信与系统零输入响应和零状态响应

1、信号与系统,2.2.3,零输入响应和,零状态响应,信号与系统,起始状态与激励源的等效转换,在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始,储能看作是激励源。,外加激励源,系统的完全响应,共同作用的结果,可以看作,起始状态等效激励源,系统的完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,(,线性系统具有叠加性,),信号与系统,也称,固有响应,，对应于,齐次解,。,由系统本身特性决,定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。,形式取决于,外加激励,。对应于,特解,。,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系,统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于,

2、零），由系统的外加激励信号产生的响应。,自由响应：,强迫响应：,零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,自由响应强迫响应,(Natural+forced),零输入响应零状态响应,(Zero-input+Zero-state,),信号与系统,系统,零输入响应,，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系,统起始状态值决定的初始值求出待定系数。,零输入响应,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,k,c,dt,y,d,dt,t,y,d,a,k,k,n,k,k,k,2,1,0,),0,(,0,),(,zi,k,0,zi,k,?,起始条件：,1,(,),i,n,t,zi,i,i,y,

3、t,Ce,?,?,?,?,系统方程：,解的形式：,由,起始状态,求待定系数。,信号与系统,系统,零状态响应,，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由,起始状态值,为零决定的初始值求出待定系数。,零状态响应,系统方程：,解的形式：,齐次解,+,特解,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,k,dt,y,d,dt,t,x,d,b,dt,t,y,d,a,k,zx,m,k,k,k,n,k,k,zs,k,2,1,0,0,),0,(,),(,),(,k,0,k,0,k,?,起始条件：,1,(,),(,),i,n,t,i,p,i,y,t,Ce,y,t,?,?,?,?,?,由,初始,条

4、件,求待定系数，需要计算从,到,跳变，一般根据实际,的工程问,题的物理关系求跳变，也可以作为一个纯粹的数字问题求解。,。,0,?,0,?,信号与系统,用经典法求解微分方程完全解的待定系数,时，作为一个数学问题，,所需要的,初始条件,常常为一组已知的数据，利用这组数据可求得方程完全解,中的各项系数,i,C,i,C,而作为工程技术问题，一般激励都是从时刻,加入，系统的响应时,间范围是,，则系统的初始条件要根据系统的原始内部储能和激,励接入瞬时的情况来确定。,0,?,t,?,?,?,?,t,0,如具体电路系统，根据如下条件从,起始条件,求,初始条件,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),0,(,)

5、,0,(,),0,(,),0,(,L,L,C,C,i,i,u,u,时刻等效电路,?,?,0,t,零状态响应,信号与系统,【例,2-2-6,】,如图,2-2-2,所示的电路，,以前开关位于“,1”,，已进入,稳态,，,时刻，,与,同时自“,1”,转至“,2”,，求输出电压,的零输入响应、零状,态响应和完全响应。,0,t,?,0,?,t,1,S,2,S,),(,t,u,H,1,F,1,V,10,?,?,?,2,),(,t,u,?,?,2,S,1,S,3A,1,1,2,2,),(,t,u,C,?,?,),(,t,i,L,V,10,),0,(,),0,(,?,?,?,?,C,C,u,u,A,5,),0

6、,(,),0,(,?,?,?,?,L,L,i,i,激励加入的瞬时,0,t,?,信号与系统,零输入响应,H,1,F,1,V,10,?,?,?,2,),(,t,u,?,?,2,S,1,S,3A,1,1,2,2,),(,t,u,C,?,?,),(,t,i,L,F,1,H,1,),(,t,i,L,),(,t,u,C,?,?,),(,t,u,?,?,?,2,?,?,(,),L,u,t,零输入,等效电路,?,?,0,t,0,),(,),(,d,d,2,),(,d,d,2,?,?,?,t,u,t,u,t,t,u,t,zi,zi,zi,零输入响应形式为,列写电路的微分方程为：,t,zi,t,zi,zi,t,C

7、,C,t,u,?,?,?,?,e,e,),(,2,1,(,0),t,?,信号与系统,零输入响应形式为,t,zi,t,zi,zi,t,C,C,t,u,?,?,?,?,e,e,),(,2,1,(,0),t,?,其中，待定系数,和,得根据初始条件,和,确定。,1,zi,C,2,zi,C,),0,(,?,zi,u,),0,(,d,d,?,zi,u,t,时刻的零输入初始值等效电路,?,?,0,t,F,1,H,1,),(,t,i,L,),(,t,u,C,?,?,),(,t,u,?,?,?,2,V,10,),0,(,),0,(,?,?,?,?,C,C,u,u,A,5,),0,(,),0,(,?,?,?,?,

