2 / 1612212，由解得：b解：（ 1）由题意知 x 、x是方程 mx

6、8mx+4m+2=0的两根，x+x =8（2， 0）、 c（ 6， 0）则 4m 16m+4m+2=0，解得： m=，该抛物线解析式为：y=；（2）可求得a（ 0，3）设直线ac的解析式为： y=kx+b ，直线 ac的解析式为： y= x+3，要构成 apc，显然t 6，分两种情况讨论：当 0 t 6 时，设直线l 与 ac交点为 f，则： f（ t ，）， p（t ，），pf=，sapc=sapf+scpf=，此时最大值为：，当 6t 8时，设直线l 与 ac交点为 m，则： m（ t ，）， p（t ，），pm=，sapc=sapmscpm=，当 t=8 时，取最大值，最大值为：12，综

7、上可知，当0t 8 时， apc面积的最大值为12；（3）如图，连接 ab，则 aob中，aob=90， ao=3，bo=2，q（ t ，3），p（ t ，），当 2 t 8 时，aq=t，pq=，若：aob aqp，则：，即：，t=0 （舍），或 t=，若 aob pqa，则：，即：， t=0 （舍）或t=2 （舍），3 / 16当 t 8 时， aq=t ，pq=，若： aob aqp，则：，即：， t=0 （舍），或 t=，若 aob pqa，则：，即：， t=0 （舍）或t=14 ， t=或 t=或 t=144（2015?铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +bx+与 x

8、 轴交于 a（ 3，0），b（ 1，0）两点与y 轴交于点c，点 d 与点 c 关于抛物线的对称轴对称（ 1）求抛物线的解析式，并直接写出点d的坐标；（ 2）如图 1，点 p 从点 a 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿ab匀速运动，到达点b时停止运动以ap为边作等边 apq（点q在 x 轴上方），设点 p 在运动过程中，apq与四边形aocd重叠部分的面积为s，点 p 的运动时间为t 秒，求 s 与 t 之间的函数关系式；（ 3）如图 2，连接 ac，在第二象限内存在点m，使得以 m、o、a 为顶点的三角形与 aoc相似请直接写出所有符合条件的点m坐标解：（ 1）抛物线2经过 a（ 3，

9、0），b（ 1， 0）两点，解得y=ax +bx+，抛物线解析式为y=x2x+；则 d 点坐标为（ 2，）（2）点 d与 a 横坐标相差1，纵坐标之差为，则 tan dap=， dap=60，又 apq为等边三角形，点 q始终在直线ad上运动，当点q与 d重合时，由等边三角形的性质可知：ap=ad=2当 0t 2时， p在线段 ao上，此时 apq 的面积即是 apq 与四边形 aocd的重叠面积 ap=t， qap=60，点 q的纵坐标为t?sin60 =t ， s=t t=t 2当 2t 3时，如图 1：此时点 q在 ad的延长线上，点 p 在 oa上，设 qp与 dc交于点 h，dcap

10、，4 / 16 qdh=qap=qhd=qpa=60， qdh是等边三角形， s=s qap sqdh， qa=t，sqap=t 2qd=t 2，sqdh=（ t 2）2 ， s=t 2（t 2） 2=t 图 1当 3t 4时，如图2：此时点 q在 ad的延长线上，点 p 在线段 ob上，设 qp与 dc交于点 e，与 oc交于点f，过点 q作 ap的垂涎，垂足为 g， op=t 3， fpo=60，of=op?tan60=（ t 3），sfop=（ t 3）（ t 3）= （ t 3）2，s=sqap s s ， s s = t s=22t （ t 3） =t +4 t qdefopqapq

11、de综上所述， s 与 t 之间的函数关系式为s=图 2图 3图 4（ 3） oc= ，oa=3，oaoc，则 oac是含 30的直角三角形当 amo 以 amo为直角的直角三角形时；如图 3：过点 m2 作 ao的垂线， 垂足为 n，m2ao=30， ao=3，m2o=，又 om2n=m2ao=30，on=om2，m2n=on=，m2 的坐标为（，）同理可得m1 的坐标为（，）当 amo以 oam为直角的直角三角形时；如图4：以 m、o、a 为顶点的三角形与 oac相似，=，或=，oa=3， am= 或 am=3 ， amoa，且点 m在第二象限，点 m的坐标为（ 3， ）或（ 3， 3 ）

