中山大学数学分析高等代数考研试题集锦(2021-2021年)

1、中山大学数学分析高等代数考研试题集锦(2021-2021年)2013年中山大学数学分析考研真题一、（24分）计算下列极限：)(i 设,)(1)2(1)1(1222n n n n n n x + += 求.lim n n x )(ii ),(lim 1112+?n n n x x n 其中.0x )(iii ,1lim 1d d m d i d m md m i +?+=其中.0d二、（20分）)(i 叙述数列n a 收敛的柯西收敛准则并证明之.)(ii 用柯西收敛准则证明：数列.ln 13ln 312ln 21n n a n += 趋于无穷大.三、（20分）证明)(i x x f sin )(

2、=在),0上一致连续.)(ii 2sin )(x x g =在),0上不一致连续. 四、（16分）设),2,1(21,1211 =+?=?=+n x x x n n 证明n n x lim 存在.五、（10分）设,2,1,0 =n a n 证明.1)11(lim 1?+n n n a a n六、（10分）设,10=?=12)1()(k k k x x x S 的极值. 七、（10分）计算,)()(22+?+C yx dy y x dx y x 其中C 是一条从)0,1(?到)0,1(不经过原点的光滑曲线：.11),(?=x x f y 八、（12分）计算+S xydzdx zxdydz yzd

3、xdy ,其中S 是由,122=+y x 三个坐标平面及222y x z ?=所围立体图形在第一卦限的外侧.九、（12分）讨论级数=11sin k k kx 在2,0上的一致收敛性.十、（16分）)(i 分别将函数2)(xx f ?=和 1=n n n n n n2013年中山大学高等代数考研真题1、设E 为数域,E F ?且E 作为F 上的线性空间，维数为.m 设V 为E 上的n 维线性空间.证明：V 作为F 上的线性空间维数为.mn2、设f 是F 上线性空间)(F M n 到F 的线性映射，n I f =)(且对任意的矩阵)(,F M B A n 有).()(BA f AB f =证明：t

4、r f =（注：tr 为迹函数，=n i ii a A tr 1)(）.3、设),(,F M B A n ,)(n A rank 4、设.n m F A 若对任意n 维向量,n F b 线性方程组b AX =有解.证明：.)(m A rank =5、设23)1()(,)(x x g x x f ?=.(1)求)(),(x v x u 使）；x g x v x f x u x g x f ()()()()(),(+=(2)设.1)(,2)(21=+=x r x x r 求一多项式)(x h 使下列同余方程式成立：).()(mod ()(),()(mod ()(21x g x r x h x f x r x h 6、设是F 上线性空间V 上的线性变换.W 是的不变子空间.m ， 1是的两两不同的特征根，m ,1 分别是属于m ， 1的根向量.若,1W m += 证明.,1,m i W i =7、设复矩阵.1011020011112320?=A 求A 的Jordan 标准型和最小多项式.8、设W 为下列实线性方程组的解空间.分别求W 与W （W 的正交补）的一个标准正交基：.0,023214321=?+=+?+x x x x x x x9、设实矩阵.324262423