数值研究分析Ch6解非线性方程数值方法

1、解非线性方程地数值方法.二分法若设 f(x)EC【a,b，且 f(a)，f(b) c0，则 f (x) = 0 在(a,b)内至少有一根. 令c为a,b地中点，若f(a) f(c) :：: 0，则(a,c)内有根，否为f(X)=0地近似根,则(c,b)内有根.类似地进行n步之后，设有根区间为(:.b - a*- I -则浮，可取x2n 2 b -a差；乞尹.吐上1.算法简单且收敛特占八、2.不适用于多根情况迭代法1. 迭代格式对非线性方程f(x) =0，给定一个初值X0，按照某种方法产生一个序列X。，&，Xn ,，使得 Hm xn 二 X，且 f(X ) = 0. 例1求方程x3 - x -1

2、 = 0在x0 = 1.5附近地根.解将方程改写为 3 x 1，据此建立迭代公式xk3 xk 1, k二0,1,2川.迭代结果见下表：kXkkXk01.551.3247611.3572161.3247321.3308671.3247231.3208881.3247241.32494Xk1.32472将方程改写为xx 1，得迭代公式Xk 1 = X； 1, k二0,1,2，川，迭代结果为k0123Xk1.52.37512.39651904.01迭代序列发散.2. 收敛性与误差估计定理1若对任意X a,b，有(X). a,b(压缩映射)；存在正数L :：: 1 , 使对任意x1, x2 a,b】，

3、有p(xj-(x2)兰L为-x2 (Lipschitz条件)，则对任意 X。 a,b，迭代序列Xn i二(Xn)收敛于x hF:(x)地唯一根x*，且有误差估计式 b5E2RGbCAP*LnXn X 兰X1 X。.1 - L证令 f (x) =(x) X，则由卩(xj -9(X2)兰 LX1 -X2，得 f (X) = Ca,b，且 f(a) =：F(a) _a _0, f (b) =：F(b) _b 乞 0 .若f(a) =0, f(b)=0，则a, b即为x =F(x)地根，否则由零点定理，x=(x) 在a,b内至少有一根，故x二(X)在a,b上至少有一根.(存在性)若 x = ：:(x)

4、有两个根 x； =x；，即 x；二(x；),x；二(x2)，从而有(x；) (x；)=卜；X；， 矛盾，故X； =x； =x*.(唯一性)X冷X； =|单(Xn)_%X；) ELXn _X；兰兰 L讪 X_X；.由于 0 L 1，lim Ln =0，故 lim xn* -x =0 即 lim xn = x .(收敛性)nJpCXn井一 X兰Xn卄一 Xn#+|Xn卄丄一 Xn卄十+- X. Xn 十一 Xn*_t = (Xn*) (Xn*_J 兰 LXnk一Xn*/ 兰兰 L“ 永人 一 X，得山n4pXn4p Xn 乞丄LX1 - xLna-Lp - X1 _ X01 -L令PT旳，则有Xn

5、XX1X03. 局部收敛性与局部收敛定理定义1若存在X；地某个邻域R： x-x 少，使迭代公式x=cp(xk)对任意 x R均收敛，则称此迭代在X；附近具有局部收敛性定理2若：(x)在x；附近连续，且X； 1,则迭代公式Xz(Xk)在x；附 近具有局部收敛性证因为e(X)在X；附近连续，且 (x；|1，由连续函数性质，在 X；附近0(x 庐L 1 成立，从而艸(X1)(X2)| 屮忙 J)X1X2|ML|X1X2根据定理1，迭代在X；附近具有局部收敛性 4收敛速度与收敛阶定义2设迭代公式xk j = (xk)收敛于x = (x)地根x；，如迭代误差Q = Xk _x满足km：:p _ 1)，则

6、称Xk为p阶收敛.定理3对迭代公式Xk(Xk)，若;:(p)(x)在X*附近连续，且X* ： y*=|(二(pJ) X* =0，(p) X* - 0，则迭代在 X* 附近是 p 阶收敛地.证因为L(x*)=0，由定理2,迭代局部收敛. 将xk在x*处Taylor展开，则* gp）（S * p,-X = XXk - X，即 Xk 1 = XPXT/I, ! a p pm Hk得,从而迭代在x附近p阶收敛.5.迭代公式地加工由定理3, lim些X = = x*，故对充分大地k，些二，.垒匸，可 kXkX兀由X 兀X2解出X*人人2 Xk1Xk -2Xk+ +Xk2由此可将IxJ转化成一个新序列fx

7、kXk丄丄色心亠，此类处理方法 Xk 七一 2x 出+ Xk称为Aitken加速方法.将Xk1二：Xk ,Xk2二：Xk*Xk代入即得一个新地迭代：xHx总沪XHx -2x x习惯上写成下列形式:XkHt = （X ）Xk 出=（Xk 十）Xk 12（Xk十 一 XkHf ）=Xk 1 -xk 1 - 2Xk 1 Xk校正 再校正.改进.牛顿法(切线法)1.迭代格式设xk为f(x) =0根x*地近似值，由Taylor公式0 二 f (x )二 f(Xk) f (Xk)(X -Xk)f ( )(X - Xk)22!若f g ，则X = Xk 一器一丄f产，略去最后一项后作为X*新地近似值，即Xk

8、4 =Xk2.牛顿法地几何意义如图，作曲线mu令y=0, Xfth j即Xk为此切线在X轴上地截距.3.牛顿法地收敛性设X为f(x) =0地单根，即f(x*) 7 f (x*)=0.此时 (xH X -f(x)f (X)(x)二1 -f (x)f (x)-f(x)f (x)2f (X)f(x)f (x)f (X)f(x*)f(X*)f(x*)2故在X*地某邻域内世(x)兰L1，从而f (Xi)毋(X2)| =|砕宾)収1 X2 o，所以Rkx _Xk4 X-XkQ例5应用牛顿法于方程f x =x“-a=0和f x =1-a；xJ0，分别导出求 n a地迭代公式，讨论迭代公式地收敛性，并求lim

9、 na-Xk1na-Xk .k咨f解牛顿公式为 Xk 1二Xk _ f (Xk) Xk -冬罟二Xk% .f (Xk)nXknnXk1 a=ya，即Xk有下界.n Anxk可1小1a因 Xk .1XkXknnnxn又Xk 1 - Xk二- Xk n ；岂0，即Xk单调下降，故Xk收敛.nxklim na-Xk1佃7-(n-1)Xk n-anx：k a-Xk2=limk_ :-(n -1) n -a(1 -n)Xn-2 Za - Xk=limk_ ：:a(1 一 nW2linlk;X(n1)a2；a版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This articl

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