排列组合二项式定理专题复习

1、排列、组合、二项式定理考纲导读1. 掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题.2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用 问题.4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.知识网络排列概念排列组合二项式定理两个计数原理排列组合排列数公式组合概念组合数公式组合数性质应用二项式定理通项公式应用.项式系数性质高考导航排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想.它是

2、高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识.由于这部分内容概念性强， 抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因 此学生要学好本节有一定的难度.解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题.二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项， 难度与课本内容相当另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题， 在高考中也时有出现.第1课时两个计数原理理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在

3、第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法， ，在第 n类办法中有 m种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.2. 分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有 m种不同的方法， ，做 n步有m种不同的方法，那么完 成这件事共有 N=种不同的方法.3. 解题方法：枚举法、插空法、隔板法.例1.高二、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学

4、生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：(1) 48 + 50 + 52= 150 种 (2) 48 X 50 X 52= 124800 种 (3) C仏(4) A；0变式训练1:在直角坐标x o y平面上，平行直线 x=n,(n=0, 1, 2, 3, 4, 5) , y=n, (n=0, 1, 2, 3, 4, 5)，组成的图形中，矩形共有()A 25 个 B 、36 个 C 、100 个 D 、225 个解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样 的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：2 2得到的矩形共有 C6 C

5、6 =15 15 = 225个，故选Db例2. (1)将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？ 设I =1,2,3,4,5,6, A与 B都是I的子集，AA B= 1,3,5，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？(3) 随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)5767解：(1) 6( 2) 27(3)电话号码首位不为 0: 9X 10 9 X 10 = 8.1 X 10变式训练2： 一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。请问：6个小扇形分别着上 6种颜色有多少

6、种不同的着色方法？从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色，则有多少种不同的着色方法 ？解：6个小扇形分别着上 6种不同的颜色，共有 A =720种着色方法.6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有C；c5a?种不同的方法；其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有 6C；A；;因此满足条件的着色方法共有CqCq A5 -6CqA5 = 6480 种着色方法例3.如图A, B, C, D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来， 则不同的建桥方案有()匚二二DA广A、8 种 B、12 种 C、16 种 D、20 种B C匸二 C1解：第一类：从一个岛出发向其它三岛

7、各建一桥，共有C4=4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A B C D, D-C B-A,这样的两个排列对应一4种建桥方法，因此有 A =12种方法；2根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法变式训练3:某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员 不能同时分给一个部门， 另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案.解：用分步计数原理先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2X (3 +3) X 3= 36 种.例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以

8、通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是()、20D 、19第一类：12 5 3第二类124 -第三类127 第四类；128-可见：第-类中单位时间传递的最大信息量是3;第二类单位时间传递的最大信息量是解：要完成的这件事是：“从 A向B传递信息”，完成这件事有 4类办法:4；第三类单位时间传递的最大信息量是6;第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D变式训练4： 7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每

9、个盒子里至少有1个球”。于是，我们采用“隔板法”来解决。在 7个小球中的每两个之间分别有 6个空，我们从6 个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部 分至少有1个球。即有 c3=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以 共有20种放球放法。注；(1)本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。(2) 隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用两个原理的区别在于， 前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.第2课时 排列

10、基础过关1. 一般地说，从 n个不同元素中，任取 m(mc n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列.排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” 因此当元 素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列.2. 从n个不同元素中取出 m(mc n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个为不同元素中取 出m个元素的排列数，用符号 An表示排列数公式 An=.这里me n其中等式的右边是 个连续的自然数相乘，最大的是 ，最小的是.3. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不同元素的一个全排列，全排列数用 Ann表

11、示，它等于自然数从 1到n的连乘积，自然数从 1到n的连乘积叫做n的阶乘，用 表示.4. 解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、 枚举法、对称法、隔板法.5. 排列问题常用框图来处理.典型例题例1、(1)元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？ 同一排6张编号1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且 这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？(3) (06湖南理14)某工程队有6项工程需要单独完成， 其中工程乙必须在工程甲完成后 才能进行，工程丙必须

12、在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法有多少种数？解：(1)分类：9种(2) 假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元素b，另4人为四个元素C1、C2、C3、C4.问题化为a,b,c 1,c 2,c 3,C4的排列，条件是a,b不相邻，共有 A： A = 48种；(3)将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余 2项工程选择好位置，剩下 3个位置按甲、乙(两丁)中唯一的，故有A2 = 20种变式训练1:有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分 ，将这9个球排成一列 有种不同的方法解:99个球排成一列有 A种排法,再除去2红、

13、3黄、4白的顺序即可，故共有排法厂1260种。A A A答案:1260例2.5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1)甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种.甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种.甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有种.丙在甲乙之间(不要求-定相邻)的排法有种.甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种.5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种. 女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种.甲与乙、丙都不相邻的排法有 种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有种.(8) 甲乙丙三人至少有1人在

