高数下期中考试

1、高等数学(下册)期中考试 汇编(2013-5-5)、解答下列各题( 710 = 70分)1. 设u 二xy eXyz，求 dz(i,2,o)2. 设曲线为r二r(t) =(t3,t2,t)，求它在对应于t = 1的点处的切线方程和法平面方程.2 2 23. 设有球面x2 y2 z2 =14，求它在(3,2,1)处的切平面方程和法线方程.2_4. 设由方程x2 2y2 3z2 xy - z - 9 = 0可确定z = z(x, y)，求 在P(1,2,1)处的值.cxcy2 2 25. 设积分区域门由抛物面z = X y及平面z = h 0所围成。求! z dvQ6. 计算二重积分I =(1 -

2、 x2 y2) d；二，其中D是由x2 y2二a2和x2y2二ax及x = 0所围在D第一象限的区域.y 1 y 27.计算二重积分二 12dy 1exdx1dyexdx.4 2 2 y8. 在圆锥面 Rz = h； x2 y2与z = h (R 0,h 0)所围的锥体内作一个底面平行于xoy面的最大长方体，求此长方体的体积 .22339. 在一个侧面为旋转抛物面4z = x y的容器内装有 8二(cm )的水，现注入128二(cm )的水，问水面比原来升高多少？10.求向量值函数 f的导数，其中f - xcosy,yex,sin(xz)【.、设z = f ex,，其中具有二阶连续偏导数，求I

3、 y丿f2 2 1(x y )sin,vx + y三、讨论函数 f (x, y)=x2y2四、设x2 y21 是由曲面 z = a2 _ x2 _ y2 及 z = . x2 y2 _ a0,=0在(0,0)点是否连续，是否可微=0(a 0)围成的空间立体，求-1对oz轴的转动惯量Iz.五、设f (t)在0,：)上连续，且满足方程f(t) =1亠hi z2Q LI dv，其中0是由不等式2 2 20 二zh,x y 二4t 所确定，求 f(t).(2012-4-21)填空题(每小题 5分，共20分)y = 2的点处的切线方程是21.曲线x = t ， y =2t, z = t上相应于2. u

4、=zarctan 乂在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为 x3. 曲面F (x, y, z) = X2 xy2，y3 - z，1 = 0，在点 M (2,T,6)处的切平面方程为 2 24. 若函数f (x, y) =2x ax xy - 2y在点(1,T)处取得极值，则常数 a =计算下列各题(每小题9分，共54分)1)2)3)4)11sin x计算 I dy (1 ex) dxyx计算二重积分I isin . x2y2 dxdy， D :二2 乞 x2D22 y 设z =x f (x,)，其中f具有连续的二阶偏导数，求x2 2求椭球面 乞乂 Z2 =1被平面

5、x y z =0截得的椭圆长半轴与短半轴之长.32在曲面a】.x b . y c. z =1 (a 0, b 0,c0)上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的y2 乞 4二25.体积最大，求切点的坐标22尸F 戸2 F6.设函数 F(x, y)二x1yf(x2y2)，其中f (u)二阶可导，求 ， 求二重积分ex Sxy3I = F (x, y)dxdy，其中D是由y =x , y =1,x = -1围成的平面区域.D三.(9分)(学习工科数学分析者作 (1),其余作(2)f 22、x - y 2xy2)设 z = f (x, y)，由 x - y xeU = 0所确定，求 dz 四.(11

6、分)讨论函数f(x, y)二3. x2y在点(0,0)处是否连续，1)设有二元向量值函数f (x, y)二，试求f在点(1,1)处的导数与微分.五.(6分)已知u =u(._x2 y2)有连续二阶偏导数，且满足偏导是否存在，是否可微？2 = x2 y2试求函数 u的表达式. .x : y、填空题(每小题 5分共20 分)(2011-4-23)1 .函数 f (x, y) =exln sin(x - 2y)，在(,0) 点处的全微分422设u =2xy -z，则u在点(2,-1,1)处的方向导数的最大值为1 1 1(,)处的切平面万程为2 2 2 2:Z _-2 :X2 2 23设有椭球面x 2