12、综上所述， 符合条件的点m的所有可能的坐标为（ 3，），（ 3，3），（，），（，）5 / 165（2015?绵阳）如图，在边长为2 的正方形abcd中， g是 ad延长线时的一点，且dg=ad，动点 m从 a 点出发，以每秒1 个单位的速度沿着acg 的路线向g点匀速运动（ m不与 a，g重合），设运动时间为 t 秒，连接 bm并延长 ag于 n（ 1）是否存在点 m，使 abm为等腰三角形？若存在，分析点 m的位置；若不存在，请说明理由；（ 2）当点 n 在 ad边上时，若 bnhn， nh交cdg的平分线于 h，求证： bn=hn；（ 3）过点 m分别作 ab，ad的垂线，垂足分别为 e

13、，f，矩形 aemf与 acg重叠部分的面积为 s，求 s 的最大值（ 1）解：存在；当点 m为 ac的中点时， am=bm，则 abm为等腰三角形；当点 m与点 c重合时， ab=bm，则 abm为等腰三角形；当点 m在 ac上，且 am=2时， am=ab，则 abm为等腰三角形；当点 m为 cg的中点时， am=bm，则 abm为等腰三角形；（ 2）证明：在 ab上截取 ak=an，连接 kn；如图 1 所示：四边形 abcd是正方形， adc=90，ab=ad， cdg=90， bk=ab ak， nd=ad an， bk=dn， dh 平分 cdg， cdh=45， ndh=90+4

14、5=135， bkn=180 akn=135， bkn=ndh，在 rtabn 中， abn+anb=90， 又 bnnh，即 bnh=90， anb+dnh=180 bnh=90， abn=dnh，在 bnk 和 nhd中， bnk nhd（ asa）， bn=nh；（3）解：当m在 ac上时，即0t 2时， amf为等腰直角三角形， am=t， af=fm= t ，s=af?fm=t t=t 2；当 t=2时， s 的最大值 =（ 2） 2=2；当 m在 cg上时，即 2 t 4 时，如图 2 所示： cm=t ac=t 2 ，mg=4 t ，在acd和 gcd中， acd gcd（ sa

15、s）， acd=gcd=45， acm=acd+gcd=90， g=90 gcd=45， mfg为等腰直角三角形， fg=mg?cos45=（ 4 t ）?=4 t ，6 / 16s=s acgscmj s=42 cmcm fgfg=4（22t 2 ） （ 4） =fmg+4t 8=（ t ） 2+，当 t=时， s 的最大值为6（2015?抚顺） 已知， abc在平面直角坐标系中的位置如图所示，a 点坐标为 （ 6，0），b 点坐标为（ 4， 0），点 d 为 bc的中点，点 e 为线段 ab上一动点，连接 de经过点 a、b、 c 三点的抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+8（ 1）求抛

16、物线的解析式；（ 2）如图，将 bde 以 de为轴翻折，点 b 的对称点为点 g，当点 g恰好落在抛物线的对称轴上时，求 g点的坐标；（3）如图， 当点 e 在线段 ab上运动时，抛物线y=ax 2+bx+8 的对称轴上是否存在点f，使得以 c、 d、 e、 f 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点f 的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）抛物线y=ax2+bx+8 经过点 a（ 6，0），b（ 4， 0），解得抛物线的解析式是：y= x2x+8（ 2）如图，作 dm抛物线的对称轴于点 m，设 g点的坐标为（ 1，n），由翻折的性质，可得 bd=dg， b（ 4， 0），c（

17、0，8），点 d 为 bc的中点，点 d的坐标是（ 2，4），点m的坐标是（ 1， 4）， dm=2（ 1） =3，b（ 4， 0）， c（ 0，8）， bc=4，在 rtgdm中， 32+（4 n）2=20，解得 n=4，g点的坐标为（1， 4+）或（ 1， 4）（ 3）抛物线 y=ax2+bx+8 的对称轴上存在点 f，使得以 c、d、e、f 为顶点的四边形为平行四边形当 cdef，且点e 在 x 轴的正半轴时，如图，由（2），可得点 d 的坐标是（ 2， 4），设点 e 的坐标是（ c， 0），点 f 的坐标是（ 1， d），则解得点 f 的坐标是（ 1， 4），点 e 的坐标是（ 1，