14、两端的排法有 种.(9) 甲乙之间有且只有4人的排法有种.解：(1)8 ! , 8 X 8! (2) 2 X 8! ,6 X 7! (3)丄 X 9! , A X 1, A； X 2X 1 2(4) A X7 !8 ! + 7X 7X 7! 2 X 5!X 4! 5! X A6, 5 ! X 4! X 22(7) 9! - 2 X 8!X 2+ 2 X 7! , 3 X 6!X Az X2.3(8) 9! - A X 6!(9) 捆绑法.2X P74 x 4! 也可用枚举法 2 X 4X 7 !变式训练2:从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞

15、赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛， 若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？解：5.例3.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数 解：分两类. 类5在千位上：1X 5 X A = 280 类4或6在千位上：2X 4X A = 448故有 280 + 448= 728 个变式训练3： 3张卡片的正反面上分别有数字0和1 , 3和4, 5和6,当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数(6可做9用)解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有 5X 4X 2 = 40个这40个三位数中含数 字6的有2X 3X 2+ 1 X 4X 2

16、= 20个，故6可做9用时，可得三位数 40+ 20= 60个 例4. (1) 从6名短跑运动员中选 4人参加4 X 100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方 法有多少种？(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？ 解：(1)先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5X A = 300种 60对.(2)假设五个连续空位为一个元素A, B为单独一个空位元素，另 4个为元素O, G, G ,G间题转化为A, B, O1, O2, O3, 04排列，条件A, B不相邻，有A： A = 480种.变式训练4:某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由 6名火

17、炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则 不同的传递方案共有种(用数字作答).解：96小结归纳1解排列应用问题首先必须认真分析题意看能否把问题归结为排队(即排列)问题，较 简单的排列问题常用框图或树型来处理(注意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等)2. 解有约束条件的排列问题的几种策略.a. 特殊元素，特殊位置优先定位(也有个别例外情况，见例1)b. 相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理c. 正难则反，等价转换3解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排 列问题的各种方法.4. 由于排列问题的结果一般数

18、目较大.不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要 防止重复和遗漏为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同.第3课时 组合基础过关1一般地说，从n个不同元素中，任取 m(mc n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中 取出m个元素的一个组合.2. 排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取 m个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.从n个不同元素中取出 m(m 0,不妨设a b,那么b v 0a当cm 0时,则a有3种取法，有3种取法,c有4种取法，并且其中任意两条直线不重合，所以这样的直线有 3 x 3 x 4=36条当c=0

19、时，a有3种取法，有3种取法，其中直线：3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合，所以这样的直线有3x 3-2=7条故符合条件的直线有 7+36=43条变式训练3:将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分 配一人，则不同的分配方案共有 种.解：C3 3 A22 c1 3 c4 C22 =150例4.从集合1 , 2, 3,20中任选3个不同的数，使这 3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解：a, b, cN a , b, c成等差数列匕ac=2b - a,c要么同为奇数，要么同为偶数，2 2故满足题设的等差数列共有Aio + Aio = 180(个)

20、变式训练4:某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？解:设该队胜负平的情况是：胜x场，负y场，则平15-(x + y)场，依题意有：，3x+y=33%x+y 兰 159。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9, 0, 6; 10, 2, 3; 11, 4, 0.小结归纳1排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把 握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解2排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题3对于用直接法

21、解较难的问题时，则采用间接法解第5课时二项式定理基础过关1. (a + b)n = (n N),这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用Tr + 1表示，即通项公式 Tr + 1 =是表示展开式的第r + 1项.2. 二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即:0n 1 n 1 2 n-2r n-rCn Cn ,Cn 二Cn ,Cn 二Cn ,IH,Cn 二Cn 如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇数， 中间两项的

22、二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有 n+1叽中间一项，即：第项的二项式系数最大，为 ;当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有 n+1项，中间两项，即第 项及每项，它们的二项式系数最大，为 二项式系数的和等于，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和= 即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：C第 pn -k : k 13. 二项式定理主要有以下应用 近似计算 解决有关整除或求余数问题 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式(其做法称为“赋值法”) 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 杨辉三角形典型例题例1. (1)(06湖南理11 )若(

23、ax 1)5的展开式中x3的系数是一80,则实数a的值是.(06湖北文8)在C.xj1)24的展开式中，x的幕指数是整数的有 项.(1+x)+(1+x)i - -1,则展开式中常数项是()+(1+x) 3+(1+x)6展开式中x2项的系数为 .解：(1) 2(2) 5 项(3) 35210910变式训练1若多项式x x=aa(x1)a9(x1)a(x1)，则a()A 9B、10C、一 9 D 、一 10解：根据左边X的系数为1,易知a10 =1，左边x9的系数为0,右边x9的系数为 aoC；o = a910=，八10故选 J例2.已知f(x) = (1+x) m+(1+x) n,其中m n N