7、y z 1，则它在点xz4 设z二z(x, y)由方程 ln 所确定，则 zy二单选题(每小题 5分，共20分)L 21 在曲线 y - -t的所有切线中，与平面 x 2y 4平行的切线(t3Z A 只有1条 B 只有2条C 只有1x22. lim 2 I ie cos(x y)d xd y 二(r二 r d兀B.1/兀c.1eIn xf (x, y)连续,I dx .。 f (x, y)d y交换积分次序后为(eIn xi d y 0 f (x, y)dxIn xeI = 0 dy 1 f(x,y)dx3设: r3条 D不存在).其中 D :x2 y2 r2.e1B. I = eydy 0f

8、(x,y)dx1ed. I=J0dyjeyf(x,y)dx22小x y 0在点(0,0)处(x2y2 =0sin 2(x2y2)I 224. 函数 f (x, y) = x + y0于容器之中，试求细棒中点的最低位置（设I :1）.A 无定义B连续C有极限但不连续D无极限三、（10分）设函数f （u,v）可微，z = z（x, y）是由方程z xy = f （xz, yz）确定的可微函数，求，一.ex cy四、（10分）讨论函数 f（X, y）二.|xy|在（0,0）处连续性、可导性、可微性 .五、（10分）在曲面:z=x2 2y2上求一点p（x0,y0,z0），使它到平面 二：x - y 2

9、z 6 = 0的距离最 短.2 x n x42 n x六、（10 分）计算 I d x sin d y 亠 | d x sin d y .! 1“ 2yJ 2 事 2y 七、（10 分）计算二重积分 11sinx2y2d xd y, D :二2 _x2y2_ 4 2D八、（4分）（学习工科数学分析者作（1）,其余作（2）斗xT（1）求向量值函数 f （x, y,z（xcosy, ye ,sin（xz）的 Jacobi 矩阵.2 求函数 f （x, 2x y,x -3y）的梯度（f的偏导存在）.九.（6分）求抛物面z =1 x2 y2的一个切平面，使得它与抛物面及圆柱（x -1）2 y2 =1围

10、成的体积最小,试写岀切平面方程并求岀最小体积.（2010-5-8）、填空题（每小题 4分，共20分）1 设 u uxy+eX，则 dz（120）=.x=t：2 设丿y =t2，则它在t =1所对应点处的切线方程为 .z =t的方向导数为设 u =1 n _x2y2z2，则 grad f (1,1,1) =2设u =2xy -z，则u在点（2,-1,1）处沿方向计算 I I (x2 - y)d - x2 yR2计算题（每小题7分洪63 分）12342 2求曲面z = x y -1在点（2,1,4）的切平面方程和法线方程11 %后2 sin xy计算 Ldy（y2 dx.广2、设 z = xf 2

11、x,仝I x，其中f具有二阶连续偏导数，求-2:z：x：yxy讨论函数 f(x, y) = ( Jx2 十 y210,x2y2 = 02 2x y =0在点（0,0）的偏导数及可微性5 设有形状为旋转抛物面的一容器，其中心轴截面与容器的截线方程为y = X2，现将长为I的细棒AB置6(学工科数学分析者作(1),其他作(2)三、T- 1 1(1)求向量值函数 f = sin(x2 y2),ln(x2 +z2),?在点(1,1,1)T 处的导数.-y2+z2j(2)求由方程X计算二重积分2 22Z-2y2 z-4x 2z -5二0所确定的隐函数 z的二阶偏导数2 .ex11 . x2 y2 d二，

12、其中 D 二( x, y) | 2x _ x2 y2 _ 4, x _ 0, y _ 0.Dz(x, y)在xoy平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且z-x2z2 dxd y，求函数 z(x, y).:x若二元函数D磴dxdyT 2近设函数f(t)在0,上连续，且满足方程(1 U门f 迄Jx + y dxdy,求 f(t).f(t)=e4 ”x2 y2j4t2讨论题(共17分)1.计算二元函数zf (x, y)中,再求一元函数-f (x, y)在点P(x, y)处对x的偏导数fx(x0, y)时,可以先将y = y代入 f(x,y。)在 x。处对 x 的导数，即 fx(x0,y