18、 0）当 cdef，且点e 在 x 轴的负半轴时，如图，由（2），可得点 d 的坐标是（ 2， 4），设点 e 的坐标是（ c， 0），点 f 的坐标是（ 1，d），则解得点 f的坐标是（1， 4），点 e 的坐标是（3， 0）7 / 16当 cedf 时，如图，由（ 2），可得点 d 的坐标是（ 2，4），设点 e 的坐标是（ c， 0），点 f 的坐标是（ 1， d），则解得点 f 的坐标是（ 1，12），点 e 的坐标是（ 3，0）综上，可得抛物线 y=ax 2+bx+8 的对称轴上存在点 f，使得以 c、 d、 e、 f 为顶点的四边形为平行四边形，点 f 的坐标是（ 1，4）、（ 1

19、， 4）或（ 1，12）二、双动点1（2015?辽阳）如图，点a 是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，连接ao并延长交另一分支于点b，以 ab 为底作等腰 abc，且 acb=120，点c在第一象限，随着点a 的运动， 点 c 的位置也不断变化，但点c 始终在双曲线y=上运动， 则 k 的值为（）a 1b 2c 3d 4解：连接 co，过点 a 作 adx轴于点另一分支于点 b，以 ab 为底作等腰 aod+coe=90，d，过点 c 作 cex轴于点 e，连接 ao并延长交abc，且 acb=120， coab， cab=30，则 dao+aod=90， dao=coe，又 ado=ce

20、o=90， aod oce，=tan60 =，则=3，点 a 是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，8 / 16|xy|=ad?do=6=3， k=eceo=1，则eceo=2选： b2. （2015?衢州）如图，在 abc 中， ab=5， ac=9， sabc=，动点 p 从 a 点出发，沿射线ab方向以每秒5 个单位的速度运动，动点 q从 c点出发， 以相同的速度在线段ac上由 c向 a 运动，当 q点运动到a 点时， p、q两点同时停止运动，以 pq为边作正方形pqef（ p、q、 e、f 按逆时针排序） ，以 cq为边在 ac上方作正方形qcgh（ 1）求 tana 的值；（ 2）

21、设点 p 运动时间为 t ，正方形 pqef的面积为 s，请探究 s 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（ 3）当 t 为何值时，正方形 pqef的某个顶点（ q点除外）落在正方形 qcgh的边上，请直接写出 t 的值解：（ 1）如图 1，过点 b 作 bmac 于点 m， ac=9， s=， ac?bm=，即 9?bm=，abc解得 bm=3由勾股定理，得 am=4，则 tana=；（2）存在如图 2，过点 p 作 pnac于点 n依题意得 ap=cq=5t tana=， an=4t，pn=3t qn=ac an cq=99t 根据勾股定理得到：22222pn+n

22、q=pq， s=pq=（3t ） +正方形 pqef（9 9t ）2 =90t 2 162t+81 （ 0t ）=在 t 的取值范围之内， s最小值 =；（3）如图3，当点 e 在边 hg上时， t=；如图4，当点 f 在边 hg上时， t = ；12如图 5，当点 p 边 qh（或点 e 在 qc上）时， t 3=1如图6，当点 f 边 c 上时， t 4=3（2015?大连）如图1，在 abc中， c=90，点 d 在 ac上，且 cd da，da=2，点 p，q同时从点 d出发，以相同的速度分别沿射线dc、射线 da运动，过点 q作 ac的垂线段 qr，使 qr=pq，连接 pr，当点

