三角形中的求值问题

1、三角形中的求值问题教学设计 祥云二中 范炎华一、复习目标通过例题讲解，引导学生对变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形的认识，掌握解决三角函数求值问题的一般解题策略和常用的数学思想和方法方程的思想、化归与转化的思想和换元法。 二、教学重点与难点教学重点：学习三角函数求值问题的一般解题策略，体会三角变换的特点，提高分析、运算能力教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力三、教法与教学用具教法：讲授式教学四、知识要点：（1）两角和（差）的三角公式 cos（-）=coscos+sins

2、incos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossin 特别： 其中（2）二倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2 sin2 特别： （3）正弦定理 余弦定理 （4）解答三角求值问题的一般步骤主要是：发现差异：观察角、函数、运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。合理转化：选择适当的手段和数学思想方法，促使差异的转化。五、例题分析： 例1已知锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,且tanB=（）求B的大小；（）求s

3、in(B+10)1-tan(B-10)的值。思路分析 首先是发现差异，本题中的已知条件是关于角与边的一个等式，第（）问的所求为一个角，我们不难发现已知与所求的差异，会想到应将边转化为角。其次是寻找联系，寻找关于B的一个等式。第三是合理转化，最终将已知转化为关于B的某一个三角函数的方程，体现方程的思想，这就是合理转化。我们知道在三角形中，将“边”转化为“角”的公式有正弦定理和余弦定理，本题中由于已知等式右边的式子为，由余弦定理的基本形式，将代入后就得到tanB=，接下来的工作是解方程求出B。在解决三角求值问题中，我们在转化前思考的角度依次为：式子结构、函数名称以及角的差异。在得到B的方程后，由于

4、方程中函数名称既有“切”又有“弦”，很自然地使用“切化弦”的方法，利用同角三角函数基本关系进行化简，得到sinB=, 从而求出 B。第（）问是在第一问求出B=60后，将本问转化为三角函数式的化简结构来看，要将式子进行化简，需要把函数的名称统一，仍使用“切化弦”的方法，然后通分，通分后分子为cos50-sin50,可逆用两角和与差的正、余弦公式或辅助角公式进行化简，化简为 2cos110（或-2sin20）,再逆用二倍角正弦公式化简，最后用诱导公式化成同角并约分得到-1。略解（） sinB= B=60（）sin(B+10)1-tan(B-10) =sin70 =sin70= =-1解题反思本题从

5、考查的知识内容来看，考查了余弦定理，两角和与差的正弦、余弦公式，辅助角公式；从考查的数学思想方法来看，考查了函数与方程的思想，化归与转化的思想。评价反思 本题虽然属于三角函数中的容易题，但是充分体现了解决三角函数问题的一般解题策略和常用的数学思想和方法。2005年全国卷的数学评价报告中曾指出：“方程的思想也是考查的重点，尤其是计算型试题，对三角恒等变形及求值问题的考查，应把重点放在换元法或方程思想的体现上”。这在本题中得到了印证。例2 在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且（）求角A的大小；（）若a=,b+c=3求b和c的值。思路分析 本题第（）问的关键是利用三角形内角和定理及二倍

6、角余弦公式及其变形sin2a=,和cos2a=2cos2a-1将已知等式转化为关于cosA的方程，从而求出A。第（）问则根据所求边b和c，不难想到应寻找关于b和c的两个方程。已知已有一个方程，另一方程则可从第一问求出的cosA的值，由余弦定理来寻找。从而联立方程组，解出b和c。略解：（）由条件可得41-cos(B+C)-4cos2A+2=7 又A+B+C= cos(B+C)=-cosA. 则4cos2A-4cosA+1=0,解得cosA=.又A(0,) ()由cosA=知即,b+c=3,bc=2.由解题反思本题从考查的知识内容来看，考查了两倍角余弦公式、余弦定理、三角形内角和定理，诱导公式；从

7、考查的数学思想方法来看，考查了函数与方程的思想，化归与转化的思想。评价反思本题的两问都体现出方程的思想，第（）问通过合理转化，得到关于cosA的一元二次方程；第（）问通过合理转化，得到关于b、c的二元二次方程组，我们要重视方程思想在解决三角计算问题中的重要作用。五、课堂练习在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cosA=()求sin2+cos2A的值；()若a=,求bc的最大值。解: () = = = = () ,又 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.六、课堂小结在处理三角函数求值问题时，要抓住问题的条件与所求的结论之间的差异，灵活选用公式及借助数学思想建立条件与结论的联系，合理转化，最终解决问题。七、课后作业： （2005年全国III）ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， （）求cotA+cotC的值； （）设的值.解：（）由由b2=ac及正弦定理得 于是 （）由由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB 得a2+c2=b2+2accosB=5.八、本教案的