浙大概率论与数理统计课件第3章节.ppt

1、1,第三章 多维随机变量及其分布,关键词： 二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度,2,1 二维随机变量,问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一

2、样本空间的两个随机变量。,3,分布函数 的性质,4,5,二维离散型随机变量,定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。,离散型随机变量的联合概率分布： 为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。 可以用如右表格表示：,6,分布律的性质,例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。,解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。,即(X,Y)的联合概率分布为：,7,8,例2：(X,Y)的联合分布律为

3、求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3),(2),解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,9,对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为,事实上，,同理：,X,Y的边缘概率密度为：,10,例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：,11,12,13,3 条件分布,正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为： 我们也可以考虑条件概率,由条件概率公式可得：,14,定义

4、：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，,同样，对于固定的xi，,15,例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布率； （2）X=1时Y的条件分布率； (3) Y=0时X的条件分布率。,解：X, Y的联合分布率为,16,故在X=1的条件下，Y的分布律为：,同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：,17,例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布

5、律。 解：,18,19,定义：条件分布函数,20,定义：条件概率密度,21,由定义：,事实上，,22,例3：设二维随机变量(X,Y)在区域(x,y): y x1 内均匀分布，求条件概率密度,二维均匀分布的条件 分布仍为均匀分布,解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为：,Y的边缘概率密度为：,于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：,23,24,4 相互独立的随机变量,25,例1：1例2中X和Y 是否相互独立？(X,Y)具有概率密度,连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？,X和Y的边缘概率密度分别为：,26,27,28,29,30,31,一般n维随机变量的一些概念和结果,32,

6、边缘分布 如：,33,相互独立,34,定理1： 定理2：,35,5 两个随机变量的函数的分布,36,例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。,解：由卷积公式：,一般：设X,Y相互独立，,37,例2：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求 的概率密度。,解：根据卷积公式：,易知仅当,参考图得：,38,例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度为： 求 的概率密度。,解：根据卷积公式：,39,一般的，可以证明： 若X,Y相互独立，且分别服从参数为 X,Y的概率密度分别为 证明：这是例3的推广，由卷积公式,由此可知：,40,41,推广到n个相互独立的随机变量的情

7、况 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：,42,43,例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联； (3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。 如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为： 试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。,44,串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函数分别为： 故Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为：,即Z仍服从指数分布,45,并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损

8、坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为：,46,备用的情况 由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； 因此：,47,复习思考题 3,1.设(X,Y)为二维向量， 则Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1, y1),对吗？ 2.设(X,Y)为二维连续量，则PX+Y =1=0,对吗？ 3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度， fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使 f(x0,y0) fX(

9、x0)fY(y0)则X和Y不独立，对吗？,48,关键词： 数学期望 方差 协方差 相关系数,第四章 随机变量的数字特征,49,问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；,50,1 数学期望,例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。,解：计算甲的平均

10、成绩：,计算乙的平均成绩：,所以甲的成绩好于乙的成绩。,“分赌金”问题： A和B赌博，各押赌注32个金币。约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，由于某种原因，赌局没有进行完。那么，这个钱应该怎么分？,51,A拿赌注的34,B拿赌注的14。,52,定义： 定义：,数学期望简称期望，又称均值。,53,例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,解：X的分布律为：,54,例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里

11、无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？,解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，,设Y表示一周内所获利润，则,55,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,常见的几种分布的数学期望 离散型 0-1分布 二项分布 泊松分布 连续型 均匀分布 指数分布 正态分布,56,57,例5：,58,例6：,59,60,例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。,62,例8：,63,64,例9：设随机变量(X,Y

12、)的概率密度为：,65,66,例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立),本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和 的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望， 这种处理方法具有一定的普遍意义。,解：引入随机变量：,67,例12：,68,2 方差,设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？,单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 方差正是体现这种意义的数字特征。,69,定义：,70,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：,71,