18 19第1章13全称量词与存在量词

1、1.3全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2含有一个量词的命题的否定学习目标：i.理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词和存 在量词叙述简单的数学内容.（重点）2.能判定全称命题和存在性命题的真假.（难 点）3. 了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题 进行否定.（易错点）自主预习探新知教材整理1全称量词和全称命题阅读教材P14内容，完成下列问题.全称量词“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在 逻辑中称为全称量词符号表示?全称命题含有全称量词的命题称为全称命题符号表示? x M，p(x)把下列命题中是全称命题的序号填写在横线上 . 指数函

2、数都是单调函数； ？ x R , log2x0； 负数的平方是正数； 平行四边形的对边互相平行.解析中含有“都”：中含有“？ ” ：中省略了全称量词“都”， 所以都是全称命题.答案教材整理2存在量词和存在性命题阅读教材P14内容，完成下列问题.存在量词“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的 量词在逻辑中称为存在量词符号表示?存在性命题含有存在量词的命题称为存在性命题符号表示? x M，p(x)判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.()(2) 全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.()(3) 命题“正方形的四

3、条边相等”中没有全称量词，因此不是全称命 题.()(4) “至少有一个偶数是质数”是存在性命题.()解析根据定义可知(1)是正确的，(2)是错误的，(3)中省略全称量词“所有的”，所以是全称命题，(4)是正确的.答案“X X V教材整理3全称命题和存在性命题的否定阅读教材Pi6例1以上部分，完成下列问题.图 1-3-1把下列命题进行否定，并写在横线上.(1) p:有些三角形是直角三角形.(2) q :所有的质数都是奇数.(3) r :所有的人都睡觉.(4) s :有些实数的相反数比本身大. 解析全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.答案(1)所有的三角形都不是直角三角形(2)

4、 有些质数不是奇数(3) 有的人不睡觉(4) 所有实数的相反数都不比本身大合作探究攻重难粪嬰勺全称命题和存在性命题的辨析判断下列命题是全称命题还是存在性命题.(1) 有一个实数a使得tan a无意义；(2) 每个二次函数的图象都与x轴相交；(3) 直线y= kx+ b(kM 0, k, b是常数)在y轴上有截距；(4) 棱锥的底面多边形中有正多边形；(5) 直线x = 2的斜率不存在.【导学号：71392028】精彩点拨利用全称命题和存在性命题的定义进行判断.自主解答(1)命题中含有存在量词“有一个”，因此是存在性命题.(2) 命题中含有全称量词“每个”，因此是全称命题.(3) 由于直线y=

5、kx+ b(kM0, k, b是常数)表示的是一系列直线，因此该命题是全称命题.(4) 命题用量词表示为：存在一些棱锥，它们的底面多边形是正多边形，因此是存在性命题.(5) “直线x= 2的斜率不存在”表明存在一直线x = 2斜率不存在，因此是存 在性命题.名师指津1. 判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中含有全称量 词还是存在量词，如本例(1)和(2).2. 有些全称命题中并不含有全称量词，存在性命题中并不存在存在量词， 这时我们要根据命题涉及的定义去判断.再练一题1 .判断下列命题是全称命题还是存在性命题.若a0且a 1,则对任意x, ax0；(2) 对任意实数 xi, X

6、2,若 xix2，则 tanxitan X2；(3) 存在实数 T,使得 |sin (x+T)| = |sin x|；(4) 存在实数x,使得x2 + 12,因此使 x2 + 2x+ 3 =0的实数x不存在，所以存在性命题“有一个实数xo,使xo + 2xo + 3 = 0”是假命题.(2) 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交 的平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直 线”是假命题.“*“ m(3)是真命题.1( 1)因为m Z且m为偶数，所以(1)m= 1,所以2m+2=2m,为偶数.名师指津全称命题、存在性命题真假性的判断方法1要判

7、定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证px成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x,使得p x 不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.2要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，能找到一个(4)存在性命题,1x* 1 2_ x+ 11213x_ 2 + 412 x _ x+ 1=2无解，故为假命题.x,使px成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题.鯉3含有一个量词的命题的否定判断下列命题的真假，并写出它们的否定. 对任意 x R, x对所有的实数a，b，方程ax+ b = 0恰有一解；1 存在实数x,使x2_x+ 1二2.解存在性命题，因

8、为sin2 a+ COS a= 1，所以是假命题；(2) 全称命题，因为垂直于x轴的直线没有斜率，所以是假命题；(3) 全称命题，因为当a= b= 0时有无穷解，当a= 0且b 0时无解，故为假命题;_x任何一条直线都存在斜率； + K0； 所有能被5整除的整数都是奇数；1 2 1 对任意x Q,是有理数.(2)写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假. 有些实数的绝对值是正数; 某些平行四边形是菱形；【导学号：71392030】 ？ xo, yo Z,使得 2xo + yo = 3.-更换量词-否定结论-否定结论-写出否定精彩点拨根据(1)(2)题目要求，顺序不同.-写出其否定 判断真假