13、0)= df(x,yo)dx，为什么？x哭224f(x,y)=12x - 8xy - y的极值点，来说明当点(x,y)在过M0(x0,y0)的任一直 M 0 (x, y)处取得极值？2.试通过讨论函数线L上变动时，二元函数f (x, y)都在M 0(X0, yo)处取得极值，能否断定该函数在(2009-4-26 )2.、填空题(每小题3分，共15分)2 2若函数f (x, y) =2x ax xy - 2y在点(1,-1)处取得极值，则常数 a:zX2z - ln(e )，沿I二1,0方向的方向导数ya3.4.5.1.曲线x = cost, y = sin t, z = tan丄在点(0,1,

14、1)处的切线方程是 2交换二次积分的积分次序(其中f (x, y)为连续函数)1x222 x0dx 0 f(x,y)dy “dx。 f(x,y)dy=.设 M (1,-1,2)是曲面z = f (x, y)上的一点，若fx(1,T)=3，在任xfx(x, y) yfy(x, y)二f (x, y)，则曲面在 M处的切平面方程是 .、单项选择题(每小题3分，共15分)f4xy-2x函数 f (x, y)= “y0,x2y22.A.在原点无定义C.在原点极限不存在函数 f (x, y) = 2xy -3xA.取得极大值=0在原点(0,0)间断的原因是f (x, y)()=0B.在原点极限存在但在原

15、点无定义D.在原点极限存在，22y210在点 0(0,0)处(x2y2B.取得极小值C.无极值但极限不等于原点的函数值)D.不能判定是否取得极值3.设 u =arctan*贝U gradu(11)=()点(x, y)处有4.5.1A. 一21,11、B.C.(,)2 22设f (u)是连续函数，平面区域D : 0辽y乞1x2A.C.比较(|x|乞 1)，则/ 1 1、D.(,)2 2f(x2 y2)dv()D11去0dx01dr f(T2)JdJ2 2f(x y )dyB.11 -y2“dy “2 2f(x y )dxI10.(x y)2d二 与 I2DD. 1 2出 f(r2)dr=(x y

16、)3 d二的大小，其中 D -: (x, y) |(x -2)2 (y -2)2 乞 2 /，)A. h = I 2三、解答题(每小题B. 11 A I 2 8分，共64分)C. I 1 _ 丨2D.丨1 _ I 21.2.3.求空和fz.；x：y求曲面 x y .2上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。各dy.1 y3y设 z = arctan x-1n . x2 y2，1 1计算二重积分 ，dx4.设 F (t)二 esin % y d xd y，其中 D =( x, y) | x2 y2 _ t2，求 lim F D t5.讨论函数f (x, y)=- 2 2 1 (x y )sin

17、 r 2x + y0,x2y2 =0x2y在原点(0,0)处的可微性.26.度7.(学习工科数学分析者作，学习工科数学分析者作_x2【 求向量值函数 f (x, y) = xy 的导数.2 2 2 设函数z=z(x,y)由方程F(x - y , y:z:zy x .:x: y设有一物体，它是由曲面- z，求此物体的质量z = x2y2和z = ,8-x2-y2所围成，已知它在任意的点(x, y,z)处的密m .8.设 f (x,-)，其中f具有二阶连续偏导数，求x四、综合题(6分)在第一卦限内作旋转抛物面Z = 1 - X22z =1X2-z)=0所确定.其中F(u,v)可微，zFv = 0，

18、求-2一 zdz及r.xy2 y的切平面，使得该切平面与旋转抛物面y (x -0, y -0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标一.解答下列各题(每小题7分,共70分)21.设 f (x, y)二 arcsin -,求 df(x,y). x222Z2.设由方程x +2y +3z +xyz 9=0可确定z = z(x, y),求 ex；：2z(1,-2,1)(1,-2,1)22 23.求曲面z = x +y -1在点(2,1,4)的切平面与法线方程. = (si nt,t2,2t)在t = 0时的切线与法线方程。11 亠 1了二 dy 护 f (x, y)dx.24.求曲线r5.设f