8、L,L,i,i,V,10,),0,(,?,?,C,u,F,1,H,1,A,5,),0,(,?,?,L,i,),(,t,i,L,),(,t,u,C,?,?,?,?,),(,t,u,?,?,?,2,零输入响应,信号与系统,V,10,),0,(,?,?,C,u,A,5,),0,(,?,?,L,i,),(,t,i,L,?,?,),(,t,u,?,?,?,2,V,10,),0,(,?,?,C,u,F,1,H,1,A,5,),0,(,?,?,L,i,),(,t,i,L,),(,t,u,C,?,?,?,?,),(,t,u,?,?,?,2,V,10,),0,(,?,?,zi,u,由电路可求得：,d,d,(,0

9、),(,0),d,d,z,i,L,u,i,R,t,t,?,?,?,(,0,),d,(,0,),0,d,L,L,u,i,t,L,?,?,?,?,d,(0,),0V,/s,d,zi,u,t,?,?,信号与系统,零输入响应形式为,t,zi,t,zi,zi,t,C,C,t,u,?,?,?,?,e,e,),(,2,1,(,0),t,?,初始条件,V,10,),0,(,?,?,zi,u,d,(0,),0V,/s,d,zi,u,t,?,?,可求得零输入响应为,：,t,t,zi,t,t,u,?,?,?,?,e,10,e,10,),(,(,0),t,?,零输入响应,信号与系统,讨论：,由,时刻的电路,0,t,?

10、,?,H,1,F,1,V,10,?,?,?,2,),(,t,u,?,?,2,S,1,S,3A,1,1,2,2,),(,t,u,C,?,?,),(,t,i,L,可计算,(,0,),1,0,V,=(,0,),z,i,z,i,u,u,?,?,?,d,d,(,0,),0,V,/,s,=,(,0,),d,d,z,i,z,i,u,u,t,t,?,?,?,在零输入的情况下，起始点没,有跳变。可以,起始条件,计算零输,入响应。,不用计算初始条件,。,零输入响应,信号与系统,零状态响应,零状态响应,：不考虑系统起始储能，零状态响应等效电路如图,H,1,F,1,V,10,?,2,),(,t,u,?,?,),(,t

11、,u,C,?,?,),(,t,i,L,3A,),(,t,i,s,列出零状态等效电路的微分方程为,),(,2,),(,),(,d,d,2,),(,d,d,2,t,i,t,u,t,u,t,t,u,t,s,zi,zs,zs,?,?,?,其中，,，,，,0,),0,(,?,?,zs,u,0,),0,(,d,d,?,?,zs,u,t,),(,3,),(,t,u,t,i,s,?,根据,微分方程经典解法,易求得零状态响应中的特解为常数,6,_,_,1,2,(,),(,),(,),e,e,6,t,t,z,s,z,s,h,z,s,p,z,s,z,s,u,t,u,t,u,t,C,C,t,?,?,?,?,?,?,?

12、,(,0),t,?,信号与系统,6,e,e,),(,2,1,?,?,?,?,?,t,zs,t,zs,zs,t,C,C,t,u,(,0),t,?,零状态响应,其中，待定系数,和,得根据,初始条件,和,确定。,1,z,s,C,2,z,s,C,(,0,),z,s,u,?,d,(0,),d,zs,u,t,?,时刻的,零状态初始值,等效电路,?,?,0,t,0,),0,(,),0,(,?,?,?,?,C,C,u,u,0,),0,(,),0,(,?,?,?,?,L,L,i,i,),0,(,?,zs,u,),0,(,d,d,?,zs,u,t,零状态响应,信号与系统,V,10,?,2,?,),(,t,i,L,

13、3A,),(,t,i,s,),0,(,?,L,u,?,?,),(,t,u,?,?,H,1,F,1,V,10,?,2,),(,t,u,?,?,),(,t,u,C,?,?,),(,t,i,L,3A,),(,t,i,s,0,),0,(,),0,(,?,?,?,?,C,C,u,u,0,),0,(,),0,(,?,?,?,?,L,L,i,i,V,0,),0,(,?,?,zs,u,求得初始条件为,d,d,(,0),(,0),d,d,z,s,L,u,i,R,t,t,?,?,?,(,0,),d,(,0,),0,d,L,L,u,i,t,L,?,?,?,?,d,(0,),0,V,/s,d,zs,u,t,?,?,信

