2006年高考.江苏卷.数学试题及详细解答

1、绝密 启用前2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4 页，包含选择题（第1 题第10 题，共10 题）、填空题（第11 题第16 题，共6 题）、解答题（第17 题第21 题，共5 题）三部分。本次考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位

2、置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。5、如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。参考公式 ：一组数据的方差S21 (x1x) 2(x2) 2(xnx) 2xn其中 x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项 是符合题目要求的。（ 1）已知 a R ，函数 f (x)sin x | a |, xR 为奇函数，则 a（A）0（B） 1（C） 1（D） 1（ 2）圆 ( x 1) 2 ( y3 ) 2 1 的切线方程中有一个是（

3、 A ） x y0（B ）x y 0（ C） x 0（ D） y 0（ 3）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x， y，10， 11， 9.已知这组数据的平均数为 10，方差为2，则 xy的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（ 4）为了得到函数 yx), x R 的图像， 只需把函数 y 2 sin x, xR 的图像上所有2 sin(36的点（ A ）向左平移（ B）向右平移66个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）313（ C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）6（

4、 D）向右平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）6（ 5） (x1 )10 的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是3x（A）0（B）2（ C）4（D）6（ 6）已知两点 M（ 2，0）、N（ 2，0），点 P 为坐标平面内的动点， 满足 | MN | | MP | MN NP 0，则动点 P（ x， y）的轨迹方程为（ A ） y 28 x（B ） y28x（ C） y24 x（ D） y 24 x（ 7）若 A 、 B、 C 为三个集合， AB BC ，则一定有（A）A C（B）C A（C）A C（D） A（ 8）设 a、 b、 c 是互不相等的正数，则下列等

5、式中不恒成立的是（ A ） | a b | | a c | | bc |（ B ） a 2 1a1a 2a（ C） | a b |12（ D）a 3a 1a 2aab（ 9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为 1 的正方体内， 使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的D某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样BAC的几何体体积的可能值有（A）1 个（B）2 个（C）3 个（ D）无穷多个图 1（ 10）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机

6、地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是信号源（ A ）4（ B ）14536（ C）4（ D）81515二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。（ 11）在 ABC 中，已知 BC 12， A 60， B 45，则 AC 2xy2（ 12）设变量 x、 y 满足约束条件xy1，则 z2x 3 y 的最大值为xy1（ 13）今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球， 同色球不加以区分， 将这 9 个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。（ 14） cot 20

7、cos103 sin 10tan 702 cos40 （ 15）对正整数 n，设曲线 y xn (1x) 在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列a n 的前 n项和的公式是n1（ 1616) 3 的解集为）不等式 log 2 (xx三、解答题：本大题共5 小题，共70 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（ 17）（本小题满分12 分，第一小问满分5 分，第二小问满分7 分）已知三点P（ 5， 2）、F1 （ 6， 0）、 F2 （ 6， 0）.（）求以F1 、 F2 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（）设点 P、 F1 、 F2 关

8、于直线 y x 的对称点分别为P 、 F1 、 F2 ，求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程。O（ 18）（本小题满分 14 分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心 o1 的距离O1为多少时，帐篷的体积最大？（ 19）（本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分5 分，第三小问满分5 分）在正三角形 ABC 中， E、F、P 分别是 AB 、AC 、BC 边上的点，满足 AE:EB CF:FA CP:PB 1:2（如图1）。将 AEF 沿 EF 折起到 A1

9、 EF 的位置，使二面角A 1 EFB 成直二面角，连结A 1B、 A 1P（如图 2）（）求证： A 1E平面 BEP；（）求直线A 1E 与平面 A 1BP 所成角的大小；（）求二面角B A 1PF 的大小（用反三角函数表示）AA 1EFEFBCBPCP图 2图 1（ 20）（本小题满分 16分，第一小问 4 分，第二小问满分6 分，第三小问满分 6 分）设 a 为实数，设函数f ( x)a 1 x21 x1x 的最大值为 g(a)。（）设 t 1x1x ，求 t 的取值范围，并把f(x)表示为 t 的函数 m(t)（）求 g(a)（）试求满足g (a )g ( 1 ) 的所有实数 aa（

10、 21）（本小题满分 14分）设数列 an 、 bn 、 cn 满足： bn ana n2 ， cna n2a n 13an 2（ n=1,2,3, ），证明 an 为等差数列的充分必要条件是 cn 为等差数列且bnb n 1 （ n=1,2,3, ）1【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数sinx 的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题【正确解答】解法1 由题意可知，f (x)f (x) 得 a=0解法 2：函数的定义域为R,又 f(x) 为奇函数 ,故其图象必过原点即f(0)=0, 所以得 a=0,解法 3 由 f(x) 是奇函数图象法函数画出f xsin xa , xR 的图象选 A