19、连续，交换积分次序6.计算二重积分.11 (x sin y 1)dxdyX2令2翌22 2 2i 是由抛物面 z=x y及平面z = h 0所围成，已知它的密度为f(x, y,z) = z試计7. 设空间立体 算它的质量8. 求 u = 2xy-z2在点(2, -1,1)处的方向导数的最大值.9. 求曲线 r = (acost,asint,kt)的曲率.10. (学工科数学分析者做，其它做)设 f(x,yH(x2 y2,exy)T,求 Df (1,1),df (1,1)f 2丄2x + y = uv2 2 2xy u - v设方程组，确定了函数u=u(x, y)和v=v(x, y)求二，兰ex

20、 ex四.五.:x(8 分)(8 分)(7 分)设 z f(x2y,),其中 fx 2x y2 2 ,设 f (x, y)=彳 x + y0 ,x2y2x2y2 0，试研究f (x, y)在(o,o)点处的连续性、可微性.-02 2 2 2求曲面z=1+x +y 在点M0(1, 13的切平面与曲面Z = x + y所围立体的体积。.2 2 2设函数f (x, y, z)在闭球体i】：x y - z 3上有连续的偏导数，且满足条件：在 门内 汙(7分)汗=1, 1, 1 ，込:z f (1,1,111 O试求函数f (x, y, z)并证明7 乞 f (x, y,z)乞 13,-(x, y,z)

21、门(2007 年)7分，总计70分)y, xy)，其中f具有一阶连续偏导数，求dz. 己2、解答下列各题(每小题1、设 z = f (2x2、设 z = arctan_ ln x2 y2，求一.xxEyx y3、求曲面2z 2z =8 ,在M0(2, 2,1)处的切平面和法线方程。4、 设 f -x2y2,exyT，求 Df (1,1),df (1,1)。(求 f -x2 y2 z26在(1, -2,1)处的切线和法平面方程。x y z =05 .求曲线6 若f(r)为可微函数，其中r7在直角坐标系下，交换二次积分=x3 y3-3x2 - 3y2 的极值)一 x2 y2 z2，计算 gradf

22、 (r)。a2a-xdxf (x, y)dy的积分次序。(a 0, f连续)-a 4a 亠=8 -x28 设有一物体由曲面x2 y2和密度二z，求此物体的质量。9.一质量分布均匀(密度为常数)的物体 体的质心坐标。1由曲面2-y 所围成，已知它在任意一点M (x, y, z)处的2 2 2 2z = x y ,x y = 1及z = 0所围成，求此物:z:zy x .jx；:y2x y三、(8 分)设 f (x, y) = x2 y22、设 z =；：2z3、求曲线4、求曲面f (xy -)，其中f具有二阶连续偏导数，求x2 一r (t)二t, -t ,3t -1上一点处与平面 x 2y4平行

23、的切平面方程。22 z2 5x2.:x2的平行于平面2x 2y z 二1的切平面方程。5、交换二次积分的积分次序:24-y0dy y f(x, y)dx。y213艾6、计算 0dx x e2dy13 xy210 计算0dx .x e dy。、(8分)设z =z(x, y)由方程x2 y2 z2二yf (兰)确定，其中f具有一阶连续偏导数，求y(x, y) = (0,0)，试讨论f在点(0,0)处的连续性和可微性.0,(x,y)=(0,0)四、(8分)在第一卦限内作旋转抛物面z =1 - x2 y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面2 2z =1-x y (x 0, y 0)及三个坐标面所围成的

24、立体的体积最小，求切点的坐标。五、(6分) 设f (x, y)在单位圆x2 y1上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零，证明：f(0,0)=lim-xf2 yf2y dxdy，其中 D 为圆环域；2 x2 y2 乞1.7 2 二 D x y(2006年)7分，总计70分)、解答下列各题(每小题求 dz.1、设z = f (x,2x y,xy)，其中f具有一阶连续偏导数,7、设f (U)是连续函数，试将:dx： f G. x2 y2)dy在极坐标系下为二次积分。48、设函数f (x, y, z) = xy zx zy - x - y - z 6，问在点M (3,4,0)处沿怎样的方向l， f的