23、q到达点 a 时，点 p，q同时停止运动设pq=x， pqr与 abc重叠部分的面积为 s，s 关于 x 的函数图象如图 2 所示（其中0x， xm 时，函数的解析式不同）（1）填空： n 的值为；（ 2）求 s 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围9 / 16解：（ 1）如图 1，当 x=时，pqr与 abc重叠部分的面积就是 pqr 的面积， pq=，qr=pq，qr=， n=s=（） 2= = （2）如图 2，根据 s 关于 x 的函数图象， 可得 s 关于 x 的函数表达式有两种情况：当 0x时， s=pqrq=x2，当点 q点运动到点a 时，x=2ad=4，m=4当 x4 时

24、，s=sapfsaqe=ap?fgaq?eq，ap=2+，aq=2， aqe aq1r1，qe=，设 fg=pg=a， agf aq1r1，ag=2+ a，a=，s=s s =ap?fgaq?eq=（2）（2）apfaqe（ 2） ?（ 2）=x2+s=x2+综上，可得s=4（2015?宿迁）已知：o上两个定点a， b 和两个动点c， d， ac与 bd交于点 e（ 1）如图 1，求证： ea?ec=eb?ed；（2）如图 2，若=， ad是o的直径，求证： ad?ac=2bd?bc；（3）如图 3，若 acbd，点 o到 ad的距离为2，求 bc的长（1）证明： ead=ebc， bce=a

25、de， aed bec， ea?ec=eb?ed；（ 2）证明：如图 2，连接 cd， ob交 ac于点 fb是弧 ac的中点， bac=adb=acb，且 af=cf=0.5ac又 ad 为o直径， abc=90，又 cfb=90 cbf abd，故cf?ad=bd?bc ac?ad=2bd?bc；10 / 16（ 3）解：如图 3，连接 ao并延长交o 于 f，连接 df， af 为o 的直径， adf=90，过 o作 ohad 于 h，ah=dh，ohdf， ao=of， df=2oh=4， acbd， aeb=adf=90， abd=f， abe adf， 1=2， bc=df=45（

26、2015?荆门）如图，在矩形oabc中， oa=5，ab=4，点 d 为边 ab上一点，将 bcd 沿直线 cd折叠，使点b 恰好落在边oa上的点 e 处，分别以oc， oa所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系（1）求 oe的长及经过o， d，c 三点抛物线的解析式；（2）一动点 p 从点 c出发，沿 cb以每秒 2 个单位长度的速度向点b 运动，同时动点q从 e点出发，沿ec以每秒 1 个单位长度的速度向点c 运动，当点p 到达点 b 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， dp=dq；（3）若点 n 在（ 1）中抛物线的对称轴上，点m在抛物线上，是否存在这样

27、的点m与点 n，使 m， n， c， e 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 m点坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）ce=cb=5， co=ab=4，在 rtcoe中， oe=3，设 ad=m，则 de=bd=4 m，oe=3， ae=5 3=2，在 rtade中，由勾股定理可得222222，ad+ae=de，即 m+2 =（ 4 m）解得 m=， d（， 5），c（ 4，0），o（ 0，0），设过 o、d、c 三点的抛物线为y=ax（ x+4）， 5= a（ +4），解得 a=，2抛物线解析式为 y=x（ x+4）=x + x；（2） cp=2t， bp=5 2t ，在 rtdb

28、p和 rtdeq中， dbp deq（ hl），bp=eq， 5 2t=t ， t= ；（ 3）抛物线的对称为直线 x= 2，设 n（ 2， n），又由题意可知 c（ 4， 0）， e（ 0，3），设 m（ m， y），11 / 16当 en为对角线， 即四边形ecnm是平行四边形时， 则线段 en的中点横坐标为= 1，线段 cm中点横坐标为， en， cm互相平分，= 1，解得 m=2，又 m点在抛物线上， y=2 2+2=16， m（ 2， 16）；当 em为对角线，即ecmn是平行四边形时，则线段em的中点横坐标为，线段 cn中点横坐标为= 3，en，cm互相平分， = 3，解得 m=

