中南大学材料力学答案-能量法

1、中南大学材料力学答案-能量法能 量 法 一 概念题1.B ；2.C ；3.D ；4.C ；5.B6如图所示，在弹性、小变形情况下，一杆能否承受弯矩M 作用，其应变能为)(M V ；当承受扭矩e M 作用，其应变能为)(e M V ，在M 和e M 共同作用下，其应变能是否为)()(),(e e M V M V M M V +=，为什么？GIL M M V EIL M M V e e Z 2)(2)(22= )()(),(e e M V M V M M V +=二计算题1求图示梁中B 点的挠度和C 截面的转角。已知EI 为常数 解：用卡氏定理1）求B 点的挠度，令B 点的力F ql =a ）用静

2、力学平衡方程求支座A,C 的约束力，得2F ql R A -=, F ql R B 23+=b) AC 段弯矩方程 l x qx x F ql qx x R M A 2021)2(2112112111-=-= 1121x FM -=?c) BC 段弯矩方程l x FxM =2220 22x FM =?d ）梁ACB 的应变能20221202122dx EIMdx EIMU ll?+= e ）由卡氏定理得B 点的挠度EIql qlEIqlEIdx FM EIM dx FM EIM FU llB 32313144422 211201=+=?+?=?=? 2) 求C 截面的转角c ，在C 截面虚加转

3、矩f m (顺)a ）用静力学平衡方程求支座A 的约束力，得l mql R fA 22-= b) AC 段弯矩方程 211211121)22(21qx x lmql qx x R M fA -=-= ()201l x lx mM f211-=?c) BC 段弯矩方程l x qlxM=222 02=?fmMd ）梁ACB 的应变能20221202122dx EIMdx EIMU ll?+= e ）由卡氏定理得C 点的转角c （令1M ，2M 中的0=f m ）EIqldx mM EIM dx mMEI MmU flflfc 33220211201=?+?=?=? (顺) 2求图示刚架截面A 的转

4、角和截面C 的铅垂位移。已知EI 为常数 解 用卡氏定理1）求截面C 的铅垂位移,在C 点加铅垂向下的力f Fa ）用静力学平衡方程求支座A ，B 的约束力 qa F R qa R f Ay Ax 212)(-=)(21qa F R f B += b) BD 段弯矩方程 01=M DC 段弯矩方程 222)(21x qa F x R M f B += ()2102a x 222x F M f=?CE 段弯矩方程 )2()(21)2(33333a x F x qa F a x F x R M f f f B -+=-= 22133a x F M f+-=? )2(3a x a AE 段弯矩方程

5、)0(2142444a x qx x R M Ax -= 04=?fF Mc)用卡氏定理求截面C 的铅垂位移cy ? （令4321,M M M M 中的0=f F ）444333222111(1dx F MMdx F MMdx F MMdx F M MEI ffffcy ?+?+?+?=?）=EIqadx a x qax dx qax EIa a a32)221(2141(1433322 222=+-+?2)求截面A 的转角，在截面A 处加转矩fM（顺）a) 用静力学平衡方程求支座A ，B 的约束力)(=qa R Ax ,)(21+=aM qa R fAy , )(21+=aM qa R fB

6、 ,b) DE 段弯矩方程 )0()21(1111a x x aM qa x R M fB +=ax MM f1=?DA 段弯矩方程 )0()21(22a x aaM qa a R MfB += 12=?fMMc) 用卡氏定理求截面C 的转角c ，（令21,M M 中的fM =0）EIqa dx MMMdx MMMEIfafac 32)(1320211012=?+?=?(顺)3半圆形小曲率杆的A 端固定，在自由端作用扭转力偶距e M 。曲杆横截面为圆形，其直径为d 。试求B 端的扭转角解：1）截取BC 段圆弧，C 截面所对应的角坐标为，由BC 段圆弧的平衡条件， 得C 截面上的弯矩为,sin

7、e M M =s i n =?eMM扭矩为cos e M T =cos =?eMT2）求半圆形小曲率杆的应变能U ?+=02 222EIRd M GIRd T U )0(3）用卡氏定理求截面B 的转角B ， )11(2sin cos 2 2 EIGIR M d R EIM d R GIM Rd MMEI M Rd MT GIT MU e eeeeeB +=+=?+?=?=?4图示刚架的各组成部分的抗弯刚度EI 相同，抗扭刚度p GI 也相同。在P 力作用下，试求截面A 和C 的水平位移解：1）令C 点的力C P P =,A 点的力A p p = CD 段弯矩方程)0(111a x xP M C

8、 =11x P M C =?01=?A P M AD 段弯矩方程)0(222a x xP MA =02=?CP M22x P MA=?DB 段弯矩方程)0()(3333a x x P a x P M C A += 33x P M C=?a x P MA+=?33 DB 段扭矩方程 a P T C = )0(3a x a P T C=?0=?AP T2）用卡氏定理求截面C 的水平位移c ?GIPa EIPa dx P T GIT dx P M EIM dx P M EIM CaCaCaC 333033 3110123+=?+?+?=? 3）用卡氏定理求截面A 的水平位移A ?EIPa dx P

9、MEIM dx P MEIM AaAaA27333 322 2=?+?=? 5. 如图所示结构，设I A E a P ,均为已知，1）求结构的变形能，2）求C 点的垂直位移。 解：1）求变形能结构中HF 杆受拉，DF 杆受压，梁FB 弯曲。 梁FB 左右对称，支座力P N N B F 21=, 弯矩图左右对称。FC 段弯矩方程)021a x Px x N M F = FC 段弯曲变形能EIap dx EIMU a24232 21=? 由结点F 的平衡求得杆HF,DF 所受力P S PS DF HF 3363-= 杆HF 的变形能EA a p EA a S U HF 242222= 杆DF 的变形能EIa P EAa S U DF 32223= 结构的总变形能EAa P EIaP U U U U 83122232321+=+=2) 用卡氏定理求截面C 的铅垂位移cy ?EAPa EIPaPU cy 4363+=?=?6 平均半径为R 的细圆环，在切口处嵌入块体，使环张开为e 。试求环中的最大弯矩。已知EI 为常数。解：欲求圆环中的最大弯矩，必先求出使得圆环切口张开宽度为e 时所对应的力F ，应用单位力法求解。写出弯矩方程，由于结构对称，可写其中一半，即（)0)co