25、变化 率最大？并求此最大变化率。_2 2 2 29、 计算二重积分I I (x y )dxdy，其中D为x y = 2x所围平面区域。D10、(注学习工科分析基础的作(1)，其余作(2)(1)ln 2 2 证明等式11 f (xy)dxdyf (u)du，其中D是由直线y = x, y = 2x与双曲线D2xy =1, xy二2所围成的位于第一象限的闭域。(2)把正数a分成三个正数 x, y, z之和，并使f (x, y, z)二xy2z3取得最大值。二、(8 分)2 2 2设z=y f(x -y ,xy)其中f具有二阶连续偏导数，求：=2z三、(8分)从平面薄圆板x2 (y -1)2乞1的内

26、部挖去一个园孔xy1 2 1(y ) 后，得到一个薄板，若4其上名点处的密度为 二、.、x2 y2，求此薄板的质量。xy四、(7 分)证明：f(x,y)=二 2(x,心0,0)x y0,五、(7分)若点M0(x0,y0,z0)是光滑曲面 定过坐标原点.在点(0,0)处偏导数存在但不可微。(x,y) =(0,0)F (x, y, z) = 0上与原点距离最近的点，试证过点M 0的法线必(2004 年)、解答下列各题(每小题6分，总计12分)1、求曲线 x = acost, y = bsint, z = ct 在点b兀a,c处的切线方程.2 6丿R 播2将 I = 2 dx o f （x,y）dy

27、 Rdx oRR2-x2f (x, y)dy化为极坐标系中先对 r后对日的二次积分。二、解答下列各题(每小题1 在曲线x = t, y2、求曲面X3、2三、（8 分）计算26分，总计12分)2 2=2t , z = 3t上求点，使该点处曲线的切线平行于平面8x 7y - 4z = 1 .y2 xz z = 3在点(1,1,1)处的切平面方程.I = | x2y2 -2 | dxdy，其中 D : x2y2 - 3.D四、（7 分）五、（7 分）六、（7 分）；:z : zJ.；:x ；:y设函数f (t,s)具有连续的一阶偏导数，而u = f (x y z，xyz)，求du.r 2xy_(xv

28、)h(0 0)x2 +y4在点(0,0)处不连续，但存在一阶偏导数0,(x,y)=(0,0)=f (x)g(y), f (x)0，其中f, g为可微函数，求证明：f （x, y）七、八、x2在椭球面-96(9分)设y =y(x), z =z(x)是由方程（9 分）y2 z2二1上求距离平面 3x 4y T2z二288的最近点和最远点.别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求九、(9 分)设球体 x2 y2 z - 2az 试求该球体的质量与质心 .z=xf(x，y)和F(x, y, z)=0所确定的函数，其中f和F分 dzdx.(a0)中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平方成反比.2 丄.b

29、2十一、( 8分)设由y = In x, y = 0及x = e所围的均匀薄板(密度的直线旋转时转动惯量最小？十、2x(9分)试求正数的值，使得曲面 xyzV.与曲面 飞a22令=1在某点相切.c1=1)求此薄板绕哪一条垂直于x轴（2003 年）、解答下列各题（每小题5分，总计15分）FF-FF -斗彳*-F-*1、设 a 二 i j， b 二 i j -4k，c = i - j，求（a b） c.2兀22、求曲线 x = t , y = cost ,z = si nt 在点（162手)处的切线方程.22x3、设f (x, y)为连续函数，交换累次积分 f0 dx J f (x, y)dy的积

30、分次序.二、解答下列各题(每小题6分，总计12分)1、试求平行于x轴，且过点(3,-1,2)及(0,1,0)的平面方程.2、试求曲面z -ez - 2xy =3在点(1,2,0)处的切平面方程三、(8分)设区域D由x2 y2岂1,x2 - y2 2x及y _0所确定，计算二重积分，求(0,1), ex(0,1)-(x四、(7 分)设 f (x, y) = x (y -1)arccos ly五、(7 分)设 z =(1 xy)x，求 dz.六、(7分)一直线在平面 二x - 2y =0上，且和两直线 h = $14-1x 4 y 1 z 2l2 :都相交，求该直线的方程-1332七、(9分)求函数z二x y 3xy - 6x - 3在闭域D:0岂x空2,0空y 2上的最小值和最大值.2