29、6，又m点在抛物线上， y=（ 6）2+（6） =16， m（ 6，16）；当 ce为对角线，即四边形 emcn是平行四边形时， 则 m为抛物线的顶点， 即 m（ 2，）综上可知，存在满足条件的点m，其坐标为（2，16）或（ 6， 16）或（ 2，）三、面动探究1. （2015?青岛）已知，如图，在 ?abcd中， ab=3cm， bc=5cm，acab， acd 沿 ac的方向匀速平移得到 pnm，速度为 1cm/s；同时，点 q从点 c出发，沿 cb方向匀速移动，速度为 1cm/s ，当 pnm停止平移时，点q也停止移动，如图，设移动时间为t （ s）（ 0 t 4），连接 pq， mq，

30、 mc，解答下列问题：（ 1）当 t 为何值时， pqmn？（ 2）设 qmc的面积为2y（ cm ），求 y 与 t 之间的函数关系式；（ 3）是否存在某一时刻t ，使 sqmc：s 四边形 abqp=1： 4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由（ 4）是否存在某一时刻t ，使 pqmq？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由解：（ 1）在 rtabc中，ac=4，由平移得 mnab，pqmn，pqab，=，=，t=，12 / 16（2）过点 p 作 pdbc于 d， cpd cba， =，=，pd= t ，pdbc，sqmc=sqpc，y=sqmc=qc?pd=t（ t ）

31、=t t 2（ 0 t 4），（3）sqmc：s 四边形 abqp=1： 4，sqpc： s 四边形 abqp=1： 4，sqpc：sabc=1： 5，（ t t 2）：6=1： 5， t=2 ，（4）若 pqmq，则 pqm=pdq， mpq=pqd， pdq mqp， =2，pq=mp?dq，22，dq=cd cq= t=，（2）pd +dq=mp?dq，cd=） +（2=5，t1=0（舍去）， t 2=， t= 时， pqmq2（2015?徐州）如图，平面直角坐标系中， 将含 30的三角尺的直角顶点 c 落在第二象限 其斜边两端点 a、 b 分别落在 x 轴、 y 轴上，且 ab=12c

32、m（ 1）若 ob=6cm求点 c 的坐标；若点 a 向右滑动的距离与点 b 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（ 2）点 c与点 o的距离的最大值 = 12 cm 解：（ 1）过点 c 作 y 轴的垂线， 垂足为 d，如图 1：在 rtaob中，ab=12，ob=6，则 bc=6， bao=30， abo=60，又 cba=60， cbd=60， bcd=30， bd=3，cd=3 ，所以点 c 的坐标为（ 3，9）；设点 a 向右滑动的距离为 x，根据题意得点b 向上滑动的距离也为x，如图 2：ao=12cosbao=12cos30=6ao=6x， bo=6+x， ab=ab=12在 ao

33、 b 中，由勾股定理得， （ 62 x） +（ 6+x） 2=122，解得： x=6（1），滑动的距离为 6（ 1）；（ 2）设点 c 的坐标为（ x， y），过 c作 cex轴， cdy 轴，垂足分别为 e， d，如图 3：则oe= x， od=y， ace+bce=90， dcb+bce=90， ace=dcb，又 aec=bdc=90， ace bcd，即， y=222222，x， oc=x +y=x +（x）=4x13 / 16取 ab中点 d，连接 cd， od，则 cd与 od之和大于或等于 co，当且仅当 c，d，o三点共线时取等号，此时 co=cd+od=6+6=12，故答案为

34、： 12第二问方法二：因角 c 与角 o和为 180 度，所以角 cao与角 cbo和为 180 度，故 a， o， b， c四点共圆，且 ab为圆的直径，故弦 co的最大值为 123（2015?深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边ab 和量角器的直径 de在一条直线上， ab=bc=6cm，od=3cm，开始的时候 bd=1cm，现在三角板以 2cm/s的速度向右移动（ 1）当 b 与 o重合的时候，求三角板运动的时间； （2）如图 2，当 ac与半圆相切时，求 ad；2（ 3）如图 3，当 ab和 de重合时，求证：cf=cg?ce（ 1）解：由题意可得： bo=4cm， t=2 （ s）；（ 2）解：如图 2，连接 o与切点 h，则 ohac，又 a=45，ao=oh=3cm， ad=ao do=（ 33） cm；（ 3）证明：如图 3，连接 ef，od=of， odf=ofd， de为直径， odf+def=90，dec=def+cef=90， cef=odf=ofd=