14、号与系统,H,1,?,L,2,(,),10,x,t,V,?,?,?,(,),i,t,?,?,2,1,(,),t,x,t,e,V,?,?,2,1,S,0,?,t,将初始条件,，,代入零状态响应形式,V,0,),0,(,?,?,zs,u,d,(0,),0,V,/s,d,zs,u,t,?,?,6,e,e,),(,2,1,?,?,?,?,?,t,zs,t,zs,zs,t,C,C,t,u,(,0),t,?,解得：,(,),(,),(,),(,4,e,4,e,6,),(,),t,t,z,i,z,s,u,t,u,t,u,t,t,u,t,?,?,?,?,?,?,讨论：,本例中零状态响应的初始条件与起始条件相同

15、，,只是特例。,另一例子，电流,是有跳变的。,所以零状态响应一定要用初始条件计算,。,(,),i,t,(0,),L,u,?,F,1,?,C,?,?,1,R,(0,),i,?,?,?,2,1,(,),t,x,t,e,V,?,?,2,S,(0,),0,i,?,?,(,0,),d,(,0,),1,d,L,u,i,t,L,?,?,?,?,(0,),0,i,?,?,d,(0,),0,d,i,t,?,?,信号与系统,讨论：,?,用经典法从起始条件求出,时刻的,初始条件,的过程往往比较复杂，需,根据实际的物理系统的约束关系求解。,?,?,0,t,?,作为纯粹的数学问题，也可从起始条件求出,时刻的初始条件，有

16、兴趣,的同学有参考有关的参考课。“,微分方程冲激函数匹配原理判断,时刻和,时刻状态的变化,”,?,?,0,t,?,0,?,0,?,在系统的时域分析中，引入冲激响应后，利用,卷积积分求系统的零状态响应,比,较方便，它绕过了求,时刻的初始条件的步骤。,?,?,0,t,?,第,5,章还将介绍系统的复频域分析法，,利用复频域分析法求解系统响应,，可以,自动代入,时刻的起始条件，从而更方便地求得零输入响应、零状态响应,和完全响应。,?,?,0,t,信号与系统,求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出,卷积积分法。,零状态响应,(),(),(),rt,e,t,h,t,?,?,系统的零状态响应,=,激励

17、与系统冲激响应的卷积，,即,(,),t,?,(,),h,t,(,),e,t,(,),r,t,线性时不变系统,(,),h,t,信号与系统,对系统线性的进一步认识,由,常系数微分方程,描述的系统在下述意义上是线性的。,(1),响应可分解为：零输入响应零状态响应。,(2),零状态线性,：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线,性。,(3),零输入线性,：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。,信号与系统,(0,),1,r,?,?,(0,),0,r,?,?,?,t,t,zi,e,e,t,r,2,1,),(,?,?,?,?,(0,),0,r,?,?,(0,),1,r,?,?,

18、?,t,t,zi,e,e,t,r,2,2,2,2,),(,?,?,?,?,),(,),(,3,t,u,e,t,e,t,?,?,),(,),2,3,(,),(,3,2,3,t,u,e,e,e,t,r,t,t,t,zs,?,?,?,?,?,?,1,),0,(,2,),0,(,?,?,?,?,?,?,r,r,3,(,),(,),3,(,),t,x,t,t,e,u,t,?,?,?,?,3,1,2,(,),(,)(,),(,),2,(,),(,),z,s,z,i,z,s,z,i,z,i,r,tr,tr,tr,t,r,tr,t,?,?,?,?,?,例：,二阶系统对,，,的,起始状态,1,的零输入响应为,对

19、,，,的,起始状态,2,的零输入响应为,系统对激励,的零状态响就为,求系统在,起始状态下，对激励,解：,的完全响应。,对系统线性的进一步认识,信号与系统,设零输入响应为,),(,zi,t,r,，零状态响应为,),(,zs,t,r,，,则有,例：,已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为,(,),e,t,时，其全响应,为,3,1,(,),2e,sin(2,),(,),t,r,t,t,u,t,?,?,?,?,?,?,?,；,当,激,励,为,2,(,),e,t,时,，,其,全,响,应,为,3,2,(,),e,2sin(2,),(,),t,r,t,t,u,t,?,?,?,?,?,?,?,。求,：,(1),初始条件不变，当激励为,0,(,),e,t,t,?,时的全响应,3,(,),r,t,，,0,t,为大于零的实常数。,(2),初始条件增大,1,倍,，,当激励为,0.5,(,),e,t,时的全响应,4,(,),r,t,。,3,1,z,i