9、自主解答(1)当x= 2时，23 - 22 + 1 = 50,故是假命题.命题的否定：存在 x R, x3-x2 + 10.10能被5整除，10是偶数，故是假命题.命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数.有理数经过加、减、乘法运算后仍是有理数，故 是真命题.1 2 1命题的否定：存在x Q，x2 + 2x+ 1不是有理数.(2)命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”.由于| 2| = 2，因此命题的否定为假命题.命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.命题的否定是：“？ x, y Z， ,2x+尸3”.因为当x= 0， y= 3时

10、，冷2x+ y= 3，因此命题的否定是假命题.名师指津1. 对全称命题否定的步骤第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；第二步否定性质：原命题中的p(x)成立”改为 非p(x)成立2 对存在性命题否定的步骤第一步改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；第二步否定性质：原命题中的 p(x)成立”改为 非p(x)成立”3 常见词语的否定再练一题3写出下列命题的否定，并判断其真假.(1) p :所有的方程都有实数解；(2) q： ? x R,4x含参数的全称命题和存在性命题探究问题1. 如何理解全称命题“对？ x R，ax2 + 2ax+ 10”是真命题，怎样解决？ 参数a有范围吗？ 提示意思

11、是ax + 2ax+ 10恒成立，可转化为 a0且 &0来解决.即 4x+ 10;(3) r: ? xo R, xo+ 2xo+ 20;(4) s :某些平行四边形是菱形.解(1)非p：存在一个方程没有实数解，真命题比如方程 x2 + 1 = 0就没 有实数解.(2) 非 q: ? xo R，使 4x0- 4xo + 10恒成立，是真命题，所以非q是假命题.(3) 非 r: ?x R，x2 + 2x+ 20，真命题.(4) 非 s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题.类娄Ia0,2或a = 0,解得0w a1.故参数a的取值范围是0,1).4a 4aa恒成立，则只需avf(x)min ；若af

12、(x)恒成立，只需af(x)max.有时转化为一元二次不等式在区间上恒成立时，一般用判别式及根的分布解决.3. 存在性问题为真命题或假命题，如何处理？提示因为存在性命题的否定是全称命题，因此当存在性命题为真命题时，可转化为它的否定是假命题处理，当存在性命题为假命题时，可转化为它的 否定为真命题处理.卜例若全称命题“对任意x 1，+)，x2 2ax+ 2a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围.精彩点拨由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x 1，+ )时，f(x)min a，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题.、. 、. 2自王解答法一:由题意，对任意x 1， + 00)，令f(

13、x)=x 2ax+ 2a恒成立.22、.所以 f(x) = (x a) + 2 a 可转化为对任意 x 1，+ o)， f(x)min A a 成立, 即对任意x 1，+ o)，2 a2，a 1，f(x)min = 2 21 + a i + 2 a ， a0,所以A0,或 a 1,f 10,即2 a 1,或3 a 2.所以3 a a,只需f(X)mina也可等价转化 为对任意x 1,+), x2 2ax+ 2 a0恒成立，结合一元二次不等式的解 集与二次函数图象间的关系求解.再练一题4. 对于任意实数x,不等式sin x+ cos xm恒成立，求实数 m的取值范围.解令 y= sin x+ c

14、os x, x R,贝U y= sin x+ cos x= 2sin又? x R, sin x+ cos xm恒成立，只要m0” 的否定是.解析全称命题的否定是存在性命题，故所求命题的否定为：？ x R, x2+ 2x+ 3 w 0.答案? x R, x2 + 2x+ 32成立，即p是真命题，所以非p是假命题.X答案假3. 命题p： ? x R, x1解析Ix R + 时，2x+ x2 2， a2； ? a B, 使 COS（ a 3 = COS a COS B； ? x，y N，都有（x y） N ; ? x，y Z，使 2x+ y = 3.” 2133 1解法一：当x R时，x2 x+ 1= x 2 + 442所以该命题是真命题.2 1 2 1 1法二：X x+ 12? x2 x+ 20，由于= 1 4X2= 12的解集是R，所以该命题是真命题. + 2x+ 50是（填“全称命题”或“存在性命题”），它是命题（填“真”或“假”）,它的否定命题非p： ,它是命题（填“真”或“假”）.【导学号：71392032】解析含“ ？ ”，是存在性命题，其否定为全称命题，因为= 4-200恒成立，故为假命题，其否定为真命题.答案存在性命题 假 ？ x R，x2 + 2x+ 5A0真14. 命题“ ？ x属于正实数，2x+ -a成立”是真命题，则a的取值范围是入当2时，COS