11、【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.若函数f(x) 为奇函数f (x)f ( x)yf ( x) 的图象关于原点对称.若函数f(x) 为偶函数f (x)f (x)yf ( x)的图象关于y 轴对称.2【思路点拨】本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径 .【正确解答】直线 ax+by=0 与( x 1)2( y3) 21相切 ，则 | a b 3 | 1，由排除法，2选 C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式

12、转化(1) 几何条件 : 圆心到直线的距离等于半径 (2)代数条件 :直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解 .3【思路点拨】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】 由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8, 解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、 y，只要求出xy ，设x=10+t, y=10-t,xy2 t4 ，选D【解后反思】4【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。【正确解答】先将 y2sin x, x R 的图象向左平移个单位长度，6得到函数 y 2s

13、in( x), xR 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3 倍6x（纵坐标不变）得到函数y), x R 的图像2 sin(36【解后反思】由函数ysin x, x R 的图象经过变换得到函数y Asin( x ), xR（ 1）y=Asinx ，x R(A0且 A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短 (0A0 且 1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短( 1)或伸长 (0 1)到原来的 1 倍（纵坐标不变）（ 3）函数 y sin(x)，xR(其中 0)的图象， 可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0 时)或向右 (当 0时平行移动个单位长度而得

14、到( 用平移法注意讲清方向：“加左”“减右” )可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把 x 前面的系数提取出来。5【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.110113 r10rr10 rr10r【正确解答】x的展开式通项为 C12 (x )()C10()x 2，因此3x3x3含 x 的正整数次幂的项共有2项.选 B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简 ,降底数的运算级别 ,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项 ,可令 x0 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.6

15、【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.【正确解答】设 P( x, y) ， x0, y0，M(2,0), N (2,0)， MN4则 MP( x2, y), NP( x2, y)由 MNMPMN NP0，则4(x2)2y24( x 2)0 ，化简整理得 y28x所以选 B【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.7【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解。【正确解答】因为AAB且CBCABC

16、B由题意得AC所以选A【解后反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三个抽象集合之间的关系，可以考虑借助与文氏图。8【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。【正确解答】运用排除法，C 选项 a b12 ，当 a-bb0), 其半焦距 c=6a2b22aPFPF11222122265 a3 5 ,b2=a2-c 2=9.12所以所求椭圆的标准方程为x2y21459（ 2）点 P(5,2)、F1(-6,0) 、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点，P(2 ，5) 、F1(0，-6)、F2(

17、0， 6).设所求双曲线的标准方程为y 2x 21 （ a10,b10 ）由题意知，半焦距c1=622a1b12a1P F1P F21122212224 5a1222y 2x 22 5 ,b 1 =c1-a 1 =36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为201。1618. 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解：设 OO1为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）32(x1)282xx22于是底面正六边形的面积为（单位：m）32(x 1)263 ( 8 2x x2 )23 3 (8 2x x2 )42帐篷的体积为（单位：

18、3332)133)m） V (x)(8 2xx( x 1) 1(16 12xx232求导数，得 V ( x)3 (12 3x2 )2令 V (x)0 解得 x=-2( 不合题意，舍去),x=2.当 1x2 时， V (x)0 ,V(x) 为增函数；当 2x0 时，函数 y=m(t),t2, 2 的图象是开口向上的抛物线的一段，由 t12, 2.上单调递增， g(a)=m(2)=a+20 知 m(t)在 a(2) 当 a=0 时， m(t)=t,t2, 2 , g(a)=2.(3) 当 a0 时 ,函数 y=m(t),t2, 2 的图象是开口向下的抛物线的一段，若 t12，即0,a若 t12,2

19、(，即a若 t1) ，即(2,a2则 g(a)m(2)2a221m(11a则 g(a)a22a2a10 则 g (a)m(2)a2a2a1a2,2综上有 g (a)a1 ,2a1 ,2a222,a22(3) 解法一：情形 1：当 a2时 11，此时 g( a)2 ， g( 1 )12a2aa由 212解得 a12矛盾。a，与 a0 时， 10 ，此时 g(a)=a+2,a由 a 211，由 a0 得 a=1.2解得 aag( 1)12aa综上知，满足 g(a)g(1) 的所有实数 a 为 2 a2 , 或 a=1a221 本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。证明： 必要性 ，设是 a n 公差为 d1 的等差数列，则bn+1bn =(an+1an+3 ) (anan+2 )= (a n+1an) (an+3 an+2)= d 1d1=0所以 bnbn+1( n=1,2,3,)成立。又 cn+1cn=(an+1 an)+2 (a n+2an+1)+3 (an+3 an+2 )= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数