24、展开式中x的一次项系数为11,问m n为 何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值是多少？由题意C；亠C； =11=m亠n =11，则含x项的系数为霭亠C3 =丄n(n1)(n 2) +6-m(m -1)(m -2)612911 2(27n2 _297n 990) (n )2 6 2 2 89 ,112231，当n= 5或6时x?系数取得最小值为3014,其中2i变式训练2:分已知( -)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为A 45i45i C45 D、45解析：第三项，第五项的系数分别为2 2依据题意有： Cn(7)c：( - i)4 14整理得 n2 -5n -50 =0即解方程(n 1

25、0)(n + 5) = 0rr20-2r一/ r则只有n=10适合题意由Tn 1 =C10 x x 2 Ci)，r当 20-2r0 时，有 r=8,2882故常数项为 C10(i) =C10=45故选D例 3.若(1 _2x)2004 =逐 +盼 +a2X2 +a2oo4x2004, x亡 R 求(ao 乜)+( ao +a2)+( so+a2oo4)解：对于式子：(1 -2x)2004 = a0 - a1x - a2x2-a2004x2004 ,x 二 R,令x=0,便得到：a0=l令 x=l，得至U a0 a a2 - -a2004 =1又原式：(a0 - a1) + ( a0 a2) +

26、 ( a0 - a2004 )= 2OO4ao - (a1 - a?-a2o4) =23ao - (a。12-a2oo4) 原式：(a a1) + ( a a2) + ( a a 2004) =2004注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系32322变式训练3：若(2x %3 ) =% gx坦x坦x，则(a。乜$十1七3 2的值是()A. -1B. 1C. 0D. 2解：AL 2*例4.已知二项式(.X 2)n, ( nN )的展开式中第5项的系数与第3项的系数的x比是10: 1,(1) 求展开式中各项的系数和(2 )求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：(1)

27、v第5项的系数与第3项的系数的比是10： 1,4 4 C; (-2)2 二 1P，解得 n=8cn(-2)21令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2) 8=1r -1C8 展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为2r 1n -rr rr 12 , C8 2 , C8若第r+1项的系数绝对值最大，则必须满足：r-1 ntr.rr1r-1r.rC8 2 w C8 2 并且 C8 2 w C8 2，解得 5 r w 6；11所以系数最大的项为T7=1792 石；二项式系数最大的项为T5=1120614:3 ,xx变式训练4:已知(.、x 吕)n的第5项的二项式系数与第三项的二项系

28、数的比是求展开式中不含x的项.求(x 1) (x 1)2+ (x 1)3-(x 1) 4+ (x 1) 5 的展开式中 x2项的系数.解：(i丄)n =i -c；丄2丄nn n1(1 )n=1 c； - cn-J2n nn22jn2.n(n _1)(n 一2) 2 1 n “n2 丄.亠1 .-沢 3 JI1112瓦-n *222小结归纳1 注意(a + b)n及(a b)n展开式中，通项公式分别为 十=Cnrabr及十弓_1 jcnanbr这里 0 r n且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指 定项，要扣住通项公式来解决问题.2.二项式的展开式中二项式系数

29、与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及 项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关.3应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展 开式中各项的取舍.4求余数或证明整除问题，被除数是幕指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数 的倍数加1或减1.通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧.排列组合二项式定理章节测试题、选择题:1. 1 XI 2的展开式中X2的系数为（）A. 10 B2.将 1, 2, 讶申填法, 6种曰是A.-D . 1 23填入3 3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面 则不同的填写方法共有（）B . 12

30、 种C. 24 种 D. 48 种3.（1 - x）4（1 、x）4的展开式中X的系数是（）A.-4B.-3D. 44.设(1 x)8二 a8+ aiX +川+a$x ,则ao,ai|, a中奇数的个数为（A. 25. 12名同学合影，站成前排若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是B. 3C. 4D. 54人后排8人，现摄影师要从后排（）8人中抽2人调整到前排,A.CsA6B . c(AC . Cs A2d. c(a56. 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为（）A.14B.24C.28D.487. 从5名男生和5名女

31、生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A.100B.110C.120D.1808. 某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选 2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是（）A. 15 B . 45 C . 60 D . 7510 1 109. (1 X)(1)展开式中的常数项为()xA . 1 B . (C10)C . C20D . C202张，则取出的2张卡10. 4张卡片上分别写有数字1, 2, 3, 4,从这4张卡片中随机抽取片上的数字之和为奇数的概率为（）D.A.11. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序， 第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A. 24 种B . 36 种C. 48 种D. 72 种12.在（x -1）（x -2）（x -3）（x -4）（x -5）的展开式中，含x4的项的系数是（(A) -15( B) 85( C -120( D) 274113. 若(x+丄)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为()2x(A)6(B)7(C)8(